高考数学试题分类汇编-数列

1、2021年高考数学试题分类汇编数列一、选择题1.(2021年广东卷文)等比数列的公比为正数，且=2，=1，那么= A. B. C. D.2 【答案】B【解析】设公比为,由得,即,又因为等比数列的公比为正数，所以,故,选B2.2021广东卷理等比数列满足，且，那么当时，A. B. C. D. 【解析】由得，那么， ，选C.3.2021安徽卷文为等差数列，那么等于A. -1 B. 1 【解析】即同理可得公差.选B。【答案】B4.2021江西卷文公差不为零的等差数列的前项和为.假设是的等比中项, ,那么等于A. 18 B. 24 C. 60 D. 90答案：C【解析】由得得,再由得 那么,所以,.应

2、选C5.2021湖南卷文设是等差数列的前n项和，那么等于【 C 】A13 B35 C49 D 63 解: 应选C.或由, 所以应选C.6.2021福建卷理等差数列的前n项和为，且 =6，=4， 那么公差d等于A1 B C.- 2 D 3【答案】：C解析且.应选C7.2021辽宁卷文为等差数列，且21, 0,那么公差dA2 B C D2【解析】a72a4a34d2(a3d)2d1 d【答案】B8.2021辽宁卷理设等比数列 的前n 项和为 ，假设 =3 ，那么 =A 2 B C D3【解析】设公比为q ,那么1q33 q32 于是【答案】B9.2021宁夏海南卷理等比数列的前n项和为，且4，2，

3、成等差数列。假设=1，那么=A7 B8 315 416解析：4，2，成等差数列，,选C.10.2021四川卷文等差数列的公差不为零，首项1，是和的等比中项，那么数列的前10项之和是 A. 90 B. 100 C. 145 D. 190【答案】B【解析】设公差为，那么.0，解得2，10011.2021湖北卷文设记不超过的最大整数为,令=-，那么，,【答案】B【解析】可分别求得，.那么等比数列性质易得三者构成等比数列.12.2021湖北卷文古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4

4、，9，16这样的数成为正方形数。以下数中及时三角形数又是正方形数的是A.289 B.1024 C.1225 【答案】C【解析】由图形可得三角形数构成的数列通项，同理可得正方形数构成的数列通项，那么由可排除A、D，又由知必为奇数，应选C.13.2021宁夏海南卷文等差数列的前n项和为，,那么A38 B20 C10 D9【答案】C【解析】因为是等差数列，所以，由，得：20，所以，2，又，即38，即2m1238，解得m10，应选.C。14.2021重庆卷文设是公差不为0的等差数列，且成等比数列，那么的前项和= A B CD【答案】A解析设数列的公差为，那么根据题意得，解得或舍去，所以数列的前项和15

5、.2021安徽卷理为等差数列，+=105，=99，以表示的前项和，那么使得到达最大值的是A21 B20 C19 D 18解析：由+=105得即，由=99得即 ，由得，选B16.2021江西卷理数列的通项，其前项和为，那么为A B C D答案：A【解析】由于以3 为周期,故应选A17.2021四川卷文等差数列的公差不为零，首项1，是和的等比中项，那么数列的前10项之和是 A. 90 B. 100 C. 145 D. 190【答案】B【解析】设公差为，那么.0，解得2，100二、填空题1.2021全国卷理 设等差数列的前项和为，假设,那么= 。解: 是等差数列,由,得.2.2021浙江理设等比数列

6、的公比，前项和为，那么 答案：15【解析】对于3.2021浙江文设等比数列的公比，前项和为，那么 【命题意图】此题主要考查了数列中的等比数列的通项和求和公式，通过对数列知识点的考查充分表达了通项公式和前项和的知识联系【解析】对于4.2021浙江文设等差数列的前项和为，那么，成等差数列类比以上结论有：设等比数列的前项积为，那么， ， ，成等比数列答案： 【命题意图】此题是一个数列与类比推理结合的问题，既考查了数列中等差数列和等比数列的知识，也考查了通过条件进行类比推理的方法和能力【解析】对于等比数列，通过类比，有等比数列的前项积为，那么，成等比数列5.2021北京文假设数列满足：，那么 ；前8项

7、的和 .用数字作答【解析】此题主要考查简单的递推数列以及数列的求和问题.属于根底知识、根本运算的考查.，易知，应填255.6.2021北京理数列满足：那么_；=_.【答案】1，0【解析】此题主要考查周期数列等根底知识.属于创新题型.依题意，得，. 应填1，0.7.2021江苏卷设是公比为的等比数列，令，假设数列有连续四项在集合中，那么= . 【解析】 考查等价转化能力和分析问题的能力。等比数列的通项。有连续四项在集合，四项成等比数列，公比为，= -98.(2021山东卷文)在等差数列中,那么.【解析】:设等差数列的公差为,那么由得解得,所以.答案:13.【命题立意】:此题考查等差数列的通项公式

