选修2-1第二章单元综合测试

1、精选优质文档-倾情为你奉上精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业专心-专注-专业精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业单元综合测试二(第二章综合测试)时间：120分钟分值：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1抛物线yx2的准线方程是()A4y10B4x10C2y10 D2x10【答案】A【解析】peq f(1,2)，准线方程为yeq f(p,2)eq f(1,4)，即4y10.2设k1，则关于x，y的方程(1k)x2y2k21所表示的曲线是()A长轴在y轴上的椭圆 B长轴在x轴上的椭圆C实轴在y轴上的双曲线 D实轴在x轴上的双曲线【答案】C【解析】k1，方程可化为eq f(y2

2、,k21)eq f(x2,k1)1.表示实轴在y轴上的双曲线3下列曲线中离心率为eq f(r(6),2)的是()A.eq f(x2,2)eq f(y2,4)1 B.eq f(x2,4)eq f(y2,2)1C.eq f(x2,4)eq f(y2,6)1 D.eq f(x2,4)eq f(y2,10)1【答案】B【解析】双曲线eq f(x2,4)eq f(y2,2)1的离心率eeq f(r(42),2)eq f(r(6),2).4在平面直角坐标系xOy中，已知ABC的顶点A(4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆eq f(x2,25)eq f(y2,9)1上，则eq f(sinAsinC,sinB

3、)等于()A.eq f(4,5) B.eq f(5,2)C.eq f(5,4) D.eq f(5,3)【答案】C【解析】椭圆eq f(x2,25)eq f(y2,9)1中，长半轴长a5，短半轴长b3，半焦距c4，eq f(sinAsinC,sinB)eq f(BCBA,AC)eq f(2a,2c)eq f(5,4).5椭圆a2x2eq f(a,2)y21的一个焦点是(2,0)，则a等于()A.eq f(1r(3),4) B.eq f(1r(5),4)C.eq f(1r(3),4) D.eq f(1r(5),4)【答案】B【解析】椭圆a2x2eq f(a,2)y21可化为eq f(x2,f(1,

4、a2)eq f(y2,f(2,a)1，a0，b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|PF2|3b，|PF1|PF2|eq f(9,4)ab，则该双曲线的离心率为()A.eq f(4,3) B.eq f(5,3)C.eq f(9,4) D3【答案】B【解析】不妨设点P是右支上的一点，由双曲线的定义知，|PF1|PF2|2a，|PF1|eq f(2a3b,2)，|PF2|eq f(3b2a,2)，|PF1|PF2|eq f(3b2a,2)eq f(3b2a,2)eq f(9b24a2,4)，eq f(9b24a2,4)eq f(9ab,4)，解得3b4a，双曲线的离心率eeq f(c,

5、a)eq r(1f(b2,a2).所以离心率为eeq f(5,3).7抛物线yx2到直线2xy4距离最近的点的坐标是()A(eq f(3,2)，eq f(5,4) B(1,1)C(eq f(3,2)，eq f(9,4) D(2,4)【答案】B【解析】设P(x，y)为抛物线yx2上任一点，则P到直线的距离deq f(|2xy4|,r(5)eq f(|x22x4|,r(5)eq f(x123,r(5)，所以当x1时，d取最小值eq f(3r(5),5)，此时P为(1,1)8设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()A.eq r(2

6、) B.eq r(3)C.eq f(r(3)1,2) D.eq f(r(5)1,2)【答案】D【解析】设双曲线方程为eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)，F(c,0)，B(0，b)，则kBFeq f(b,c)，双曲线的渐近线方程为yeq f(b,a)x，eq f(b,c)eq f(b,a)1，即b2ac，c2a2ac，e2e10，解得eeq f(1r(5),2)，又e1，eeq f(r(5)1,2)，故选D.9(2014辽宁理)已知点A(2,3)在抛物线C：y22px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为()A.eq f(1,

7、2) B.eq f(2,3)C.eq f(3,4) D.eq f(4,3)【答案】D【解析】本题考查抛物线的几何性质、直线的斜率，直线与抛物线的位置关系由题意知，准线方程为x2，p4，抛物线方程：y28x，焦点坐标F(2,0)设过A点的直线为yk(x2)3，联立eq blcrc (avs4alco1(y28x，,ykx23，)化简得y2eq f(8,k)yeq f(24,k)160，eq f(64,k2)4(eq f(24,k)16)0，keq f(1,2)，k2(舍去)将keq f(1,2)代入方程，y8，x8.B点坐标为(8,8)kBFeq f(8,82)eq f(4,3).10连接双曲线

