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1、精选优质文档-倾情为你奉上精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业专心-专注-专业精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业课时作业23二面角及其度量时间:45分钟满分:100分一、选择题(每小题5分,共30分)1已知平面内有一个以AB为直径的圆,PA,点C在圆周上(异于点A,B),点D、E分别是点A在PC、PB上的射影,则()AADE是二面角APCB的平面角BAED是二面角APBC的平面角CDAE是二面角BPAC的平面角DACB是二面角APCB的平面角【答案】B【解析】由二面角定义及三垂线定理知选B.2过正方形ABCD的顶点A作线段PA平面ABCD,如果PAAB,那么平面ABP与平面CDP

2、所成的二面角的大小为()A30B45C60 D90【答案】B【解析】设PAABa,则PDeq r(2)a,设二面角为,则coseq f(SABP,SCDP)eq f(r(2),2).45,故选B.3若分别与一个二面角的两个面平行的向量m(1,2,0),n(1,0,2),且m、n都与二面角的棱垂直,则二面角的正弦值为()A.eq f(1,5) B.eq f(2r(6),5)C.eq f(1,4) D.eq f(r(15),4)【答案】B【解析】设二面角为,则cos|cosm,n|eq f(|mn|,|m|n|)eq f(1,r(5)r(5)eq f(1,5),sineq r(1cos2)eq f

3、(2r(6),5).4二面角的棱上有A、B两点,直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB.已知AB4,AC6,BD8,CD2eq r(17),则该二面角的大小为()A150 B45C60 D120【答案】C【解析】由条件,知0,0,.|2|2|2|2222624282268cos,(2eq r(17)2,cos,eq f(1,2),即,120,二面角的大小为60,故选C.5.在正方体AC1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成的二面角的余弦值为()Aeq f(1,2) B.eq f(2,3)C.eq f(r(3),3) D.eq f(r(2),2)【答案】

4、B【解析】建立如图所示的坐标系,设正方体的棱长为1,则(1,0,1),(1,1,eq f(1,2)设平面A1DE的法向量n1(x,y,z),则eq blcrc (avs4alco1(xz0,xyf(z,2)0.)解得eq blcrc (avs4alco1(xz,,yf(z,2).)令z1,n1(1,eq f(1,2),1)平面ABCD的一个法向量为n2(0,0,1),cosn1,n2eq f(1,r(1f(1,4)1)1)eq f(2,3).6一间民房的屋顶有如图所示三种不同的盖法:单向倾斜;双向倾斜;四向倾斜记三种盖法屋顶面积分别为P1,P2,P3.若屋顶斜面与水平面所成的角都是,则()AP

5、3P2P1 BP3P2P1CP3P2P1 DP3P2P1【答案】D【解析】斜面的投影面积相等,且coseq f(S,S),P1P2P3,故选D.二、填空题(每小题10分,共30分)7平面的法向量n1(1,0,1),平面的法向量n2(0,1,1),则平面与所成二面角的大小为_【答案】eq f(2,3)或eq f(,3)【解析】设二面角大小为,则cosn1,n2eq f(n1n2,|n1|n2|)eq f(1,2),所以coseq f(1,2)或eq f(1,2),所以eq f(,3)或eq f(2,3).8四边形ABCD是边长为2的正方形,MA和PB都与平面ABCD垂直,且PB2MA2,则平面P

6、MD与平面ABCD所成二面角的余弦值为_【答案】eq f(r(6),3)【解析】MPD在平面ABCD上的射影为ABD,易求得SABD2,SMPDeq r(6),coseq f(SABD,SMPD)eq f(r(6),3).9已知点E、F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1、CC1上,且B1E2EB,CF2FC1,则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于_【答案】eq f(r(2),3)【解析】方法一:(几何法)如图,延长FE交BC于P,则AP为面AEF与面ABC的交线,连接AC,PBBC,CAP90.由三垂线定理,FAP90,FAC为二面角的平面角tanFACeq f(FC,AC