8、以及根本计算.9.2021全国卷文设等比数列的前n项和为。假设，那么= 答案：3解析：此题考查等比数列的性质及求和运算，由得q3=3故a4=a1q3=3。10.(2021湖北卷理)数列满足：m为正整数，假设，那么m所有可能的取值为_。11.【答案】4 5 32【解析】1假设为偶数，那么为偶, 故当仍为偶数时， 故当为奇数时，故得m=4。2假设为奇数，那么为偶数，故必为偶数，所以=1可得m=512.2021全国卷理设等差数列的前项和为，假设那么 9 .解：为等差数列，13.2021辽宁卷理等差数列的前项和为，且那么 【解析】Snna1n(n1)d S55a110d,S33a13d 6S55S33

9、0a160d(15a115d)15a145d15(a13d)15a4【答案】14.2021宁夏海南卷理等差数列前n项和为。+-=0，=38,那么m=_解析：由+-=0得到。答案1015.2021陕西卷文设等差数列的前n项和为,假设,那么 .答案:2n解析:由可得的公差d=2,首项=2,故易得2n.16.(2021陕西卷理)设等差数列的前n项和为,假设,那么 .答案：117.2021宁夏海南卷文等比数列的公比, =1，那么的前4项和= 【答案】【解析】由得：，即，解得：q2，又=1，所以，。18.(2021湖南卷理)将正ABC分割成2，nN个全等的小正三角形图2，图3分别给出了n=2,3的情形，

10、在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于ABC的三普及平行于某边的任一直线上的数当数的个数不少于3时都分别一次成等差数列，假设顶点A ,B ,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为f(n)，那么有f(2)=2，f(3)= ，f(n)= (n+1)(n+2)【答案】：【解析】当n=3时，如下图分别设各顶点的数用小写字母表示，即由条件知即进一步可求得。由上知中有三个数，中 有6个数，中共有10个数相加 ，中有15个数相加.，假设中有个数相加，可得中有个数相加，且由可得所以=19.2021重庆卷理设，那么数列的通项公式= 【答案】：2n+1【解析】由条件得且所以数列是首项为4，公比为2的

11、等比数列，那么三、解答题1.(2021年广东卷文)本小题总分值14分点1，是函数且的图象上一点，等比数列的前项和为,数列的首项为，且前项和满足=+.1求数列和的通项公式；2假设数列前项和为，问的最小正整数是多少?【解析】1, , .又数列成等比数列， ，所以 ；又公比，所以 ； 又, ；数列构成一个首相为1公差为1的等差数列， ， 当， ；()；2 ； 由得，满足的最小正整数为112.2.2021全国卷理本小题总分值12分注意：在试题卷上作答无效在数列中， I设，求数列的通项公式 II求数列的前项和分析：I由有 利用累差迭加即可求出数列的通项公式: ()II由I知,=而,又是一个典型的错位相减

12、法模型，易得 =评析：09年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前n项和，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和根底知识、根本方法根本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。3.2021浙江文此题总分值14分设为数列的前项和，其中是常数 I 求及； II假设对于任意的，成等比数列，求的值解析：当， 经验，式成立， 成等比数列，即，整理得：，对任意的成立， 4.2021北京文本小题共13分设数列的通项公式为. 数列定义如下：对于正整数m，是使得不等式成立的所有n中的最小值.假设

13、，求；假设，求数列的前2m项和公式；是否存在p和q，使得？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由.【解析】此题主要考查数列的概念、数列的根本性质，考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法此题是数列与不等式综合的较难层次题.由题意，得，解，得. 成立的所有n中的最小整数为7，即. 由题意，得，对于正整数，由，得.根据的定义可知当时，；当时，. .假设存在p和q满足条件，由不等式及得.,根据的定义可知，对于任意的正整数m 都有，即对任意的正整数m都成立. 当或时，得或， 这与上述结论矛盾！ 当，即时，得，解得. 存在p和q，使得；p和q的取值范围分别是，.5.2021北京理

