2022年专升本《高等数学》176复习题及答案复习进程

1、资料收集于网络,如有侵权请联系网站删除 专升本高等数学试题（176 题）一. 挑选题：1. 设函数 f x24x4,x2, g x 是 f x 的反函数,就（）A. g x 2xB. g x 2xC. g x 2xD. g x 2x2. 如 x0是 f x 的极值点,就（）A. fx0必定存在,且fx 00B. fx0必定存在,但fx0不肯定等于零C. fx0可能不存在D. fx0必定不存在3. 设有直线x 0yz,就该直线必定（）43A. 过原点且垂直于x 轴B. 过原点且平行于x 轴C. 不过原点,但垂直于x 轴D. 不过原点,且不平行于x 轴*4. 幂级数a xn在点 x2 处收敛,就级

2、数1 nan（）n0n0A. 肯定收敛B. 条件收敛C. 发散D. 收敛性与 an有关5. 对微分方程y3y2yex,利用待定系数法求其特解y * 时,下面特解设法正确选项（A. y*AexB. y *AxB exC. y *AxexD. y*2 Ax ex0 x06. 函数 f x 1x0在点 x0 不连续是由于（）xA. f00f 0B. f00 f 0C. f 00 不存在D. f 00 不存在7. 设 f 为连续函数,且af x dx0,就以下命题正确选项（）aA. f x 为 a,a上的奇函数B. f 为 a,a上的偶函数C. f 可能为 a,a上的非奇非偶函数D. f x 必定为

3、a,a上的非奇非偶函数8. 设有单位向量a0 ,它同时与 b3 ij4 k及 cik 都垂直,就 a0 为（）word 可编辑资料收集于网络,如有侵权请联系网站删除A. 1i1j1kB. ijkC. 1i1j1kfD. ijk3333339. 幂级数n1ln n1xn的收敛区间是（）n1A. 1,1 B. 1,1 C. 1,1 D. 1,1 10. 根据微分方程通解的定义,y sinx的通解是（）A. sin xc xc2B. sin xc 1c2C. sin xc xc2D. sin xc 1c2（其中 c 1、c2是任意常数）11. 微分方程yxy 2的通解为. 252112. 5972

4、. 3741. 462113. 曲线xyt2yt10在t0处的切线方程为te10014 已知 A 013, A* 为 A 的相伴阵,就* A1= 22015x在点 x=1 处连续 . 215函数yxsinx1 ex的连续区间是_ _. 2x16x limx x124_ _ _. x17（ 1） x 轴在空间中的直线方程是_ _ _. （2）过原点且与x 轴垂直的平面方程是_ _ _.x12ex12,x11118设函数fx a ,x1,当a_, b_时,函数b x,1x119设参数方程xr2cos 2,yr3sin2（1）当 r 是常数 ,是参数时,就dy_. dxword 可编辑资料收集于网络

5、,如有侵权请联系网站删除（2）当 是常数, r 是参数时,就 dy _ _ . dxn n n n20 lim n 2 3 5 _；21函数 f x 2 6 x x 2 8 的间断点是 _ x 2 x 3 x 522如 f x 1 1x x 1 x , x 0 在 x 0 处连续,就 A _A , x 023设 y x ln x x 2 1,就 dy；dx _ 1 x 2 2 x x 224设 I 0 dx 0 f x y dy 1 dx 0 f x y dy,交换积分次序后 I _25已知 z arctan xy , 就 dz _26微分方程 dy 2 x 1 e x 2 x y的通解 y

6、_dx27. nlim 1+ 2n -n= A. 0 B e-2C e 2D 2e-2 28. 以下函数在（ -, +）内单调递减的是（）2 2 A y=-x B y=x C y=-x D y=cosx 1-29. 设 y=x 2 +5,设 y = 1-3 1 1 1-3 1-1A -2 x 2 B -2 x 2 C -2 x 2 +5 D -2 x 2 +5 30. 曲线 y=x 3-6x+2 的拐点坐标（）A （0,4）B （ 0,2）C（0,3）D 0,-2 31. cosx dx 等于 A sinx+c B sinx C cosx+c D cosx 132. xe xdx 等于（） A

7、 1 B 2 C 12 D -1 0233. （x 2+4x） dx = A 323 B 11 C 0 D 5 034. 设函数 z=e x + y ,就dz dx = A 12 e x + y 1x dx+ 1y dy B 2e x + y 1x dx+ 1y dy C 1 2 e x+y 1 x dx+1 y dy D - 1 2 e x + y 1x dx+ 1y dy 35. 如 cotx 是 fx 一个原函数,就 fx 等于（）word 可编辑资料收集于网络,如有侵权请联系网站删除A csc 2x B -csc 2x C sec 2x D -sec 2x 36. 设 lim x 0

