零件的参数设计模型

1、零件的参数设计模型指导教师：数学建模组秦国亮（控9501）房 伟（控9501）吴景锋（热9502）摘要：本文从多元函数的概率分布着眼,建立概率模型，解出了在题目给定的标定值和容差等级下批量生产 1000个粒子分离器的总费用的数学期望约为313.4万元。通过综合考虑y偏离y0造成的质量损失和零 件的成本，重新设计零件参数，使其总费用的期望降为42.3万元与原设计比较总的费用降低了约86.5%0另外，本模型针对概率模型计算相当复杂的缺点，充分利用Mathmatica数学软件包的强大数学功 能，构造正态函数随机发生器，进行计算机模拟。本文针对.的标定值分别进行20万次的机算机模拟 I得：在题目给定的

2、标定值和容差等级下批量生产的总费用的数学期望为313.1万元；重新设计零件参数的一组标定值和容差后批量生产的总费用的数学期望为42.3万元。很显然，计算机模拟的结果和概率模型解是一致的。经计算机模拟，我们还发现使得费用降到40多万的解不只一个，上面的结果可看作最优结果的精 度较高的近似值。一、问题的引入该题是要通过解具体问题给出一般的参数设计方法。具体问题如下:经验公粒子分离器某参数（记作y）由7个零件的参数（记作x，工，x）决定，1270.85式为：1.16(x -0.561 - 2.62 1 - 0.36 -4V - 7y的目标值（记作*）为1.50o当y偏离y0 土01，产品为次品，质量

3、损失为1,000 （元）； 当y偏离y 土0.3时，产品为废品，损失为9,000 （元）。零件参数的标定值有一定的容许变化范围；容差分为A、B、C三个等级，用与标定值 的相对值表示，A等为1%，B等为5%，C等为10%。7个零件参数标定值的容许范 围及不同容差等级零件的成本（元）见表1（符号/表示无此等级零件）：现进行成批生产，每批产量1,000个。在原设计中，7个零件参数的标 定值为：x = 01，x = 03，x = 01，x = 01，x = 15，x = 16，x = 075 ；容差均取最便宜的等.1234567级。要求综合考虑y偏离y0造成的质量损失和零件成本，重新设计零件参数（包括

4、标定值 和容差），并与原设计比较，总费用降低了多少。表1标定值容许范围C等B等A等x10.075，0.375 /25/x20.225，0.375 2050/x30.075，0.125 2050200 x40.075，0.125 50100500 x51.125，1.875 50/x612，20 1025100 x70.5625，0.935 /25100二、问题分析与模型假设问题的分析进行零件参数设计，就是要确定它的标定值和容差。标定值就是样品参数的期望。容差 则是参数偏离标定值的允许范围。容差越小，制造成本越高；容差大了，使由零件组成的 产品偏离预先设定的目标值的可能性增大，而产品偏离预先设定

5、的目标值，就会造成质量 的损失，偏离越大，损失越大。故进行参数的设计时要综合考虑质量损失和成本费用，使 得总费用最小。在实际问题中，许多随机变量是由大量相互独立的随机因素的综合影响形成的，而每 一个个别因素在总的影响中作用都很微小，那么可以认为这种随机变量实际上是服从正态 分布的。零件的参数就是这样的随机变量，零件的参数是服从正态分布的。问题的假设零件参数为相互独立的随机变量，服从正态分布,容差为3c . ( i = 1,，7)。 原问题中所给经验公式无系统偏差。|三、模型的建立1000个产品的总费用期望值：V=1000(V+V2)单个产品的成本费用：V亍歹0 (气 表示气的成本). i=1单

6、个产品的质量损失费用的期望值：V2=1000P2+9000P3经过仔细分析，我们发现经验公式是一个多元函数J = f (X，x，x ) = f (x)(x G R7)组成产品的零件参数之间是相互独立的。为清楚记，随机变量习惯上可改用相应的大写字 母，例如，上述表达式可写为：Y = f(XX2. X= f(X)(X,，X 7)的边缘密度函数分别为：p(x )，p(x )，p(x )，则其联合密度函数7p(x) = p(x)p(x2)p(x )。正品、次品、废品的概率分别为P =j . p(x )p(x ). p(x )dx dx dx .127127D(D=xlx e R,P =.p(x )p(

7、x ). p(x )dx dx dx127127D(D2=xlx e R7,P3 =.p(x )p(x ). p(x )dx dx dx1 一忙0）01 v| 心)罚3)7(D3=xlx e R,由此可建立如下模型：Min V=1000（V1+V2） St.= 17 ai i=1V2=1000P2+9000P3四、模型求解的初步思路（一）常规求解：常规求解所要解决的基本问题是如何计算以7重积分形式出现的P1，P2, P3,为此我们可 借用7重积分的基本思想进行近似计算，算法思路如下：1）分割由实际中常用的3 a原理，论域可由整个R 7缩小为-D=（x| x eR7, x ep - 3a ,日

