惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式

1、. 重点及难点：惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式截面图形的几何性质）. 截面静矩和形心1.静矩的定义式如图 1 所示任意有限平面图形，取其单元如面积dA，定义它对任意轴的一次矩为它对该轴的静矩，即dSy xdAdSx ydA整个图形对y、 z 轴的静矩分别为SyAxdASx ydAAI-1)2.形心与静矩关系I-1设平面图形形心C 的坐标为yC , zC 则 0Sx yASyAI-2)推论 1 如果 y轴通过形心（即x 0） ，则静矩Sy 0；同理，如果x轴通过形心（即y 0） ，则静矩Sx 0；反之也成立。推论 2 如果x、 y轴均为图形的对称轴，则其交点即为图形形心；如果y 轴为图

2、形对称轴，则图形形心必在此轴上。3.组合图形的静矩和形心设截面图形由几个面积分别为A1,A2,A3An的简单图形组成，且一直各族图形的形心坐标分别为x1,y1； x2,y2； x3,y3 ，则图形对y 轴和 x 轴的静矩分别为 TOC o 1-5 h z Sy SyiAixiI-3）i1i1nnSxSxiAi yii1i1截面图形的形心坐标为nAi yiy i 1n（ I-4）Aii1nAi xi i1 xnAi i14.静矩的特征界面图形的静矩是对某一坐标轴所定义的，故静矩与坐标轴有关。静矩有的单位为m3。静矩的数值可正可负，也可为零。图形对任意形心轴的静矩必定为零， 反之， 若图形对某一轴

3、的静矩为零，则该轴必通过图形的形心。若已知图形的形心坐标。则可由式 （ I-1） 求图形对坐标轴的静矩。若已知图形对坐标轴的静矩，则可由式（I-2）求图形的形心坐标。组合图形的形心位置，通常是先由式（I-3）求出图形对某一坐标系的静矩，然后由式（I-4）求出其形心坐标。.惯性矩惯性积 惯性半径惯性矩定义 设任意形状的截面图形的面积为A（图I-3） ，则图形对O 点的极惯性矩定义为I 2dA（ I-5）pA图形对 y 轴和 x 轴的光性矩分别定义为I y x2dA ，I x y2dA（ I-6）AA惯性矩的特征1） 界面图形的极惯性矩是对某一极点定义的；轴惯性矩是对某一坐标轴定义的。极惯性矩和轴

4、惯性矩的单位为m极惯性矩和轴惯性矩的数值均为恒为大于零的正值。图形对某一点的极惯性矩的数值，恒等于图形对以该点为坐标原点的任意一对坐标轴的轴惯性矩之和，即Ip 2dA （x2 y2）dA Iy Ix （ I-7） AA组合图形（图I-2）对某一点的极惯性矩或某一轴的轴惯性矩，分别等于各族纷纷图形对同一点的极惯性矩或同一轴惯性矩之和，即nnnI I i ， I y I yi ， Ix I xi （ I-8） i1i1i1惯性积定义 设任意形状的截面图形的面积为A（图I-3） ， 则图形对y轴和x 轴的惯性积定义为I xy xydA（ I-9）A惯性积的特征界面图形的惯性积是对相互垂直的某一对坐标

5、轴定义的。惯性积的单位为m4。惯性积的数值可正可负，也可能等于零。若一对坐标周中有一轴为图形的对称轴，则图形对这一对称轴的惯性积必等于零。但图形对某一对坐标轴的惯性积为零，这一对坐标轴重且不一定有图形的对称轴。4）组合图形对某一对坐标轴的惯性积，等于各组分图形对同一坐标轴的惯性积之和，即nI xy I xyi（I-10）i1惯性半径定义： 任意形状的截面图形的面积为A（图I-3） ,则图形对y 轴和 x 轴的惯性半径分别定义为惯性半径的特征惯性半径是对某一坐标轴定义的。惯性半径的单位为m。惯性半径的数值恒取证之。.惯性矩和惯性积的平行移轴公式平行移轴公式I-12)I-13)I x I xC a

6、 A2I y I yC b2AI xy I x C y C a b A平行移轴公式的特征（ 1）意形状界面光图形的面积为A（图（I-4） ；xC，yC 轴为图形的形心轴；x，y轴为分别与xC，yC形心轴相距为a和 b的平行轴。（ 2）两对平行轴之间的距离a 和 b 的正负，可任意选取坐标轴x， y 或形心xC， yC为参考轴加以确定。3）在所有相互平行的坐标轴中，图形对形心轴的惯性矩为最小，但y( 四 ) 、惯性矩和惯性积的转轴公式. 主惯性轴主惯性矩转轴公式Ix Iy Ix IyI xcos2 I x sin 2x122xyI y1Ix Iy Ix Iycos2 I x sin2xyIx I

7、yI x1y12 sin 2 I xy cos2转轴公式的特征角度 的正负号，从原坐标轴x,y 转至新坐标轴x1,y1，以逆时针转向者为正(图5)原点 O为截面图形平面内的任意点，转轴公式与图形的形心无关。图形对通过同一坐标原点任意一对相互垂直坐标轴的两个轴惯性矩之和为常量，等于图形对原点的极惯性矩，即IIII Ix y x1 y1 P主惯性轴、主惯性矩任意形状截面图形对以某一点O为坐标原点的坐标轴x0、y0的惯性积为零（Ix0y00） ，则坐标轴x0、y 0称为图形通过点 O的主惯性轴（图 6）。截面图形对主惯性轴的惯性矩Ix0,Iy0，称为主惯性矩。主惯性轴、主惯性矩的确定对于某一点O，若

