2022年三角函数公式典型例题大全2

1、高中三角函数公式大全以及典型例题 20XX 年 07 月 12 日 星期日 19:27 三角函数公式 两角和公式 sinA+B = sinAcosB+cosAsinBsinA-B = sinAcosB-cosAsinBcosA+B = cosAcosB-sinAsinB cosA-B = cosAcosB+sinAsinB tanA+B = tanA tanB 1- tanAtanB tanA tanB tanA-B = 1 tanAtanB cotA+B = cotAcotB -1 cotB cotA cotA-B = cotAcotB 1cotB cotA 倍角公式 tan2A = 2ta

2、nA 21 tan A Sin2A=2SinA.CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4sinA 3cos3A = 4cosA3 -3cosA 3-a tan3a = tanatan +a tan 3半角公式 sin A = 21 cos A cos A = 21 cos A sin ab222tan A = 21cos A cot A = 21cos A 1cosA 1cosA tan A = 1 2cos A = sin A 1sin A sina-sinb=2cos a2bcos A 和差化积

3、 sina+sinb=2sin ab2cos ab2cosa+cosb = 2cos a2b cos ab 2cosa-cosb = -2sin a2bsin ab2sin a b tana+tanb= cosa cosb 第 1 页,共 7 页积化和差 sinasinb = - cosa+b-cosa-b 12sinacosb = 1 sina+b+sina-b 2诱导公式 cosacosb = 1 cosa+b+cosa-b 2cosasinb = 1 sina+b-sina-b 2sin-a = -sina cos-a = cosa cos -a = sina 2sin 2-a = co

4、sa sin 2+a = cosa cos 2+a = -sina sin -a = sinacos -a = -cosacos +a-=cosasin +a-s=inatgA=tanA = sin a cos a 万能公式 sina= a 2tan 2tan a 222tan a2a 2 tan 2 1 cosa= a 2 tan 2tan a 2211tana= 1其它公式 2 a.sina+b.cosa=a a.sina-b.cosa = 2 bb sina+c 其中 tanc= a2 2 aa b cosa-c 其中 tanc= b 1+sina =sin +cos a a2 22 1

5、-sina = sin -cos a a2 22 其他非重点三角函数 1 csca = sin a 1 seca = cosa 公式一： 设 为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2k）= sin cos（2k）= cos tan（2k）= tan cot（2k）= cot 设 为任意角, +的三角函数值 的三角函数值之间的关与 sin（）= -sin cos（）= -cos 系： tan（）= tan cot（ ） = cot 公式三： 任意角 与 - 的三角函数值之间的关系： 第 2 页,共 7 页sin（-） = -sin cos（-） = cos tan（-） = -

6、tan cot（ -）= -cot 公 式四： 利用公式二和公式三可以得到 -与 的三角函数值之间的关 sin（-）= sin cos（ -） = -cos tan（-）= -tan cot（-） = -cot 公 式五： 利用公式 -和公式三可以得到 2-与 的三角函数值之间的关 sin（2-）= -sin cos（2-） = cos 系： tan（2-）= -tan cot（2-） = -cot 公 式六： 23与 的三角函数值之间的关+）= -tan -）= tan 2及 系： sin（ 2+）= cos cos（ 2+）= -sin tan（ 2+）= -cot cot（ 2sin（

7、-）= cos cos（ 22-）= sin t（an-） = cot cot（223 sin（ 2cot（ 32+）= -cos cos（ 32+）= -tan sin（ 32+）= sin tan（ 32-）= -cos cos（ 32+）= -cot -）= -sin tan（ 3 2-） = cot cot（3-） = tan 2以上 kZ 正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圆半径 余弦定理 b2=a 2 +c 2-2accosB 注：角 B 是边 a 和边 c 的夹角 正切定理 : a+b/a-b=Tana+b/2/Tana-b

8、/2 三角函数 积化和差 和差化积公式 记不住就自己推,用两角和差的正余弦： 3.三角形中的一些结论： 不要求记忆 1tanA+tanB+tanC=tanA tanBtanC2sinA+sinB+sinC=4cosA/2cosB/2cosC/2 3cosA+cosB+cosC=4sinA/2sinB/2 sinC/2+1第 3 页,共 7 页4sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinB sinC 5cos2A+cos2B+cos2C=-4cosAcosBcosC-1 . 已知 sin=m sin+2, |m求|证1, tan +=1+m-/m1tan 解:sin =m sin +2