8、sinaxx =7,就 a 的值是（）A 1 7 B 1 C 5 D 7 37. 已知函数 fx 在点 x 0处可等,且 f x 0=3,就 lim h 0 fx 0+2h-fx 0h 等于（）A 3 B 0 C 2 D 6 38. 当 x 0 时, sinx 2+5x 3与 x 2 比较是（）A 较高阶无穷小量 B 较低阶的无穷小量 C 等价无穷小量 D 同阶但不等价无穷小量39. 设 y=x-5+sinx ,就 y 等于（）A -5x-6+cosx B -5x-4+cosx C -5x-4-cosx D -5x-6-cosx40. 设 y= 4-3x 2 ,就 f 1 等于（）A 0 B

9、-1 C -3 D 3 41. 2e x-3sinxdx 等于（）A 2e x+3cosx+c B 2e x+3cosx C 2e x-3cosx D 1 1dx42. 2 dx 等于（）A. 0 B. 1 C. D.1-x 20243. 设函数 z=arctan yx,就 x z 等于（）x zy-y y x-xA. x 2+y 2 B. x 2+y 2 C. x 2+y 2 D. x 2+y 2244. 设 y=e 2x+y就 z=（）A. 2ye 2x+yB. 2e 2x+yC. e 2x+yD .e 2x+yx y二. 填空题：3lim x x 1 x1. x 3 2 _. x3lim

10、 x x 1 x lim 1 1 1xx 3 2 x 1x x 3 x 1 2 1x2. 设 y e 2,就 y _. 1 xx 23. 设 F n 2 x e dt t,就 F _. e 2dx4. 1 x 1 ln x _. 1 2 25. 设 z ln 1 x y ,就 dz 1,1 _. 2word 可编辑资料收集于网络,如有侵权请联系网站删除6. 已知 a1, ,1,b2,1,1,就过点 M 0 1, ,1 且同时平行于向量a 和 b 的平面的方程为 _. 7. 微分方程dy dx3ye 2 的通解是 _. 1,1x8. 幂级数n0 x91 2n的收敛区间是 _. n9. 设 aij

11、2 k,就与 a 同方向的单位向量a0_. 10. 交换二次积分I1dxxf x,y dy的次序得0 x 2I_. 11. 设 f x ex2x21x0为连续函数,就a_；12ax012. 函数 y2x33x212x1的单调递减区间是_；13. 设sin x x是 f 的一个原函数,就xf x dx_；14. 设x 0 ft dt1x2arctanxex2,就 f _；15. 设0 xkxdx 5,其中 k 为常数,就 k_；416. 设 zesin2xy2,就z_；y17. 微分方程1xydx1yxdy0 的通解为 _；18. 点 M 0 1, ,3到平面 x2yz20 的距离 d_ ；19

12、. 幂级数n01nx1n的收敛区间是 _（不含端点）；4n20. 方程 y2y5y0 的通解是 _；21. 已知x1,就lim n11xx2xnn . n1（A ）1 （B）1 ex（C）e（D）e1x22以下等式成立的是（）. 0（A ）如fx dx和fx dx均发散,就fx dx必发散；0word 可编辑资料收集于网络,如有侵权请联系网站删除（B）如fx dx和gx dx均发散,就fxgx dx必发散；fx在xc000（C）如fx dx和gx dx均发散,就fx gx dx必发散；000（D）如fx dx收敛,g x dx发散,就fxgxdx必发散00023设函数yfx在 a,b上连续可导

13、,ca ,b,且f c0,就当（）时,处取得极大值 . c时,f x x x x 0,当cxb时,f x x x x 0, A 当ax时,当时, B 当axcf0cxbf0时,当时, C 当axcf0cxbf0时,当时,. D 当axcf0cxbf024设函数y,fx在点xx0处可导,就lim h 0fx03h hfx0 x2h .A fx 0B3fx0,C4fx0,D5f0.ex2, x0125设函数fx0,x0,就积分fx dx（）. ex2,x01A ,1B0C1,D2.e26可微函数zfx,y在点x 0y0处有zz0是函数zfx ,y 在xy点x 0y0取得极值的（）. A 充分条件,

14、B 必要条件,C 充分必要条件,D 既非充分条件又非必要条件. 27设级数an和级数b 都发散,就级数anbn是（）. n1n1n1A 发散,B 条件收敛,C 肯定收敛,D 可能发散或者可能收敛. 28.函数f x 的定义域为0,1 ,就函数f x1f x1的定义域是 55A1 4 ,5 5B1 6 ,5 5C1 4 ,5 5D0,129. 当x0时,与 x 不是等价无穷小量的是Asin xx2Bx2 s i nxCt anxx3D s i nxxword 可编辑资料收集于网络,如有侵权请联系网站删除30.设F x xf t dt,其中f x x2,0 xx1,就下面结论中正确选项 01,12

15、AF x 1x 3,0 x1BF x 1x 31 ,0 3x133x , 1x2x , 1x2CF x 13 x,0 x1DF x 1x3,0 x1331,1x2x2 ,1 3x2x31.曲线yx x12x ,0 x2与 x 轴所围图形的面积可表示为A 2x x12x dx 0B 1x x12x dx 2x x12x dx 0 1C 1x x12x dx 2x x12x dx 0 1D 2x x12x dx 032设a b 为非零向量,且ab ,就必有 AababBababCababDabab33.lim x 32x2-5x+4 ）= 34.lim x 0sin5x = 2x35. 设函数 y

