概率论第4讲利用独立性计算并事件的概率

1、利用独立性计算并事件的概率若 A1,A2,An相互独立,则n P( A A2 An )P(A)证:i1i1 1 P( A A A )12nn 1 P( A1 A2 An ) 1 P( Ai )i1n 1 (1 P( Ai )i1nnP( Ai ) 1 (1 P( Ai )i 1i1例4设每个人的中含肝炎的概率为0.4%, 求来自不同地区的100个人的混合液中含有肝炎的概率设这100 个人的解混合液中含有肝炎为事件 A,第 i 个人的中含有为事件 Ai100i =1,2,100肝炎则AAii1100i1 1 (1 0.33 11P(A )1000.004)P(A)i若Bn 表示 n 个人的混合液

2、中含有肝炎，则P(B ) 1 (1 ) ,0 1nnn 1,2,lim P(Bn ) 1n 不能忽视小概率事件,小概率事件迟早要发生（系统的可靠性问题）一个元件(或系统)能正常工作的概率称为元件(或系统)的可靠性系统由元件组成,常见的元件连接方式：串联121并联2例5设两系统都是由 4 个元件组成,每个元件正常工作的概率为 p , 每个元件是否正常工作相互独立.两系统的连接方式如下图所示，比较两系统的可靠性.A2A1S1:B2B1P(S1 ) P( A1 A2 ) P(B1B2 ) P( A1 A2 B1B2 ) 2 p2 p4 p2(2 p2)A1A2S2:B1B2B ) 2 p p 2P(

3、S ) 22P( A2iii1 p2(2 p2) p2 (2 p)2P(S2 ) P(S1)2.3试验与直线上的随机游动n 重试验概型：试验可重复 n 次每次试验只有两个可能的结果：A, A且P( A) p,0 p 1每次试验的结果与其他次试验无关称为这 n 次试验是相互独立的n重试验中事件b(k, n, p)A 出现 k 次的概率记为例1 袋中有3个白球,2个红球,有放回地取球4 次,每次一只,求其中恰有2个白球的概率.解古典概型设 B 表示4个球中恰有2个白球 C 2 3222n 54nB4 32 2 2C 2 32224 C 2 P(B) 4 5 5 54解二每取一个球看作是做了一次试验

4、P( A) 3记取得白球为事件 A5有放回地取4个球看作做了 4 重试验, 记第感i 次取得白球为事件 Ai为:4次试验中A 发生2次的概率A1 A2 A3 A4A1 A2 A3 A4A1 A2 A3 A4A1 A2 A3 A4A1 A2 A3 A4A1 A2 A3 A4 32 2 2P(B) C 2 4 5 5 P( A) p,0 p 1一般地，若则n重次的概率为b(k,试验中事件 A 出现 kk pk (1 p)nk ,nk 0,1,2, n上式称为二项分布。特别的，nnb(k;k 0k pk qnk ( p q)n 1.nk 0例2八门同时独立地向一目标各射击弹,若有不少于2发一发弹命中

5、目标命中目标时,目标就被击毁. 如果每门的概率为0.6,求目标被击毁的概率.目标为事件A, P(A) = 0.6解设一门设目标被击毁为事件B,8则1k 0P(B) 8k 18kkkkkC 0.6 0.4C 0.60.488k 2 0.9914几何分布:在试验中，首次成功出现在第k次的概率为g(k; p)= P ( 第 k 次试验时首次成功)= P (前k-1次失败且 第 k 次时成功) qk1 p,k 1,2, ;q 1 pg(k; p)称为几何分布。特别的，k 1g(k; p) qk1 p p 1 1.1 qk 1试验中，第r次成功恰好出分布：在现在第k次试验的概率为f (k; r, p)=

6、P (第r次成功恰好出现在第k次试验)=P ( 前 k 1次试验中成功 r 1次且第 k 次试验成功 )r k r Cr, r 1,分布。1rpq, kk 1f (k; r, p)称为k rk rr k rf (k; r, p) 1.1rCpq并且k 1利用幂级数在收敛域内可逐项求导的性质当| x | 1 xk 1 1k11 x(k 1)xk2 1k2(1 x)2(k 1)(k 2)xk3 2k3(1 x)3C 2xk 3 1k1(1 x)3k 3归纳地1(1 x)rCr1 xk rk 1k r令 x 1 pk r1(1 (1 p)r1Cr 1 (1 p)k rk 1prk rr(1 k r

7、11rCpp)k 1当r =1时分布就成为几何分布。直线上的随机游动x 轴上有一个点，假定其只能位于整数点，在t=0时，它处于初始位置a (a 为整数)。以后每隔时间，它位置会发生变化，分别以概率 p 及概率 q=1-p 向正或负的方向移动在时刻 t=n 时，这个点在一格，来直线上的位置，这种质点运动称为随机游动。下面介绍两个最简单的模型。的随机游动：假定质点0时刻从原点出发，以Sn 记它在时刻t=n 时的位置。则PSn k= P (前n次游动中有(n+k)/2次向右走,另外 (n-k)/2 次向左走)nknnknkp2 q2 , C2k n, n 2, n 2, n.两端带有吸收壁的随机游动