8、+ 3a ,i = 1,2,.,7 i i i i i将0 - 3a，日+ 3a等分成n.等份，使得D分成n个小子域景，景，景，每ii iii12n个小子论域的七维体积为：Aa = 67涅2F7 （n=nn n）in1 近似代替当Aa很小时，用该论域中心点的P（& ,&，& ） = P（& ）的值，作为小子域所有点处P（x） i1i 2i7ii的近似值。 求和7P1= Z p（&）Ab TOC o 1-5 h z i i肇D1P2= Z P（E）AbiiP3= /2p（E ）AbiiM cD根据以上的基本思想，对于给定标定值和容差的参数，通过编制程序，即可计算产品的 总费用。（源程序见附页）原

9、设计的正品率为：0.114次品率为：0.630废品率为：0.256总费用为：313.4 （万元）至于更深入地设计新的零件参数标定值、容差及求解目标函数的极小值问题，我们将在 后面讨论。（二）计算机模拟求解：常规方法求解虽然直观易懂，但实际上相当麻烦，单确定P】，P2, P3就不是件容易的事。 事实上，我们在前面用常规方法编程计算原设计费用时，用133586机运行大约3小时相 当费时。因此我们必须寻找特别便于在计算机上实现的快捷算法一正态分布随机发生器模 拟法。由大数定率知，在相同条件下，当实验进行足够多次后某一事件A发生的频率将稳定在 概率附近。如果我们能产生大量的满足条件的y值，对Y进行统计

10、，统计所有正品，次品，废品的数量，则正品的频率就可以近似认为是正品的概率。同理可得次品 及废品的概率，然后求解目标函数。1、随机发生器的构造产品参数Y取决于零件参数X，而零件参数服从正态分布。要生成大量的y，首先必 须构造正态随机发生器。正态随机法实质上是一种可以按照某一确定的正态分布的密度函 数随机产生一系列点的计算机程序。编制这一程序是相当麻烦的。为了方便调用Mathmatica 软件的程序包，我们考虑Mathmatica语言编程。随机发生器的具体构造见下文。2、Mathmatica编程的基本步骤：1）打开程序包packages/statisti调用正态分布函数NormalDistribu

11、tion四，b 2）用系统函数Random,构造正态随机发生器RandomNormalDistribution旦，b 3）随机生成满足经验公式的y。4）计算正品、次品、废品的费用。具体的计算机实现问题见下文。五、计算机模拟的实现计算机模拟能有效地解决难以用数学公式表示的系统。本题虽然能用经验公式表示， 但是结构复杂，虽然可以用解析的方法解决，但数学计算过于复杂，相反计算机模拟可以提供简单可行的求解方法。零件参数是相互独立的随机变量，它们之间没有任何影响，只是综合影响产品参数y。 因此，我们可独立地构造和零件参数个数同样多个的随机正态发生器，正态随机法的实质 是可以按照某一确定的正态分布的密度函

12、数随机地产生一系列点的计算机程序。 Mathematica的统计程序包恰好为我们提供了理想的产生正态随机数的程序。计算机模拟的基本思想是利用正态分布随机产生大量的满足条件的随机变量Y的值 （如产生50万个甚至100万个Y值），然后进行概率统计，计算Y的均值，正品、次品 及废品的概率。为了生成Y的值，我们首先必须确定每一个X.的密度函数，结合在原设计中参数的 标定值、容差3b，X.的密度函数就唯一地确定了。借助随机数发生器，我们可以方便地 求出原设计参数的费用期望。计算机模拟方法：利用 Methematica软件包中的 Random命令对7个零件参数所遵循的正态分布 （NormalDistrib

13、ution）分别产生随机数，利用这些随机数来估算参数Y的期望。（一）原设计参数下的总费用（1）下表列出了 X，X， X的有关数据1表5-1零件原设计参数值及有关数据零件（等级）容差标定值目均方差bX1 ( B )5%i0.10.005/3X2 ( C )10%0.30.03/3X3 ( C )10%0.10.01/3X4 ( C )10%0.10.01/3X5 ( C )10%1.50.15/3X6( C )10%161.6/3X7 ( B )5%0.750.0375/3（2 ）用Mathematic的统计软件包随机每次产生10000个X （i=1,2,.7），循环该程序20次 后，随机变量Y