14、本小题共13分 数集具有性质；对任意的，与两数中至少有一个属于.分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；证明：，且；证明：当时，成等比数列.【解析】此题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分分类讨论等数学思想方法此题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题.由于与均不属于数集，该数集不具有性质P. 由于都属于数集， 该数集具有性质P. 具有性质P，与中至少有一个属于A，由于，故.从而，.， ，故. 由A具有性质P可知.又，从而，.由知，当时，有，即， ，由A具有性质P可知.，得，且，即是首项为1，公比为成等比数列.6.2021江苏卷本小题总分值14分 设是公差不为零的等差数

15、列，为其前项和，满足。1求数列的通项公式及前项和；2试求所有的正整数，使得为数列中的项。【解析】 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解的能力。总分值14分。1设公差为，那么，由性质得，因为，所以，即，又由得，解得，,(2) 方法一=,设，那么=, 所以为8的约数方法二因为为数列中的项，故为整数，又由1知：为奇数，所以经检验，符合题意的正整数只有。7.2021江苏卷此题总分值10分对于正整数2，用表示关于的一元二次方程有实数根的有序数组的组数，其中和可以相等；对于随机选取的和可以相等，记为关于的一元二次方程有实数根的概率。1求和；2求证：对任意正整数2，有.【解析】 必做

16、题本小题主要考查概率的根本知识和记数原理，考查探究能力。总分值10分。8.(2021山东卷理)本小题总分值12分等比数列的前n项和为， 对任意的 ，点，均在函数且均为常数)的图像上.1求r的值； 11当b=2时，记 证明：对任意的 ，不等式成立解:因为对任意的,点，均在函数且,当时,当时,又因为为等比数列,所以,公比为,2当b=2时，, 那么,所以下面用数学归纳法证明不等式成立.当时,左边=,右边=,因为,所以不等式成立.假设当时不等式成立,即时,左边=所以当时,不等式也成立.由、可得不等式恒成立.【命题立意】:此题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及求的基此题型,并运用数学归纳法证明与自

17、然数有关的命题,以及放缩法证明不等式.9.(2021山东卷文)本小题总分值12分等比数列的前n项和为， 对任意的 ，点，均在函数且均为常数)的图像上.1求r的值； 11当b=2时，记 求数列的前项和解:因为对任意的,点，均在函数且,当时,当时,又因为为等比数列, 所以, 公比为, 所以2当b=2时，, 那么相减,得 所以【命题立意】:此题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及求的基此题型,并运用错位相减法求出一等比数列与一等差数列对应项乘积所得新数列的前项和.10.2021全国卷文本小题总分值10分等差数列中，求前n项和.解析：此题考查等差数列的根本性质及求和公式运用能力，利用方程的思想可求

18、解。解：设的公差为，那么即解得因此11.2021广东卷理本小题总分值14分曲线从点向曲线引斜率为的切线，切点为1求数列的通项公式；2证明：.解：1设直线：，联立得，那么，舍去，即，2证明：由于，可令函数，那么，令，得，给定区间，那么有，那么函数在上单调递减，即在恒成立，又，那么有，即.12.2021安徽卷理本小题总分值13分首项为正数的数列满足I证明：假设为奇数，那么对一切都是奇数；II假设对一切都有，求的取值范围.解：本小题主要考查数列、数学归纳法和不等式的有关知识，考查推理论证、抽象概括、运算求解和探究能力，考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野。本小题总分值13分。解：I是奇数，

19、假设是奇数，其中为正整数，那么由递推关系得是奇数。根据数学归纳法，对任何，都是奇数。II方法一由知，当且仅当或。另一方面，假设那么；假设，那么根据数学归纳法，综合所述，对一切都有的充要条件是或。方法二由得于是或。因为所以所有的均大于0，因此与同号。根据数学归纳法，与同号。因此，对一切都有的充要条件是或。13.2021安徽卷文本小题总分值12分数列 的前n项和，数列的前n项和求数列与的通项公式；设，证明：当且仅当n3时， 【思路】由可求出，这是数列中求通项的常用方法之一，在求出后，进而得到，接下来用作差法来比拟大小，这也是一常用方法。【解析】(1)由于当时, 又当时数列项与等比数列,其首项为1,

20、公比为(2)由(1)知由即即又时成立,即由于恒成立.因此,当且仅当时, 14.2021江西卷文本小题总分值12分数列的通项，其前n项和为. (1) 求; (2) 求数列的前n项和.解: (1) 由于,故,故 ()(2) 两式相减得故 15.2021江西卷理本小题总分值14分各项均为正数的数列，且对满足的正整数都有1当时，求通项2证明：对任意，存在与有关的常数，使得对于每个正整数，都有解：1由得将代入化简得 所以故数列为等比数列，从而即可验证，满足题设条件.(2) 由题设的值仅与有关,记为那么考察函数 ,那么在定义域上有故对， 恒成立.又 ,注意到,解上式得取,即有 .16.2021天津卷文本小

