高中数学 圆的一般方程 课件

1、主讲人：深圳市石岩公学 叶佳婷深圳市新课程新教材高中数学在线教学2.4.2圆的一般方程 我们知道,方程 表示以 为圆心,2为半径的圆.可以将此方程变形为 一般地,圆的标准方程 （1） 可以变形为 （2）的形式.思考：形如 的方程一定能通过恒等变形变为圆的标准方程吗? 课 堂 导 入 思考：形如 的方程一定能通过恒等变形变为圆的标准方程吗? 例如,对于方程 ,对其进行配方,得到 因为任意一个点的坐标 都不满足这个方程,所以这个方程不表示任何图形.因此,形如(2)的方程不一定能通过恒等变形变为圆的标准方程.这表明,形如(2)的方程不一定是圆的方程. 课 堂 导 入 思考：方程 中的 满足什么条件时

2、,这个方程表示圆？表示圆的方程时，能否直接根据系数写出圆的圆心坐标，求出圆的半径？ 将方程的左边配方,并把常数项移到右边,得到: (3)(2)当 时,方程(3)只有实数解 ,它表示一个点(1)当 时,比较方程(3)和圆的标准方程,可以看出方程(3)表示以 为圆心, 为半径的圆.(3)当 时,方程(3)没有实数解,它不表示任何图形. 形 成 概 念 因此,当 时,方程 表示一个圆. 将 叫做圆的一般方程. 当 时,形 成 概 念 思考:圆的标准方程（ ）与圆的一般方程（ ， ）各有什么特点? 圆的标准方程明确给出了圆心坐标和半径,而圆的一般方程则明确表明其形式是一种特殊的二元二次方程,方程的代数

3、特征非常明显.形 成 概 念 一般方程 标准方程配方展开 思考辨析 判断正误1.方程x2y2x10表示一个圆.()2.若方程x2y22xEy10表示圆，则E0.()3.二元二次方程x2y2DxEyF0一定是某个圆的方程.()4.任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程.()例若方程x2y22mx2ym25m0表示圆.(1)求实数m的取值范围；(2)写出圆心坐标和半径.解由表示圆的条件，得(2m)2(2)24(m25m)0，典 例 分 析法二：将方程 x2y22mx2ym25m0 写成标准方程为(xm)2(y1)215m(2)写出圆心坐标和半径.解将方程x2y22mx2ym25m0写成标准方程为

4、(xm)2(y1)215m，(2)将该方程配方为 ,根据圆的标准方程来判断.小结1：二元二次方程表示圆的判断方法任何一个圆的方程都可化为 （1）的形式，但方程（1）不一定表示圆.判断它是否表示圆可以有以下两种方法:(1)计算 的值, 若其值为正,则表示圆;若其值为0,则表示一个点;若其值为负,则不表示任何图形. 例4 求过三点 的圆的方程,并求出这个圆的圆心坐标和半径.典 例 分 析 例2 的三个顶点分别是 ,求 的外接圆的标准方程. 圆的标准方程这一节中的例2 解: 设所求的方程是 （1） 因为 三点都在圆上,所以它们的坐标都满足方程（1）,于是即 观察上面的式子,我们发现,三式两两相减,可

5、以消去得到关于 的二元一次方程组解此方程组，得 代入 得到所以, 的外接圆的标准方程是 例4 求过三点 的圆的方程,并求出这个圆的圆心坐标和半径. 分析:将点 的坐标分别代入圆的一般方程,可得一个三元一次方程组,解方程组即可求出圆的方程.典 例 分 析 解: 设圆的方程是 (1) 因为 三点都在圆上,所以它们的坐标都是方程(1)的解.把它们的坐标依次代入方程(1),得到关于 的一个三元一次方程组 解这个方程组,得 所以,所求圆的方程是 由前面的讨论可知,所求圆的圆心坐标是 ,半径 典 例 分 析 思考：与例2的方法比较,有什么体会? 例4也使用了待定系数法,这里选用圆的一般方程,与例2中选用标

6、准方程的方法相比,运算就显得容易一些.因为运算后得到的方程没有二次项,是一个三元一次方程组.若像例2那样选用圆的标准方程,得到的是三元二次方程组,需要消去二次项.一般来说,解一次方程比解二次方程容易.小结2:求圆的方程常用待定系数法，其大致步骤是：注意:求圆的方程时,要学会根据题目条件,恰当选择圆的方程形式:若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解. (特殊情况时,可借助图象求解更简单)（3）解出 或 ，得到标准方程或一般方程.（1）根据题意，选择标准方程或一般方程；（2）根据条件列出关于 或 的方程组；(1)已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，1)，则ABC的外接圆的方程是_.x2y28x2y120解析设ABC外接圆的方程为x2y2DxEyF0，即ABC的外接圆方程为x2y28x2y120.跟 踪 训 练(2)圆心在直线yx上，且经过点A(1,1)，B(3，1)的圆的一般方程是_.x2y24x4y20解析设圆的方程为x2y2DxEyF0，解得DE4，F2，即所求圆的一般方程是x2y24x4y2