16、=x lnx , 求 y/ = 36.y=x3拐点坐标是137.xex2dx = 38.xexdx = 0439. tan2 d = 040. 设二元函数y=sinx2+y2, 就dy dx = k= 41. 已知 z arcsinxy,dz= 42. 曲线 y=e-x 在点（ 0,1 ）处的切线斜率43.xlim1-1 x 2x= word 可编辑Ke2x x0 资料收集于网络,如有侵权请联系网站删除44.设函数 fx= 在 x=0 处连续,就k45.2cosx x0 函数 -e-x 是 fx 的一个原函数,就函数 y=x-e x 的极值点 x= fx 46.47.设函数 y=cos2x ,

17、求 y= 曲线 y=3x2-x+1 在点（ 0,1）处的切线方程y= 48.49.1 x-1 dx 50.2e x-3sinxdx = 51. 023 cosxsinxdx= 52.设 z=e xy,就全微分 dz= 三. 解答题：2x arctan 1. 运算 2 dx1 x12. 设 f x e x2,求 h lim0 f 1 h f h33. 判定函数 y x2 的单调区间3 xy2 24. 求由方程 yx 0 1 t dt 0所确定的隐函数 y y x 的微分dye e5 设函数 f ln x 1 f x dx,求1 f x dx36. 求曲线 y x2 的渐近线 x 1 2 2 dx

18、dy7. 设区域为 D： 1 x y 2,y 0,运算2 2D 4 x yx8. 求极限 lim x 0 ex e x 11；29. 设 y x 1 arctan x 2x arctan x 1 ln 1 x 2,求 dy；2 2210. 求函数 y x 3x 3 在区间 1,1 上的最大值与最小值；211. 求不定积分 sin xdx；word 可编辑资料收集于网络,如有侵权请联系网站删除12. 设 zzxy , 由方程 x22y23z2xyzx9 确定,求z,z；xy13. 如区域 D： x2y21,运算二重积分D11y2dxdy；214. 求过三点 A（ 0,1,0）, B（1,-1,0

19、）, C（1,2,1）的平面方程；15. 判定级数 3 nn 1 n的收敛性；n 1 4 n16. 求方程 y y 2 y x 2 的一个特解；17. 设 f 为连续函数,且 f x x 3 3 x 0 1f x dx,求 f x ；18. 设抛物线 y ax 2 bx c 过原点（ 0,0）且当 x 0,1 时, y 0 ,试确定 a、b、c 的值；使得抛物线 y ax 2 bx c 与直线 x 1, y 0所围成图形的面积为 4,且使该图形绕 x 轴旋转而成的旋转9体的体积最小；3 5 719. 求幂级数 x x x x 的和函数,并由此求级数 1 1 1 1 的和；3 5 7 3 5 7

20、2 120. 求 lim x 1 x s i n . x x1 1x , x 021.已知 f x x e 1 , 求 f x . 1, x 02x ln x22.求不定积分 x 21 32 dx . y 223 运算 I x cos ye 2 d , 其中 D 是直线 y x , x 1 和 y 0 所围的封闭平面区域 . D x3 n 1x24.求幂级数 的和函数 . n 1 3 n 2 .T T T1 ,1 ,1 ,3 5 , 2 2 , ,1 4 , a 8 , 1 0 , ,1 2 , 3 , T25. 已知：T 1 , 1 , b 3 , 5 . 确定常1 ,1 ,1 a 2 ,

21、1 ,量 a 、b 的取值的范畴 , 使 能由 1 , 2 , 3 , 4 唯独线性表示 , 并写出该表示式 . word 可编辑资料收集于网络,如有侵权请联系网站删除2100. 26. A1200, 求矩阵P, 使APTAP为对角阵 . 0001001027. 设直线L :xyb030在平面上 ,而平面与曲面ax5yzzx2y2相切于点 1,2,5 , 求a,b的值 . 28. 将函数fx13x2x2绽开成x的幂级数 . x21029. 已知矩阵A021, 且ABA1BAE, 其中A为A002的相伴矩阵, 求矩阵B .30 运算极限lim xx21xsin1. x31. 运算二重积分IDxx

22、y1d,其中D为直线xy1,x03和y0所围成的平面区域 . 32设函数yx2sinxa在,02内有且仅有1 个零点,求正数a的取值范畴01110033已知矩阵A 101, B 110,且矩阵P 满意110111APABPBAPBBPAE,其中E为单位阵,求P . 34求函数yx2x1 x的导数 . 35. 求函数yx32x21在区间（ 1,2）中的极大值,微小值. 36. 求函数fxx2ex的 n 阶导数dnf. dxn37运算积分02 x1x2dx. 38运算积分112xdx. 13e139运算积分x2x2 x edx. 0word 可编辑资料收集于网络,如有侵权请联系网站删除40设函数z