21、题总分值12分等差数列的公差d不为0，设假设 ,求数列的通项公式；假设成等比数列，求q的值。假设【答案】123略【解析】 1解：由题设，代入解得，所以 2解：当成等比数列，所以，即，注意到，整理得3证明：由题设，可得，那么 -得，+得， 式两边同乘以 q，得所以3证明：=因为，所以假设，取i=n，假设，取i满足，且，由12及题设知，且当时，由，即，所以因此当时，同理可得因此综上，【考点定位】本小题主要考查了等差数列的通项公式，等比数列通项公式与前n项和等根本知识，考查运算能力和推理论证能力和综合分析解决问题的能力。17.(2021湖北卷理)本小题总分值13分注意：在试题卷上作答无效数列的前n项

22、和n为正整数。令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；令，试比拟与的大小，并予以证明。19.解析：I在中，令n=1，可得，即当时，. . 又数列是首项和公差均为1的等差数列. 于是.(II)由I得，所以由-得于是确定的大小关系等价于比拟的大小由可猜测当证明如下：证法1：1当n=3时，由上验算显示成立。2假设时所以当时猜测也成立综合12可知 ，对一切的正整数，都有证法2：当时综上所述，当，当时18.2021四川卷文本小题总分值14分设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。I求数列与数列的通项公式；II设数列的前项和为，是否存在正整数，使得成立？假设存在，找出一个正整数；假设不存在，请

23、说明理由；III记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有；【解析】I当时，又数列是首项为，公比为的等比数列， 3分II不存在正整数，使得成立。证明：由I知当n为偶数时，设当n为奇数时，设对于一切的正整数n，都有不存在正整数，使得成立。 8分III由得又，当时，当时， 14分19.2021全国卷理本小题总分值12分设数列的前项和为 I设，证明数列是等比数列II求数列的通项公式。解：I由及，有由， 那么当时，有得又，是首项，公比为的等比数列II由I可得，数列是首项为，公差为的等比数列， 评析：第I问思路明确，只需利用条件寻找第II问中由I易得，这个递推式明显是一个构造新数列的模型：，主要的处理

24、手段是两边除以总体来说，09年高考理科数学全国I、这两套试题都将数列题前置,主要考查构造新数列全国I还考查了利用错位相减法求前n项和的方法，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和根底知识、根本方法根本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。20.2021湖南卷文本小题总分值13分对于数列,假设存在常数M0,对任意的，恒有 , 那么称数列为数列.首项为1，公比为的等比数列是否为B-数列？请说明理由;设是数列的前n项和.给出以下两组判断：A组：数列是B-数列, 数列不是B-数列;B组：数列是B-数列, 数列不是B-

25、数列.请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题.判断所给命题的真假，并证明你的结论；()假设数列是B-数列，证明：数列也是B-数列。解: 设满足题设的等比数列为,那么.于是 =所以首项为1，公比为的等比数列是B-数列 .命题1：假设数列是B-数列，那么数列是B-数列.此命题为假命题.事实上设=1，易知数列是B-数列，但=n， .由n的任意性知，数列不是B-数列。命题2：假设数列是B-数列，那么数列不是B-数列。此命题为真命题。事实上，因为数列是B-数列，所以存在正数M，对任意的，有 , 即.于是,所以数列是B-数列。注：按题中要求组成其它命题解答时，仿上述解法 ()

26、假设数列是B-数列，那么存在正数M，对任意的有 .因为 .记，那么有 .因此.故数列是B-数列. 21.2021辽宁卷文本小题总分值10分等比数列的前n 项和为，,成等差数列 1求的公比q； 2求3，求解：依题意有 由于 ，故 又，从而 5分 由可得 故 从而 10分22.2021陕西卷文本小题总分值12分数列满足， .令，证明：是等比数列； ()求的通项公式。1证当时，所以是以1为首项，为公比的等比数列。2解由1知当时，当时，。所以。23.(2021陕西卷理)本小题总分值12分 数列满足， .猜测数列的单调性，并证明你的结论；()证明：。证1由由猜测：数列是递减数列下面用数学归纳法证明：1当