14、就会得到20,0000个随机值。最后，由源程序就可以得到原设计参数下的 总设计费用：V = 313.1（万元）正品的概率： 0.115次品的概率：0.627废品的概率：0.256（源程序见附页）（3 ）结果分析将七、P2 、？3代入模型中的费用函数：成本费用：1000V=（25+20+20+50+50+10）X 1000 = 20 （万元）次品损失：1000V21 = 1000 X 0.627 X 1000 = 62.7 （万元）废品损失：1000V22 = 9000X0.256X1000 = 230.4 （万元）Vzf总费用： V = 1000 （V1+V2）= 313.1 （万元）另外，进

15、行多次模拟，随机产生不同的Y值。当随机数产生足够多时(如20万个)， 总费用在314.9078处基本达到稳定。(二)零件参数的重新设计在上面的分析中，我们已经知道如果按原来的参数设计进行生产，则产品中：出现正品的概率：P1= 0.11585 .( 10% )出现次品的概率：P2= 0.62739 ;( 60% )出现废品的概率：P3= 0.256755 ; ( 25% )这种情况在生产过程中，一般是不允许的(特别应注意：废品质量损失过大)，因此必须 重新设计零件的参数。(1 )参数设计的原则、方法：我们设计零件参数，要使总的费用尽量少，要达到这一目的，可从两方面进行改进：零件参数的标定值尽量能

16、使产品参数y等于标定值y0 ;对参数变化对Y值影响较大的零件，容差采用较高的等级，但是又要考虑成本费用的 大小。X7)，零件参数的标定值必须满足:Miny - 15x e0.075，0125， 1X e 0.075，0125，x4 e 05625，0.935X2X5先考虑第一个方面，可以通过一个表达式来反映 已知：y = f (X，X，e 0.225，0.375，x e 0.075，0125； e1.125，1.875，x Z12，20；显然，这是一个非线性极值问题，可以运用数学软件Gino来解决。程序运行后，输出下面的一组结果：(表中的Reduced Cost表示当只改变一个变量时，Y的减小

17、率)表5-2Xi的取值Reduced CostX1=0.08124622.709143X5=1.2504351.199572X3=0.12328210.241061X2=0.3746153.409073X4=0.125-2.707599X6=12.0019300.062490X7=0.935000-0.702007表中的数据表明，当零件参数取上面的值时，在参数Xi (i=1,2,7)中，X的影响最大，其 次是 x3, x2, x4，X5，x7, X6。|实际上，在X1 , X2Xn的定义域中，存在许多组结果都能使Min|y -15| Q 0,因此必须 从这许多组解中，找到一组最优的解来作为标定

18、值。最优解应该使B =（*）2+（笋）2 + +（笋）2的值最小。oxOxOx127同样，也可以计算出：当X1 , X2 X7取上表中的值时，B的值也最小，B=25.32。 所以，改进后零件参数的标定值应为：XXXXXX二0.0812460.3746150.1232820.1251.25043512.0019300.935000当用上述值设计零件参数的标定值时，y与其目标值已相差很小，然后再确定各零件参 数容差的等级。容差越小，成本越高。由表中的数据可以观察到：对于X1 : C A，成本费用将增加1000（20020）=180000 （元）C B，成本费用将增加1000（5020）=30000

19、 （元）两者相比较，如果X1采用A级将会使总费用剧烈增加，所以应该采用等级B或C。对于X6： C A，成本费用增加9万元，CB，成本费用增加1.5万元，综合考虑后，X6可以采用C等级或B等级。这样，将零件按照可能的等级进行组合，可 得到：1X2X2X1X1X2X1 = 8 （种）组合方式。列表如5-3，并通过计算机模拟计算其总费用。表5-3等级X1=0.081246BBBBBBBBX2=0.374615CCCCBBBBX；=0.123292CCCBBBCBX：=0.125CCCCCCCCX5=1.250435CCCCCCCCx6=12.00193CBBCCBBBx7=0.935BBABBBBA

20、总费用（万元）48.05474745.942.942.348.561.2经过上面的分析可知，在设计的标定值下，当采用下面的等级:表5-4xxxxxxx等级1B2B3B4C5C6B7B通过上述分析和求解，就可以确定重新设计零件的参数。采用这种设计方法总费用为 42.3万元，而实际上，总费用应该在42.3万元左右波动，这样总的费用比原来降低了 271.58 万元（三）零件参数确定的一般方法步骤1、明确产品的目标值及产生质量损失的系数2、考虑实际情况确定零件参数标定值的允许范围3、结合实际生产条件估算零件进行不同精度加工时的费用4、确定零件参数的标定值（原则是在参数的标定值满足产品的标定值等于目标值的前提 下各零件参数偏导平方和尽可能的小）5、确定零件的容差（对产品零件较少的可用全面搜所法，对于产品零件较多采用动态规 划。）6、进行费用的验算（用计算机仿真程序，随机的生产一批产品，计算生产这批产品的总 费用）。六、模型的推广与应用本模型利用概率