23、cosxysinxy,求偏导数z 和 x2z. xxy41.把函数yx11绽开成x1的幂级数,并求出它的收敛区间. 42.求二阶微分方程d2y2dyyx的通解 . dx2dx43.设a,b是两个向量,且a2 b,3求a2 b2a2 b2的值,其中a 表示向量 a 的模 . 44运算lim xx3x1；45设yx coslnx sinlnx ,求dy dx；2x646设函数x2 et2 cost,求dy dx；47运算不定积分sin212xdx. ye 2tsin2txcos48运算定积分 1exdxx； 0e49求微分方程2 d y3dy2y2ex满意yx0,1dyx00的特解；dx2dxdx

24、50求过直线3x2yz10,且垂直于已知平面x2y3z50的平面方程；2x3y2z2051将函数f x lnx23x2绽开成 x 的幂级数,并指出收敛半径；52运算ID2 xdxdy,其中 D 由直线x2,yx 和双曲线xy1所围成的封闭图形；2 y53当 a 为何值时, 抛物线y2 x 与三直线xa xa1,y0所围成的图形面积最小,求将此图形绕轴旋转一周所得到的几何体的体积；x 2-2x-3 yx2+y254. 运算x lim1 x 2-1 55. 设函数 Z=e 求 dz=？58. 求函数 fx,y=4x-y-x 2-y 2 的极值59. （ 1）求直线 y=2x y=x x=2 x=4

25、 所围成的平面图形 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积（2）求直线 x=0 x=2 y=0 与抛物线 y=-x2+1 所围成的平面图形的面积S如下列图dz yz2-xz3-1=0 1 2 60. 设 Z Z（x,y ）由下面方程所确定,试求61.lim x 1x 2-12x 2-x-162.设函数y=x3e 2x,求 dy A2,-3 64.运算1l n 2x1 dx065.求函数 y=x e 1+x的单调区间和极值word 可编辑资料收集于网络,如有侵权请联系网站删除66.设函数 z=x,y 是由方程 x 2+y 2+2x-2yz=e z所确定的隐函数,求求曲线 y=e x,y=e-x

26、与直线 x=1 所围成的平面图形面积dz 67.四应用题：1. 已知方程组I的通解为k11 ,1,10Tk21 ,3,31,T,（k 1, k2为任意常数） . 给定方程组 : x 1 x 2 3 x 3 x 4 0 II 2 x 1 x 2 2 x 3 x 4 0 求 II 的通解 , 并求 I , II x 1 2 x 2 x 3 0 4 6的非零公共解 . 2.假定足球门宽为 4 米 , 在距离右门柱 6 米处一球员沿垂直于底线的方向带球前进 如图 . 问 : 他在离底线几米的地方将获得最大的射门张角 . T T T3. 已 知 1 0, , 1 1, , 1 1, 0, 1, ,且 A

27、 , 求 方 程 组nA x 0 的 通解 . 4为销售某产品, 拟作电视和电台广告宣扬,当电视广告与电台广告宣扬费分别为 x 和 y （万元） 时,销售量为 100 x 72 y（吨） . 如该产品每吨销售价为 2022 元 . 问：（1） 如要使总广告费不超过 10 5 x 10 y万元,应如何安排电视与电台广告费,使广告产生的利润最大？最大利润是多少？（ 2）如总广告费恰好是 4.8 万元,又应如何安排电视与电台广告费,使告产生的利润最大？最大利润是多少？1 1 k a5设 1 1,2 k,3 1,b； 问：2 1 1 c（1）在什么条件下,可由 1,2,3线性表示,且表法唯独？（2）在

28、什么条件下,可由 1,2,3线性表示,但表法不唯独？并写出不同的表示式 . （3）在什么条件下,不能由 1,2,3线性表示？6运算积分 sin 2 n 1 x sin 2 m 1 xdx,其中 n, m 是整数 . 0 2 23 27已知函数 f x 4 ax 3 bx 2 cx d,其中常数 a , b , c , d 满意 a b c d 0,（1）证明函数 f x 在（ 0,1）内至少有一个根,（2）当 3 b 2 8 ac 时,证明函数 f x 在（ 0,1）内只有一个根 . 8.（此题 8 分）设函数 f t 在 0,1 上连续,且 f 1,证明方程word 可编辑资料收集于网络,如

29、有侵权请联系网站删除2x xf t dt1在 0,1 内有且仅有一实根；fx,y. AX. 0的解 09证明：如m0,n0,a0,就xmax nm m nnam n；mnm n10设f x 是连续函数,求证积分I 02fsinfsinfxdx4；xcos 五证明题：1. 设fx,y有连续偏导数, 且对任意x,y有xfx,yyfx,yfx ,y. 证明 ： 对t0,有ftx,tyxyt2.设fx在,内连续 ,且lim xfx 0, 证明 : 总存在一点, 使 得fx3.设向量1,2, ,r是线性方程组AX0的一个基础解系,向量不是向量, 证明向量组,1,2, ,r线性无关 . 专升本高等数学试题