27、n=1时，已证命题成立 2假设当n=k时命题成立，即易知，那么 =即也就是说，当n=k+1时命题也成立，结合1和2知，命题成立2当n=1时，结论成立当时，易知 24.2021四川卷文本小题总分值14分设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。I求数列与数列的通项公式；II设数列的前项和为，是否存在正整数，使得成立？假设存在，找出一个正整数；假设不存在，请说明理由；III记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有；【解析】I当时，又数列是首项为，公比为的等比数列， 3分II不存在正整数，使得成立。证明：由I知当n为偶数时，设当n为奇数时，设对于一切的正整数n，都有不存在正整数，使得成立。

28、 8分III由得又，当时，当时， 14分25.2021湖北卷文本小题总分值12分 an是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a655, a2+a716.()求数列an的通项公式：假设数列an和数列bn满足等式：an，求数列bn的前n项和Sn解1解：设等差数列的公差为d，那么依题设d0由a2+a7 由得 由得将其代入得。即2令两式相减得于是=-4=26.(2021湖南卷理)本小题总分值13分对于数列假设存在常数M0,对任意的，恒有 那么称数列为B-数列首项为1，公比为的等比数列是否为B-数列？请说明理由;请以其中一组的一个论断条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题判断所给命题的真假，并证明你

29、的结论；设是数列的前项和，给出以下两组论断；A组：数列是B-数列 数列不是B-数列B组：数列是B-数列 数列不是B-数列请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题。判断所给命题的真假，并证明你的结论；3 假设数列都是数列，证明：数列也是数列。解1设满足题设的等比数列为,那么，于是 因此- +-+-=因为所以即 故首项为1，公比为的等比数列是B-数列。2命题1：假设数列是B-数列，那么数列是B-数列 次命题为假命题。 事实上，设，易知数列是B-数列，但 由的任意性知，数列是B-数列此命题为。命题2：假设数列是B-数列，那么数列是B-数列此命题为真命题事实上，因为数列是B

30、-数列，所以存在正数M，对任意的有 即。于是 所以数列是B-数列。III假设数列 是数列，那么存在正数，对任意的有 注意到 同理：记，那么有因此 +故数列是数列27.2021天津卷理本小题总分值14分等差数列的公差为dd0，等比数列的公比为qq1。设=+.+ ,=-+.+(-1 ,n假设= 1，d=2，q=3，求 的值；假设=1，证明1-q-1+q=，n；() 假设正数n满足2nq，设的两个不同的排列， ， 证明。本小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前n项和公式等根底知识，考查运算能力，推理论证能力及综合分析和解决问题的能力的能力，总分值14分。解：由题设，可得所以，证明：由

31、题设可得那么 式减去式，得 式加上式，得 式两边同乘q，得 所以， ()证明： 因为所以 假设，取i=n假设，取i满足且由1,(2)及题设知，且 当时，得即，又所以 因此当同理可得，因此综上，28.2021四川卷理本小题总分值14分设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。I求数列的通项公式；II记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有；III设数列的前项和为。正实数满足：对任意正整数恒成立，求的最小值。本小题主要考查数列、不等式等根底知识、考查化归思想、分类整合思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力。解：当时，又 数列成等比数列，其首项，公比是.3分由知 = 又当当 由知一方面，

32、恒成立，取n为大于1的奇数时，设那么 对一切大于1的奇数n恒成立只对满足的正奇数n成立，矛盾。另一方面，当时，对一切的正整数n都有事实上，对任意的正整数k，有 当n为偶数时，设那么 当n为奇数时，设那么对一切的正整数n，都有综上所述，正实数的最小值为4.14分29.2021福建卷文(本小题总分值)2分等比数列中， I求数列的通项公式； 假设分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前项和。解：I设的公比为 由得，解得 由I得，那么， 设的公差为，那么有解得 从而 所以数列的前项和30.2021年上海卷理此题总分值18分此题共有3个小题，第1小题总分值5分，第2小题总分值5分，第3小题

33、总分值8分。是公差为的等差数列，是公比为的等比数列。假设，是否存在，有说明理由； 找出所有数列和，使对一切,并说明理由；假设试确定所有的，使数列中存在某个连续项的和是数列中的一项，请证明。解法一1由，得， 2分整理后，可得，、，为整数， 不存在、，使等式成立。 5分2假设，即， *假设那么。 当为非零常数列，为恒等于1的常数列，满足要求。 7分假设，*式等号左边取极限得，*式等号右边的极限只有当时，才能等于1。此时等号左边是常数，矛盾。综上所述，只有当为非零常数列，为恒等于1的常数列，满足要求。10分【解法二】设 那么假设d=0，那么 假设常数即，那么d=0，矛盾综上所述，有， 10分3 设.，. 13分取 15分由二项展开式可得正整数M1、M2，使得4-12s+2=4M1+1, 故当且