北京工业大学线性代数四章一节 n 维向量空间

1、第四章 n 维向量空间 我们在第二章给出了直接从线性方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩判断方程组有没有解及有多少解的判别定理。为了研究方程组有无穷多解时解的解构，我们需要探讨和建立线性方程组的进一步理论，为此，引入了向量空间的概念。1第一节 n 维向量空间 一 n 维向量空间的概念 二向量与矩阵的关系 三向量的线性组合与线性表出2一 n 维向量空间的概念一个mn矩阵的每一行都是由n个数组成的有序数组,其每一列都是由m个数组成的有序数组。 n元线性方程组的一个解也是由n个数组成的有序数组。所以研究线性方程组解的结构离不开有序数组。1.定义:由数域P 中n 个数组成的有序数组称为数域P 上的一个n 维

2、向量，用小写的希腊字母表示3称为行向量（行矩阵），也可以写成一列称为列向量（列矩阵），称 ai ( bi )(i =1，2，, n )是第i 个分量. 显然n 维向量可以写成一行4向量的相等设零向量所有分量都是零的向量称为零向量，记作 0=(0,0, ,0)负向量:n 维向量的各分量的相反数所构成的向量称为 的负向量，记作52 n 维向量运算向量的加法数量乘法向量的加法和数量乘法统称为向量的线性运算为向量， 为数显然,6向量的线性运算的运算律73. n 维向量空间定义：R 为实数域，则Rn 为n 维实向量空间 R3 为3维实向量空间或3维几何空间。 Pn =数域P上的n维向量，连同定义在它上面

3、的向量加法和数量乘法及其满足的8条运算法则一起，称为数域P上的n维向量空间。如8解: 由题设条件, 有 9二向量与矩阵的关系 若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集合叫做向量组例2向量组 称为矩阵A 的列向量组定义：设矩阵将A按列分块10向量组 称为矩阵A 的行向量组 反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成矩阵.11三向量的线性组合与线性表出(示) 引例：设在R3中则我们称的一个线性组合；可以由线性表出。121.定义: 向量组 一个线性组合, 是向量组称为组合系数; 称向量 使得则称为表出系数 任给对于若存在线性表出（示）,13 任意一个n 维向量都可由n 维基本向量组2.几个特例线性表

4、出,且 的分量就是表出系数。14零向量可由任意一组向量线性表出维 组个 组本身线性表出153维向量能否由3维向量组观察线性表出？不能！问题：对于给定的向量组和向量如何判别线性表出？16设数域P上的n元线性方程组式是线性方程组的向量表示式分析:3.线性表出的判别令则有17于是，线性方程组有解存在一组数使得下式成立线线性方程组有没有解常数项列向量能否由系数矩阵的列向量组线性表出。结论：18判断线性表出的方法：对于给定的向量 及向量组线方程组是否有解。线若方程组无解，则19若方程组有解，则且方程组的一组解就是表出系数 若方程组有唯一解，则线 若方程组有无穷多解，则线线20判断线性表出的方法：对于给定的列向量 及列向量组令 线 由方程组有解的判别定理，我们很容易得出则判断线性表出就是判断 是否能否由等于21则表示方法唯一 若 若线则表示方法不唯一，即无穷多种表示方法具体作法是：将 用初等行变换化成阶梯形，判断是否有 22例3判断 线性表出，并 求出表出方式。解：将矩阵初等行变换：线性表出且23例4已知 为何值时， 线性表出?解： 为何值时， 线性表出且表示法将矩阵