30、答案一. 挑选题2 21. 令 y f x x 4 x 4 x 2 x 2 y x y 2 ,反函数为 y 2 x,选 B 2. 应选 C；例： y x 在 x 0处取得微小值,但该函数在 x 0 处不行导,而 f 0 不存在3. 直线明显过（ 0,0,0）点,方向向量为 l 0, ,3, x 轴的正向方向向量为 v 1, ,0,l v 1 0 4 0 3 0 0 l v,故直线与 x 轴垂直,故应选 A ；4. a x n n 在点 x 2 处收敛,推得对 x0 2,2 ,a x n 0 n肯定收敛,特殊对 x0 1 有n 0 n 0n na x 0 a n 1 肯定收敛,故应选 A ；n

31、0 n 05. r 23 r 2 0特点根为 r 1 1,r 2 2,由此可见 1（e xe 1 xe x）是特点根,于是可设 y * xAe x Axe x,应选 C；6. C f 0 0 lim 1 不存在；x 0 xword 可编辑资料收集于网络,如有侵权请联系网站删除 7. C 正确例： f 0 x0 xx0,就 f x 在 ,上非奇非偶,但f x dx0；cosijk8. abc314ijk101a0a1i1j1k,应选 C；a3339. unlnn1,un1lnn2lim nu n1lim nn1lnn21n1n2u nn2lnn1000故收敛区间是（-1,1）,应选 B；10.

32、ycosxc 1,ysinxc xc 2,应选 A；11.1ln1xyxc12.913. y11x14402621xye041015连续区间是,001, ,1,161 ,2（2）x17（ 1）y0或者xyz,或者xt,y0 ,z0（其中 t 是参数）,z010018a0 b1,19（ 1）r2x,（2）3y. y2x20 lim nn2n3n5n5；21函数f x x26xx285的间断点是x3；2x3x22如f x 1 1 xx1x,x0在x0处连续,就A1A ,x023；设yxlnx2 x1,就dylnx2 x1xx1；dx224设I 1dx 0 xf x y dy 2dx 02x x2f

33、 x y dy,交换积分次序后 0 1I 1dy 1+ 1-y2f x y dx ； 0 y225已知zarctanxy,就dzydxxdy；12 2x yword 可编辑资料收集于网络,如有侵权请联系网站删除26微分方程dy dx2x2 x 1 exy的通解为 yx ln e2xC ,其中 C 为任意常数；27.B 28. A 29.A 30.B 31.A 32.A 33.A 34.A 35.B 36. D 37 .D 38 .C 39 .A 40 .C 41 .A 42. C 43.A 44. B二.填空题：lim 1. xx3x1xlim1113x11x0 x3 2x1 2xx2. y

34、x e 1x2ex 1x212 xx2x exx1 2e 1x22 122 1x2213. 解： Fn1 Fn2 x2e dt t2xe x2exxFn Fn1 2x xe2ex2 ex 242 x ex 2x e42 x ex22 ex 2x e4. 解e2xdxlnxe2d1lnx2 1lnxe211111lnx2 32231 5. z1xxy2,5 zx2z1xyy2dz1,1 1dx1dyy233（dz1,1z1,1 dxz1,ydy）xyijk6. 平面的法向量为nab1213 ij5 k211平面的方程为 3 x1 y1 5 z1 0即 3xy7. 解： p x 3,q x e2x

35、通解为 yep x dxq x ep x dxdxc e3dxe2xe3 dxdxc e3x5 xe dxce3x1e5xc1e2xce3x55word 可编辑资料收集于网络,如有侵权请联系网站删除8. 解： 令 un x91 2n, un1 x91 2n2x22sinxc1,1xnn1limu n1 limx1 2n2x9n2nx1 2nu n n9 n11 9由x91 21解得,2x4,于是收敛区间是2,4 9. a2 112226, a0a1i1j2ka66610. 解： 积分区域如下列图：D： yxy, 0y1,于是I1dxxf x,y dy1 0 dyyyf x,y dx0 x211

36、. lim x 0f x lim x 0ex2x21lim x 0 x21,a1122x22212. y6x26x126x2x26x1x2当2x1时, y0,故 y 单调递减,故单调区间是（-2,1）13. f x sinxxcosx2sinxxxxf x dxxf x f x dxxcosxxsinsinxcxcosxxx14. f xx22arctanx1x2112xex22xarctanx2xe1x dx215. 0 xkkb limbx5kb lim arctanx2 besin2xy22004 x54xk2arctan 2k2arctan 216. zesi n 2xy22sinxy

37、2cos2 xyx22y22 x ysin2 xy2y17. 方程改写为x2x dxy2y dy,两边积分得：1x31x21y31y2c 13232即 2x3y33x2y2cc6c118. 点 M0 x 0,y0,z 0到平面 AxByCzD0 的距离公式为word 可编辑资料收集于网络,如有侵权请联系网站删除d Ax 0A 2 By 0B 2 CzC 02 D所求 d 11 2 32 32 31 22 5 66n 1 n19. lim n uu nn 1n lim4 1n 14 1n 14,收敛半径 R 14由 x 1 4 得：3 x 5,故收敛区间是（-3,5）20. 特点方程为：r 22