8、能找到通过点O的图形的对称轴，则以点O为坐标原点，并包含对称轴的一队坐标轴，即为图形通过点O的一对主惯性轴。对于具有对称轴的图形（或组合图形）， 往往已知其通过自身形心轴的惯性矩。于是，图形对通过点o 的主惯性轴的主惯性矩，一般即可由平行移轴公式直接计算。若通过某一点o 没有图形的对称轴，则可以点o 为坐标原点，任作一坐标轴x， y 为参考轴，并求出图形对参考轴x， y 的惯性矩 Ix,Iy和惯性积I xy。于是，图形通过点o的一对主惯性轴方位及主惯性矩分别为tan2 00 Ix Iyx0y0Iy2I2 xy( I-16 )(I-17)主惯性轴、主惯性矩的特征图形通过某一点O至少具有一对主惯性

9、轴，而主惯性局势O所有轴的惯性矩中最大和最小。2）主惯性轴的方位角0，从参考轴x， y 量起，以逆时针转若图形对一点o 为坐标原点的两主惯性矩相等，则通过点o 的所有轴均为主惯性轴，且所有主惯性矩都相同。以截面图形形心为坐标原点的主惯性轴，称为形心主惯性轴。图形对一对形心主惯性轴的惯性矩，称为形心主惯性矩。bh2h 0 y dy6例题 I-a图bh2hbhAydA 0 h(h y)dy b 0 ydy图 I-5图 I-6二 .典型例题分析例 I-a 试计算图示三角形截面对于与其底边重合的x 轴的静矩。解： 计算此截面对于x 轴的静矩Sx时，可以去平行于x轴的狭长条(见图)作为面积元素(因其上各

10、点的y坐标相等)，即 dA b(y)dy。由相似三角形关系，可知:b(y) b(h y) ,因此有dA b(h y) dy。将其代入公式(I-1)的第二式，即得hhSx解题指导：此题为积分法求图形对坐标轴的静矩。例 I-2 试确定图示-b截面形心C 的位置解：将截面分为?、 两个矩形。为计算方便，取x 轴和 y 轴分别与界面的底边和左边缘重合（见图）。先计算每一个矩形的面积Ai 和形心坐标（xi , yi ）如下：矩形 ? A 10 120 1200mm2矩形 10 5mm2120 y260mm2A 10 70 700mm TOC o 1-5 h z 7010 x 10 45mm ， y 5m

11、m将其代入公式（I-4） ，即得截面形心C 的坐标为A xAx37500 x20mmAA1900解题指导： 此题是将不规则图形划分为两个规则图形利用已有的规则图形的面积和形心，A yAy75500y40mmAA1900-b例 I-3 试求图 I-c 所示截面对于对称轴x 轴的惯性矩I x解： 此截面可以看作有一个矩形和两个半圆形组成。设矩形对于x 轴的惯性矩为Ix ，每一个半圆形对于x 轴的惯性矩为I x ，则由公式（I-11）的第一式可知，所给截面的惯性矩：I x I x 2I x（ 1）矩形对于x 轴的惯性矩为：Ixd(2a)31280 200312445330 10 mm2）半圆形对于x

12、 轴的惯性矩可以利用平行移轴公式求得。为此， 先求出每个半圆形对于与 x轴平行的形心轴xC（图 b）的惯性矩IxC 。已知半圆形对于其底边的惯性矩为圆形对其直径轴x （图b）的惯性据之半，即Ix d4 。而半圆形的面积x 128为 A d 2 ，其形心到底边的距离为82d （图b） 。故由平行移轴公式（I-10a） ，3可以求出每个半圆形对其自身形心轴xC 的惯性矩为：xC422d 2 d42d 2 d2x ( )A()3128383）由图 a可知， 半圆形形心到x轴距离为a 2d ， 故在由平行移轴公式，求得每个3半圆形对于x 轴的惯性矩为：I x I xC(a23d)2Ad41282d 2

13、 d 2 ()38(a 23d)2d22ad3a )Ix2 (80) 2480232100222 100 80)3443460 104 mm4d2 d2 a2 (4322将 d=80mm、a=100mm （图a）代入式（4） ，即得将求得的I x 和 I x 代入式（1） ，便得4444Ix 5330 104 2 3460 104 12250 104 mm4解题指导： 此题是将不规则图形划分为若干个规则图形，利用已有的规则图形的面积、形心及对自身形心轴的惯性矩，结合平行移轴公式计算组合截面图形对组合截面形心的惯性矩。符号意义及单位：4长方形截面对x轴的惯性(cm*) TOC o 1-5 h z a长(cm)b宽(cm).Bq； + ac：l 3符号意义及单位：A_惯性矩(cm)B口图所示(cm)b口图所示(cm)e：重心S到相应边的距离(cm)重心S到相应边的距惠(cm)a如图所示(cm)h如图所示(