8、eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1与eq f(y2,b2)eq f(x2,a2)1的四个顶点构成的四边形的面积为S1，连接它们的四个焦点构成的四边形的面积为S2，则S1S2的最大值是()A2 B1C.eq f(1,2) D.eq f(1,4)【答案】C【解析】x轴上的两个顶点为(a,0)，(a,0)，y轴上的两个顶点为(0，b)，(0，b)这四个顶点构成的四边形为菱形，面积S1eq f(1,2)2a2b2ab，焦点分别为(c,0)，(0，c)，则四个焦点构成的四边形为正方形，面积S2eq f(1,2)2c2c2c2.S1S2eq f(ab,c2)eq f(a2b2,2c2)eq f

9、(1,2).当且仅当ab时，等号成立，故选C.11(2014山东理)已知ab0，椭圆C1的方程为eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1，双曲线C2的方程为eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1，C1与C2的离心率之积为eq f(r(3),2)，则C2的渐近线方程为()Axeq r(2)y0 B.eq r(2)xy0Cx2y0 D2xy0【答案】A【解析】本题考查椭圆、双曲线的几何性质eeq oal(2,1)eq f(coal(2,1),a2)eq f(a2b2,a2)，eeq oal(2,2)eq f(coal(2,2),a2)eq f(a2b2,a2)eeq oal(2,1)

10、eeq oal(2,2)eq f(a4b4,a4)(eq f(r(3),2)2eq f(3,4)a44b4，eq f(b,a)eq f(r(2),2)双曲线的渐近线方程为yeq f(r(2),2)x.12过椭圆C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若eq f(1,3)keq f(1,2)，则椭圆离心率的取值范围是()A(eq f(1,4)，eq f(4,9) B(eq f(2,3)，1)C(eq f(1,2)，eq f(2,3) D(0，eq f(1,2)【答案】C【解析】点B的横坐标是c

11、，故B的坐标为(c，eq f(b2,a)，又k(eq f(1,3)，eq f(1,2)，B(c，eq f(b2,a)斜率keq f(f(b2,a),ca)eq f(b2,aca2)eq f(a2c2,aca2)eq f(1e2,e1).由eq f(1,3)keq f(1,2)，解得eq f(1,2)e0)的焦点为F，其准线与双曲线eq f(x2,3)eq f(y2,3)1相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p_.【答案】6【解析】本题考查抛物线的几何性质，方程的思想如图不妨设A(x0，eq f(p,2)F(0，eq f(p,2)，FDp，可解得A(eq r(3f(p2,4)，eq f(p

12、,2)在RtDFA中，tan30eq f(AD,DF)，eq f(r(3),3)eq f(r(3f(p2,4),p).p236，p6.15抛物线形拱桥的跨度是20米，拱高是4米，每隔4米用一支柱支撑，其中最长支柱的长是_【答案】3.84 m【解析】如图，建立如图所示的平面直角坐标系设抛物线方程为：x22py(p0)，点A(10，4)在抛物线上，1008p，peq f(25,2)，x225y，其中最长一根长柱与抛物线的交点为B(x0，y0)，由题意知x02，y0eq f(4,25)，最长的支柱长为4eq f(4,25)eq f(96,25)3.84(米)16设AB是椭圆eq f(x2,a2)eq

13、 f(y2,b2)1的不垂直于对称轴的弦，M为AB的中点，O为坐标原点，则kABkOM_.【答案】eq f(b2,a2)【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则中点M(eq f(x1x2,2)，eq f(y1y2,2)，得kABeq f(y2y1,x2x1)，kOMeq f(y2y1,x2x1)，kABkOMeq f(yoal(2,2)yoal(2,1),xoal(2,2)xoal(2,1)，又由b2xeq oal(2,1)a2yeq oal(2,1)a2b2，b2xeq oal(2,2)a2yeq oal(2,2)a2b2，得b2(xeq oal(2,2)xeq oal(2,1)a2

14、(yeq oal(2,2)yeq oal(2,1)0，即eq f(yoal(2,2)yoal(2,1),xoal(2,2)xoal(2,1)eq f(b2,a2).三、解答题(共74分)17(本题满分12分)求以椭圆3x213y239的焦点为焦点，以直线yeq f(x,2)为渐近线的双曲线方程【解析】椭圆3x213y239可化为eq f(x2,13)eq f(y2,3)1，其焦点坐标为(eq r(10)，0)，所求双曲线的焦点为(eq r(10)，0)，设双曲线方程为：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)，双曲线的渐近线为yeq f(1,2)x，eq f(b,a)eq

15、f(1,2)，eq f(b2,a2)eq f(c2a2,a2)eq f(10a2,a2)eq f(1,4)，a28，b22，即所求的双曲线方程为：eq f(x2,8)eq f(y2,2)1.18(本题满分12分)设F1，F2分别是椭圆eq f(x2,4)y21的左、右焦点若点P是该椭圆上的一个动点，求eq o(PF1,sup6()eq o(PF2,sup6()的最大值和最小值【解析】由题意知a2，b1，ceq r(3)，所以F1(eq r(3)，0)，F2(eq r(3)，0)，设P(x，y)，则eq o(PF1,sup6()eq o(PF2,sup6()(eq r(3)x，y)(eq r(3