38、 r 5 0 ,特点根为 r 1 2 2 4 20 1 2 i2通解为 y e x c 1 cos 2 x c 2 sin 2 x21. D 22. A 23.B 24.D 25.B 26.B 27.D 28.C 29.D 30.D 31C 32.B 5 1 133.7 34.2 35.xln 3x 2-lnx 36. 0,0 37. 2 ex 2+C 138. 1 39. 1- 4 40.2xcosx 2+y 2 41. 1-x 2y 2 ydx+xdy 42. -1 -2-x43.e 44.2 45. e 46. 0 47.-4cos2x 48. y=-x+1 49. ln x 1 +c

39、50. 2e x+3cosx+c 51. 14 52. dz=e xyydx+xdy 三. 解答题：1. 解：xarctan 2dx3时, y0,函数单调削减,故函数的1x21x2dxarctan 2dxx1x21d 1x2arctan 2darctanx21x21ln1x21arctan 3c23lim 2. 解： h0f 1h f f e12x12e1x2x3h3. 解： y3 x23x2xx33x2x2 9xx2322322当3x3时, y0,函数单调增加；当x3或 x单调递减区间为,3 3,单调递增区间为3,3 4. 解： 方程两边对 x 求导（留意 yy x 是 x 的函数）：wor

40、d 可编辑资料收集于网络,如有侵权请联系网站删除y x22xy1y2y02y dxA12xyx2dxA1解得y12xyx2dyy2y25. 解： 设 Ae 1 f x dx,就 f x lnx,两边求定积分得Aef x dxe 1 lnxA dx lnxxAxeAe11解得： A1 ,于是 ef lnx1e6. 解： （1）limylimxx3xx1 曲线没有水平渐近线lim（2） x1ylim1xx321,曲线有铅直渐近线x1x1 2lim（3） xylimxx2axx1 2x3xlimya x limxxx1 limx3x32x2xy2bxx1 2x2所以曲线有斜渐近线：7. 解： 积分区

41、域如下列图（阴影部分）dxdy0d124rr2drlim x 0e2xexx11112x2D4x2y2211d4r2124r2lim x 0exexx11x8. 解： lim x 0exex11xx ex2lim x 02e2x2ex23arctanx1lim x 04e2xex2x22 x212arctanx19. 解： yxarctanxx1x22 x2xxarctan2x11x2word 可编辑资料收集于网络,如有侵权请联系网站删除所以 dyy dxxarctanx2x1dxx11x0 时1x210. 解： 函数 yx3x2 3 在 x0 处不行导, y 1x1332x13令 y0 得驻

42、点 x1,求得 y 1 5,y 00,y1522于是 y 在 1,1 上的最大值为y 0 ,最小值为 y1211. 解： 令xt,xt2 , dx2tdt,于是sinxdxsi ntt2dt2tsintdt2tcos t dt2 cos tcos tdt2 cossin c仍 原2xcosx2sinxc12. 解： 令 F x y z , , x22y23 z2xyz9 ,就Fx2y,Fy4x,Fz6z1于是,zF x2xyxF z6z1zF y4yxyF z6z113. 解： D 用极坐标表示为 ,020,r1D1x1y2dxdy2 0 d1112rdr21rdr220r01r1d 1rr2

43、ln1r21ln20120yx2+y 21Ox14. word 可编辑资料收集于网络,如有侵权请联系网站删除解： AB1,2,AC1, ,1,平面法 向量 n 同时垂 直于 AB和AC,于是可令nABACijk2 ij3 k2,1,3120111平面方程为：20 xy13z00,即2xy3 z10CAB15. 解： 由于n13 n是公比 q31的等比级数从而收敛,再考察级数n11n4nn4n其中 u n 1 1 满意 u n 1 1u n 1, lim u n lim 10n n n n 1 n n n由莱布尼兹判别法知 1 n收敛,级数 3 nn 1 n收敛；（两收敛级数之和收敛）n 1 n

44、 n 1 4 n16. 解： 特点方程为 r 2r 2 0 ,特点值 r 1 2,r 2 1f x x 2xe 2 0 ,这里 0不是特点根,可设特解为：00 x 2 2y * x e ax bx c ax bx cy * 2 axby,* 2 a 代入原方程并整理得：2 22 ax 2 a 2 b x 2 a b 2 c x解得： a 1,b 1,c 32 2 4于是 y * 1 x 2 1 x 32 2 4117. 解： 令 A 0 f x dx,就13 3fx x 3 x 0 fx dx x 3 Ax11 1 3 1 4 3 2 1 30 fx dx 0 x 3 Ax dx4 x2 Ax