9、 sina+ - =msina+ + osa+sin=msina+cos +mcosa+sin sina+cos-c sina+cos - m=1cosa+sinm+1 tan +=1+m-/m1tan 三角函数典型例题 1 设锐角 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c , a 2b sin A. 1, 求 B 的大小 ; 求 cos A sin C 的取值范畴 . 【解析】 : 由 a2bsin A,依据正弦定理得 sin A 2sin Bsin A,所以 sin B 2由 ABC 为锐角三角形得 B . 6 cos A sin C cos A sin A cos A sin

10、 6A cos A 1cos A 3sin A 223 sin A 3. 2 在 ABC 中 ,角 A B C 的对边分别a, b,c,且中意 2a-ccosB=bcos C 为 求角 ur 设 mB 的大小 ; r sin A,cos2A ,n 4k,1 k 1ur r ,且 m n 的最大值是 5,求 k 的值 . 【解析】 :I 2a-ccosB=bcosC, 2sinA-sinCcosB=sinBcos C 即 2sinAcosB=sin BcosC+sinCcosB 第 4 页,共 7 页=sin B+C A+B+C=, 2sinAcosB=sinA 0A,sinA0. cosB=

11、1. 2 0B1, t=1 时 , m n 取最大值 . 依题意得 ,-2+4 k+1=5, k= 3 2. C sin 22. b 时取 A B 3 在 ABC 中 ,角 A, B, C 所对的边分别 a,b,c , sin 为 2I.试判定 ABC 的形状 ; II. 如 ABC 的周长为 16,求面积的最大值 . 【解析】 :I. sin C sin C cos C sin C 2 sin C2 2 2 2 24C42即 C2,所以此三角形为直角三角形 . 2II. 16 aba2b22 ab 2ab , ab 642 2 2 当且仅当 a等号 , 此时面积的最大值为 32 6 4 2

12、. 4 在 ABC 中 ,a, b,c 分别是A B C 的对边 ,C=2A, cos A 3, 4角 1求 cos C, cos B 的值 ; 2如 BA BC 27 ,求边 AC 的长 . 29 16 1137319【解析】 :1 cosC cos2A 2 2 cos A 128由 cosC 1 , 得 sin C 8 37 ;由 cos A 83 , 得 sin A 4 74cos B cos A Csin A sin C cos A cosC 7484816 第 5 页,共 7 页2 BA BC 27 , accosB 227 , ac 224 0 的两个根 . 又 asin A c

13、, C sin C 2 A, c 2a cos A 3 a 2 由解得 a=4,c=6 b2a22 c 2accosB 16 36 48 925 16 b5 ,即 AC 边的长为 5. 5 已知在 ABC 中 , A B ,且 tan A与 tan B 是方2 x 5 x 6程 3, tan B 2 . 求 tan A B 的值 ; 如 AB 5 ,求 BC 的长 . 【解析】 : 由所给条件 ,方程 2 x 5 x 6 0 的两根 tan A tanA B tan A tan B 2311tan Atan B 1 2 3 A B C180 , C 180 A B . 由 知 , tan C

14、tan A B 1 , C 为三角形的内角 , sin C 2 2 tan A 3 , A 为三角形的内角 , sin A 3, 10 由正弦定理得 : AB sin C BC sin A BC 533 5 . 210 26 在 ABC 中 , 已 知 内 角 A B C所 对 的 边 分 别 为 a, , b c, 向 量 r m 1 ,且 m / /n . r r2sin B, 3r , n 2 cos 2B,2cos B 2I 求锐角 B 的大小 ; II 假如 b 2 ,求 ABC 的面积 S ABC 的最大值 . 【解析】 :1 m / / n r r 2sinB2cos 2 -1=

15、- B 2 3cos2B 2sinBcosB=- 3cos2B tan2B=- 3第 6 页,共 7 页 02B, 2B= 2 6- 2 时等号成 立 3 ,锐角 B= 32由 tan2B=- 3B= 5 3 或 6 当 B= 时 ,已知 b=2, 由余弦定理 3,得 : 4=a2+c2-ac 2a-cac=ac 当且仅当 a=c=2 时等号成立 ABC 的面积 SABC = 12acsinB= 3 4 ac 3 ABC 的面积最大值为 35 当 B= 6 时 ,已知 b=2, 由余弦定理 ,得 : 4=a 2+c2+ 3ac2ac+ 3ac=2 + 3ac当且仅当 a=c = ac42- 31 ABC 的面积 S ABC= 2 1 ac 2- acsinB= 4 3 ABC 的面积最大值为 2- 37 在 ABC 中 ,角 A B C 所对的边分别是 a,b,c,且 a22 c b21ac. 22 1求 sin A Ccos 2