16、)x，y)x2y23eq f(1,4)(3x28)由于x2,2，故当x0，即点P为椭圆短轴端点时，eq o(PF1,sup6()eq o(PF2,sup6()有最小值2；当x2，即点P为椭圆长轴端点时，eq o(PF1,sup6()eq o(PF2,sup6()有最大值1.19(本题满分12分)如图所示，椭圆eq f(x2,16)eq f(y2,9)1的左、右焦点分别为F1，F2，一条直线l经过F1与椭圆交于A，B两点，若直线l的倾斜角为45，求ABF2的面积【解析】由椭圆的方程eq f(x2,16)eq f(y2,9)1知，a4，b3，ceq r(a2b2)eq r(7).由ceq r(7)

17、知F1(eq r(7)，0)，F2(eq r(7)，0)，又ktan451，直线l的方程为xyeq r(7)0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由eq blcrc (avs4alco1(xyr(7)0，,f(x2,16)f(y2,9)1，)消去x，整理得25y218eq r(7)y810，|y1y2|eq r(y1y224y1y2)eq r(f(18r(7),25)24f(81,25)eq f(72,25)eq r(2).SABF2eq f(1,2)|F1F2|y1y2|eq f(1,2)2eq r(7)eq f(72,25)eq r(2)eq f(72,25)eq r(14).20(

18、本题满分12分)在直角坐标系xOy中，点P到两点(0，eq r(3)，(0，eq r(3)的距离之和为4，设点P的轨迹为C，直线ykx1与C交于A，B两点(1)写出C的方程；(2)若eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()，求k的值【解析】(1)设P(x，y)，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，eq r(3)，(0，eq r(3)为焦点，长半轴为2的椭圆它的短半轴beq r(22r(3)2)1，故曲线C的方程为x2eq f(y2,4)1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足eq blcrc (avs4alco1(x2f(y2,4)1，,ykx1，)消去y并

19、整理得(k24)x22kx30，故x1x2eq f(2k,k24)，x1x2eq f(3,k24).若eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()，则x1x2y1y20.而y1y2k2x1x2k(x1x2)1，于是x1x2y1y2eq f(3,k24)eq f(3k2,k24)eq f(2k2,k24)10，化简得4k210，所以keq f(1,2).21(本题满分13分)已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率eeq f(r(2),2)，椭圆上的点到焦点的最短距离为1eq f(r(2),2)，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A、B，且Aeq o(P,

20、sup6()3Peq o(B,sup6().(1)求椭圆方程；(2)求m的取值范围【解析】(1)设C：eq f(y2,a2)eq f(x2,b2)1(ab0)，设c0，c2a2b2，由条件知ac1eq f(r(2),2)，eq f(c,a)eq f(r(2),2)，a1，bceq f(r(2),2)，故椭圆方程为y2eq f(x2,f(1,2)1.(2)当直线斜率不存在时，meq f(1,2)，满足条件，当直线斜率存在时，设直线l的方程为ykxm，与椭圆C交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得eq blcrc (avs4alco1(ykxm，,2x2y21，)整理得(k22)x22k

21、mx(m21)0，(2km)24(k22)(m21)4(k22m22)0，(*)x1x2eq f(2km,k22)，x1x2eq f(m21,k22)，Aeq o(P,sup6()3Peq o(B,sup6()，x13x2，由消去x1，x2，得3(eq f(km,k22)2eq f(m21,k22)0.整理得4k2m22m2k220，m2eq f(1,4)时，上式不成立；m2eq f(1,4)时，k2eq f(22m2,4m21)，k2eq f(22m2,4m21)0，1meq f(1,2)或eq f(1,2)m1，把k2eq f(22m2,4m21)代入(*)得1meq f(1,2)或eq

22、f(1,2)m1.1meq f(1,2)或eq f(1,2)m1.综上，m的取值范围为1meq f(1,2)或eq f(1,2)m0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|FD|.当点A的横坐标为3时，ADF为正三角形(1)求C的方程；(2)若直线l1l，且l1和C有且只有一个公共点E.()证明直线AE过定点，并求出定点坐标；()ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由【解析】(1)由题意知F(eq f(p,2)，0)，设D(t,0)(t0)，则FD的中点为(eq f(p2t,4)，0)因为|FA|FD|，由抛物线的定义知3eq f(p,2)|teq f(p,2)|，解得t3p或t3(舍去)，由eq f(p2t,4)3，解得p2.所以抛物线C的方程为y24x.(2)()由(1)知F(1,0)设A(x0，y0)(x0y00)，D(xD,0)(xD0)，因为|FA|FD|，得|xD1|x01，由xD0得xDx02，故D(x02,0)故直线AB的斜率kABeq f(y0,2).因为直线l1和直线AB平行，设直线l1的方程为yeq f(y0,2)xb，代入抛物线方程得y2eq f(8,y0)yeq f(8b,y0)0，由题意eq f