45、0 4 2 Aword 可编辑资料收集于网络,如有侵权请联系网站删除即 A13AA1c过原点（ 0,0）,有 c0yax2bx4223 2x于是 f x x318. 解： 因抛物线 yax 2bx依题意,如下列图阴影部分的面积为1ax2bx dx1ax3b x 2211ab4030329b82 3a9yl 1 x该图形绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积为V1ax2bx 2dxa12 a x42 abx3a2 b x2dx00a21ab1b225232a182V aa21a852933935x2a2464令 Va135812434a40,得驻点： a1358131b8 925182y339Oy由

46、问 题 的 几 何 意 义 可 知 , 当 a5, 从 而 b2 时 , 旋 转 体 的 体 积 最 小 , 于 是 所 求 曲 线 为35x22 x3word 可编辑资料收集于网络,如有侵权请联系网站删除19. 解： 令 S xxx3x5x7 ,就 S 0 且有y1x337S x 1x2x4x6 1112arctanxx又 S x S x 0 S t dtxdtlim t 0101t2S xarctanxO于是 1111 arctan143574r21232cos t20.解: 原式t1lim t 01 11sint lim t 0tsintxt2tt33t2x1lim t 0sint=16

47、t621.解: 因lim x 0fxlim x 01xe11lim x 0exxexx1 xlim x 0exx111f022f x在x0处连续 . 111f0lim x 0fxxf0lim x 0 xex12xexxlim x 02 ex1 22xx ex1 ex2x1 =lim x 02 ex2xxxex=lim x 0ex12236xlnx12fxx1eex1 2x02x11d122.解: 原式lnx d x21 2lnx1x11dxx211xx2x2x2lnx1 a r c s i nxcx21word 可编辑资料收集于网络,如有侵权请联系网站删除23.解: IDxcosy dxDxe

48、y2d, ex. 21dxxx2cosydy1dy1xey2dx200 xx0y=1x2sin 1dx11ey 2dy1y2ey2dy 2202001sin111ey 2dy1y dey 22232001sin111ey 2dyyey21 | 01ey2dy22232001sin 11e1. 23224.解: 令S xn1 x3 n1.xg xxR3 n2其中g xn1x3n2xRg003 n2 .g xn0 x3 ng 0 1g xn1 x3n13 n .3n1 .g x,0g x g xex, g 0 g 0 1210123i,123i解得 : g xex c 1cos3xc 2sin3x

49、e x2223g0 0,g 01c 11,c 2133S xx ex1cos3x3sin3x 232323word 可编辑资料收集于网络,如有侵权请联系网站删除27. 解2120110,01,T25.解: 111a12b133425a8315120110112000a102b000a1ba1 ,bR可由1,2,3,4线性表示 . 1000aab11 0 2 b01000010ab10001a1aab1112b3ab14a126.解: APTAPPTA2P5400A2450000100001A2的特点值为 : 1,1,1,9. 1的特点向量 : 11, ,0 ,0 T,0 ,0 , 10T,09

50、的特点向量 : 1 1, ,00,T曲面在 1,2,5处的法向量为平面nz xz y,1 ,12,52 ,4 ,1方程为2x1 4y2 z5 0, 即x4yz50. word 可编辑资料收集于网络,如有侵权请联系网站删除直线 L 的方程又可写为yxbxb 3,代入平面|的方程解得a1,b2. zax5 28. 解13 x2x211x11, x2 x11xn0 xn, | x|1, 1 2. 11xn02xnn01 n2nxn, | x|1. 2fx n x1 n2nxn=11 n2nn x , |xn0n0n029. 解: AAA1BAEAA1BAA11ABABAEA12311=13724 1

51、8 302301sint124 1002002P1100PTA2 P912 12 1002 02 01010001costlim t 030lim xx21xsin1t1lim t 0tsintlim t 01xt33 t26t6x31 解法一画出区域D 的示意草图11ID3xxyd12cossincos cossin1rdrd0302c o s1s i n2d32c o ss i n c o s0word 可编辑资料收集于网络,如有侵权请联系网站删除12coscossin1dcoscossintcossin10t1dt433cos320218解法二画出区域D 的示意草图ID3xxyd1dx1

52、xxxy1dy3001x13xy21xdx31x1xdx3333000 x22832fxx2sinxa,x,02ff 0 a0,f22 x 02ax 12c o s04fx 0,0 x4fx递减,04x递增4x0,22当a22时,f222a0fxx2sinxa在（0 ,2）内无零点；当0a22时,f222a0fxx2sinxa在（0 ,2）内有且只有一个零点；所以此题答案是：0a22；33解： APA APBBPBBPA E AP（AB） BP（ A B） E （AP BP）（ AB） E （A B）P（ A B） E A B111（A B）-1112011011001001word 可编辑资