7、)eq f(f(2,3),r(2)eq f(r(2),3).方法二:(向量法)建立如图所示坐标系,令边长为3,A(3,0,0),E(3,3,1),F(0,3,2),平面ABC的一个法向量为(0,0,1),设平面AEF的法向量为n(x,y,z),eq blcrc (avs4alco1(3yz0,3x3y2z0),令x1,z3,y1,n(1,1,3),令平面夹角为,coseq f(3,1|n|)eq f(3,r(11),sineq f(r(2),r(11),taneq f(r(2),3).三、解答题(本题共3小题,共40分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10(13分)如图,在五面体A

8、BCDEF中,FA平面ABCD,ADBCFE,ABAD,M为EC的中点,AFABBCFEeq f(1,2)AD.(1)证明:平面AMD平面CDE;(2)求二面角ACDE的余弦值【解析】(1)证明:取AD的中点P,连接PE,PC,PM.由题意可得DEDC,PEPC.因为M为EC的中点,所以PMEC,DMEC,又PMDMM,所以EC平面AMD.因为EC平面CDE,所以平面AMD平面CDE.(2)解:设Q为CD的中点,连接PQ,EQ.由题意可得CEDE,所以EQCD.因为PCPD.所以PQCD,故EQP为二面角ACDE的平面角设ABa,由题意可得EPPQ,EQeq f(r(6),2)a,PQeq f

9、(r(2),2)a,于是在RtEPQ中,cosEQPeq f(PQ,EQ)eq f(r(3),3),所以二面角ACDE的余弦值为eq f(r(3),3).11(13分)(2014浙江理,20)如图,在四棱锥ABCDE中,平面ABC平面BCDE,CDEBED90,ABCD2,DEBE1,ACeq r(2).(1)证明:DE平面ACD;(2)求二面角BADE的大小【解析】(1)在平面四边形BCDE中,BCeq r(2),在三角形ABC中,AB2,BCeq r(2),ACeq r(2).根据勾股定理逆定理ACBC.平面ABC平面BCOE,而平面ABC平面BCDEBC,ACBC,AC平面BCDE,AC

10、DE,又ACDE,DEDC,DE平面ACD.(2)由(1)知分别以、为x轴、z轴正方向,以过C平行为y轴正向建立坐标系则B(1,1,0),A(0,0,eq r(2),D(2,0,0),E(2,1,0)(1,1,eq r(2),(2,0,eq r(2),(0,1,0),设平面ABD法向量n1(x1,y1,z1),由n1n10,解得n1(1,1,eq r(2),设平面ADE法向量n2(x2,y2,z2),则n2n20,解得:n2(1,0,eq r(2),设平面ABD与平面ADE夹角为,cos|cosn1,n2|eq f(102,2r(3)eq f(r(3),2),平面ABD与平面ADE的二面角平面

11、角为eq f(,6).12(14分)已知正方体ABCDA1B1C1D1中,E为棱CC1上的动点(1)求证:A1EBD;(2)当E恰为棱CC1的中点时,求证:平面A1BD平面EBD;(3)在棱CC1上是否存在一个点E,可以使二面角A1BDE的大小为45?如果存在,试确定点E在棱CC1上的位置;如果不存在,请说明理由【解析】连接AC,BD,设ACDBO,连接A1O,OE.(1)A1A底面ABCD,BDA1A.又BDAC,BD平面ACEA1.A1E平面ACEA1,A1EBD.(2)在等边三角形A1BD中,BDA1O,而BDA1E,A1O平面A1OE,A1E平面A1OE,A1OA1EA1,BD平面A1OE.于是BDOE.A1OE为二面角A1BDE的平面角在正方体ABCDA1B1C1D1中,设棱长为2a,E为棱CC1的中点,由平面几何知识,得EOeq r(3)a,A1Oeq r(6)a,A1E3a,满足A1E2A1O2EO2,A1OE90.即平面A1BD平面EBD.(3)在正方体ABCDA1B1C1D1中,假设棱CC1上存在点E,可以使二面角A1BDE的大小为45.由(2),知A1OE4

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