8、：假定质点在时刻 t=0时位于x=a，而在x=0和x=a+b处各有一个吸收壁,则质点在x=0被吸收和在x=a+b被吸收的概率分别为：(i) p q 12bp = P (质点=0 吸收)aa ba= a+b 吸收) q = P (质点.aa b(ii) p qpb )b=0 吸收) p = P (质点,aqabpabqa= P (质点= a+b 吸收)pb (qa pa ).qab pab注：令qk 表示质点从 k 出发最终被a+b吸收的概率, 则由全概率公式得qn pqn1然后求解即可.，赌注是每次1元，例4 甲，乙两人进行两人每局获胜的概率都是0.5.现在甲有a元钱，乙有b元钱，若有一方的赌

9、资全部输光，则结束。问结束时甲获胜(或乙输光)的概率.n局以后甲的钱数, 则形成一个考虑解从a点出发, 在x=0和x=a+b处各有一个吸收壁的随机游动. 于是与甲的赌资成正比P (第最终甲获胜)a= P (过程被a+b点吸收) a b .5.多项分布随机试验有r个可能结果, 分别记为A1 , A2 Ar ,并且P( Ai ) r pii 1, 2,r. 1.pi ,i1在n次独立重复试验中A1出现k1次, A2出现k2次, Ar出现kr次的概率为n!k 0, k n.kpkk rp p,12r12iik !k!k !12r上式称为多项分布，当r=2时多项分布就成为二项分布。2.4二项分布与泊松

10、分布1. 二项分布的性质及计算b(k;n,p)中当对于二项分布，来n,p固定时，关于k的单调性。当n=20,p=0.2时, b(k;n,p)的数据和图表如下:01234567891011 20.01.06 .14.21.22.18.11.06.02.01.002 .0010.20.150.10.055101520由图表可见,当k=4时，分布取得最大值b(4; 20, 0.2)=0.22,此时的k 称为最可能成功次数.二项分布中最可能出现次数的定义与推导若b(k; n, p) b( j; n, p),则称 k 为最可能出现的次数0 j nk pk (1 p)nk ,记 p b(k;k 0,1,

11、nkn(1 p)kpk 1 1p(n k 1)pkpk (1 p)(k 1) 1p(n k)(n 1) p 1 k (n 1) ppk 1当( n + 1)p = 整数时，在 k = ( n + 1)p 与( n + 1)p 1 处的概率取得最大值当( n + 1)p 整数时，在 k = ( n + 1)p 处的概率取得最大值例5 独立射击5000次，每次中率为0.001,求最可能命中次数及相应的概率；(2)解(1)命中次数不少于2 次的概率.k = ( n + 1)p = ( 5000+ 1)0.001 = 5(5) C 5(0.001)5 (0.999)4995 0.1756P500050

12、00(2)令X 表示命中次数，则 X B( 5000,0.001 )P( X 2) 1 P( X 2) 1 P( X 0) P( X 1)1 1 (0.001)k (0.999)5000kkC5000k 0 0.9574问题：计算b(k;n,p)时，若n很大，则计算非常复杂，因此就需要比较好的计算方法。定理(泊松) ：在二项分布中，pn与n有关，lim npn 0如果n则对固定的k，有knklim Cn p (1 ekkp)nnk!nk 0,1,2,npn n证: 记)nkpk (1 pCknnnnkn(n 1)(n k 1) k n 1 n n n k!) nk n ( k 1 k1 nn1

13、 1 1 nnnn k! n nk ek 1,2,k!泊松定理说明：若X B( n, p), 则当 n 较大，np p 较小，而适中，则可以用近似公式kp (1 p )nk ek nkCk!k 0,1,2,kp(k; ) k 0,1, 2ek!,泊松分布: 称为泊松分布, 称为它的参数。特别kk 0k 0p(k; ) e e 1ek!例6为0.03，现将产品装箱，某厂产品不若要以不小于90%的概率保证每箱中至少有100个合格品，则每箱至少应装多少个产品？解设每箱至少应装100+ n 个，每箱的不合格品个数为X ，则X B ( 100 + n , 0.03 )nP( X n) P100n (k

14、) 0.9由题意k 0(100+n)0.03=3+0.03n 3应用泊松定理取 = 33k3knnk 0k 0 1 k n133(k) 0.9Peek!n100k!3k3 0.1查Poisson分布表 =3一栏ek!k n1得 n +1 = 6 ,n = 5所以每箱至少应装105个产品,才能符合要求.2. 泊松分布的产生考虑交换台接到的呼叫次数，假定它具有下面三个性质：平稳性，在t0,t0+t) 中来到的呼叫数只与时间间隔长度t有关，而与时间起始点t0无关;独立增量性(无后效性) ，在t0,t0+t) 中来到k个呼叫这一事件与t0时刻以前发生的事件独立 ;普通性，在充分小的时间间隔中，最多来到一个呼叫。结论: 若以Pk(t) 表示在长度为t的时间区间中来到k个呼叫的概率，则有(t)ktPk (t) k 0, 1, 2,e,k!其中为时间内来到的平均呼叫次数,上称为过程的强度.在一定时间间隔内：总机接到的次数；一匹布上的疵点个数；大卖场的顾客数；放射性物质发出的粒子数；某一地区