53、料收集于网络,如有侵权请联系网站删除1252 1 nx 21nPAB 1201200134解：令lnyxlnx2x1 ,就yx2x1 lnx2x1 x2x1 xx2x135解：y3x24xx3x4 ,驻点为x 10,x243（法一） y6x4,y040,y01（极大值）,y440,y45（微小值） . 3327（法二）x1 （ 1,0）0 0,434343,2y正0 负0 正y-2 递增1 递减527递增当x0时,y1（极大值）,当x43时,y527（微小值）36解：利用莱布尼兹公式dnfx22 nxnn1 exdxn37解：0 x212dx0 x1x2 dx0 x12x1 1dx13 x11

54、 1lnx20ln41x1338解：112xdx1e2xe2xdx2 ee1xx1ln1e2xC （其中 C 是任意常数）239解：1x2x2 exdxx2x2 ex112x1 exdx000212x1exdx2 e1 +2ex1= 0033 e2 e21e；40解：zysinxycosxyy. x2zs i n xyxyc o s xys i n xy41：解：yx111112111x21x212x21 32x2word 可编辑资料收集于网络,如有侵权请联系网站删除n01 nxn1 n,收敛区间为（ -1, 3）. 是 任 意 常 数2142.解：特点方程为2210,特点值为1（二重根）,齐

55、次方程d2yy2dyy0的通解是 yc 1xc2x ex,其中c 1,c2是任意常数 . dx2dxd2y2yx2,2c 1c2xex, 其 中c1, c 2dyx的特解是dx2dx y所 以 微 分 方 程 的 通 解 是yy43解：a2 b2a2 b2a2b a2 ba2 ba2 b2 a2b226. 44运算lim xx3x1；2x6解：lim xx3x1=lim1 xx36x36x36 x122x6又由于lim1 xx36x36elim xx36 x2132所以lim xx3x1=e3；22x645设yx coslnxsinlnx,求dy dx；解；dycoslnxsinlnxx si

56、nlnx1coslnx1= 2cos ln xdxxx46设函数x2 et2 cost,求dy dx；y2 etsin2t解：dx22 et2 cost2e2 tsin costdtdy22 etsin2t22 etsin costdtdydy2 2 et2 costsin cos 2 costsin cos dt dxdx2 2 etsin2tsin cos sin2tsin cos dt47运算不定积分sin212xdx. 2xdxxcos解：sin212xdxsin2xcosxcossin2x2 cosx=1x1xdxcotxtanx Csin22 cosword 可编辑资料收集于网络,

57、如有侵权请联系网站删除48运算定积分 0 1e x dxe x；解： 0 1e x dxe x 0 1 1 ee x2 x dx = 0 11 d e e xx 2 dx = arctan e x 1 0 arctan e4；249求微分方程 d ydx 2 3 dydx 2 y 2 e x满意 y x 0 1, dydx x 0 0, 的特解；2解：微分方程 d y2 3 dy 2 y 2 e x对应的特点方程为dx dx2r 3 r 2 0 r 1 r 2 0特点根为 r 1 1, r 2 2而 1,所以 r 1 1 为单根,x 2 x对应的齐次方程的通解为 Y C e C e非齐次方程的

58、通解为 y *Cxe x代入原方程得 C 2x 2 x x有通解 y C e C e 2 xe有 dydx x 0 0, y x 0 1C 1 C 12 C C2 22 10 C 1 0, C 2 1有解 y e 2 x2 xe x3 x 2 y z 1 050求过直线,且垂直于已知平面 x 2 y 3 z 5 0 的平面方程；2 x 3 y 2 z 2 03 x 2 y z 1 0解：通过直线 的平面束方程为2 x 3 y 2 z 2 03 x 2 y z 1 2 x 3 y 2 z 2 0 即3 2 x 2 3 y 1 2 z 1 2 0要求与平面 x 2 y 3 z 5 0 垂直,就必需

59、1 3 2 2 2 3 3 1 2 04 2 0 2所求平面方程为 x 8 y 5 z 5 0word 可编辑资料收集于网络,如有侵权请联系网站删除51将函数f x lnx23x2绽开成 x 的幂级数,并指出收敛半径；求将此图形绕x解：f lnx1x2lnx1lnx2= ln 2ln1xln1x2=ln 2n0 1 nn1 x1 2n1n0 1 nn11n1x=ln 2n0n 1n11122n1xn1n1收敛半径R152运算ID2 xdxdy,其中 D 由直线x2,yx 和双曲线xy1所围成的封闭图形；2 y解：IDx 2dxdy 2dx xx2dy2 y 11y2x= 2x21x 1dx 2

60、x3x dx=x4x229 1y 14214x53当 a 为何值时, 抛物线y2 x 与三直线xa xa1,y0所围成的图形面积最小,轴旋转一周所得到的几何体的体积；解：设所围面积为 S a a 1 2 a 1 3a 3S a a x dx3 2 2S a a 1 a 2 a 1令 S a 0 a 12S 2 0,所以 S 1 1为最小的面积2 12V x - 1212 y dx 22 0 12x dx 4 25 x 50 1280 x 2-2x-3（x-3 ） x+1 x-3-454. x lim 1 x 2-1 =x lim 1 x-1x+1 = lim x 1 x-1 = lim-2 =