2022年三角函数和弦与曲式结构

1、天 津 师 范 大 学 本科毕业论文 题目 ：三角函数,和弦与曲式结构 学 院：数学科学学院 同学姓名：赵祚祥 学 号： 1130050151 专 业：信息与运算科学 年 级： 2022 级 完成日期： 2022 年 5 月 3 日 指导老师：边欣 第 1 页,共 6 页三角函数,和弦与曲式结构 摘要： 始终以来 , 数学和音乐都被联系在一起；从基本的阿拉伯数字到“黄金分割” , 音 乐中不仅包含了数学里的“数列”,“变换”等学问 , 并且乐谱的书写乃至音乐的创作等 等都透着数学的踪影； 数学学家争辩音乐 , 音乐家们也在探寻数学的隐秘； 因此 , 越来越多 的人开头关注数学在音乐上的应用 ,

2、 摸索数学和音乐的关系；本文将从数学和音乐的内在 联系,以及一些音乐方面的数学原理应用等方面去争辩数学和音乐之间的关系； 关键词： 三角函数；和谐度；和声搜寻算法 Trigonometric functions, chords and musical structureAbstract:For a long time, math and music are linked together. From basic Arabic Numbers to the golden mean, in the music not only contains the sequence, transformati

3、on in the mathematics knowledge, such as writing and music and music creation, and so on, with mathematics. Mathematical scientists study music, musicians also explore the mysteries of math. As a result, more and more people begin to pay close attention to application of mathematics in the music, th

4、inking about mathematics and music. This article from the internal relations of mathematics and music, and some application of mathematical theory aspectsof music to discuss the relationship between mathematics and music. Key words:Trigonometric function；Harmony degree； Harmony search algorithm 第 2

5、页,共 6 页目 录 一,数学与音乐的内在联系 . 1 一 和声的数学本质基于 Gamm分 a布的实证探 . 1 究 二 曲式结构中的数学规律斐波拉契数列和黄金分割 . 2 三 音乐中数学本质的训练启示 . 5 二,三角函数与和弦和谐度 . 6 一 数学与音乐间的关系频率 . 6 二 和弦的表示法 . 6 三 二和弦的和谐度争辩 . 7 三,由音乐而来的算法和声搜寻算法 . 7 一 和声搜寻算法的由来和性质 . 7 二 和声搜寻算法的争辩现状 . 8 三 和声搜寻算法在连续函数优化中的应用 . 9 四 改进和声搜寻算法求解一般整数规划问题 . 10 终止语 . 11 参考文献 . 12 第 3

6、 页,共 6 页1第 4 页,共 6 页天津师范高校数学科学学院 三角函数,和弦与曲式结构 一,数学与音乐的内在联系 一 和声的数学本质 基于 Gamm分a布的实证探究 Gamm分a布 : 如随机变量 X 有概率密度函数 f x 1a a 1 x e x , x 01 称为尺度参数 , 且 a 就称 X 听从 Gamma 分布 , 记作 X , . 称为形状参数 , 0, 0 , 其中 是 Gamma 函数 0t 1e tdt （ 2） 该定义在大多数概率统计文献中都可以找到 论中发挥重要作用 . 由1 式易见如下结论 : , 其应用越来越广泛 . 特殊是在牢靠性理 1 当 1 1, 就是参数

7、为 的指数分布 , 记为 exp ; 时, 2 当 1 且 为正整数 n, 就是 Erlang 分布 , 常用于牢靠性理论和排队论 , 如 时 , 中 一个复杂系统中从第 1 次故障到恰好再显 n 次故障所需的时间 ; 从某一艘船到达港口直现 到 恰好有 n 只船到达所需的时间都听 Erlang 分布 ; 从 3 当 n , 2 1 时, 2 n 1 2 2 , 就是数理统计中常用的 2n 分布 . 由此可见 , Gamma 分布的数字特点及其参数估量无论从理论角度仍是从应用角度 , 讲 显得特殊必要 . 从文献中可以找到 Gamma 分布的重要性质及数字特 . 点 对音乐的数学本质的最早探寻

8、,源于毕达哥拉斯发觉音高和振动体的长度存在数学 关联；两个不同音高的音组合起来, 就构成音乐最基本的元素 和声；一组和声能否给 听者以悦耳,和谐的感受,其实取决于构成这组和声的音中频率的关系；美国音乐学家 Plomp 和 Levelt 通过几组试验探究了和声背后的数学关系：他们给试验的参与者同时播放 了两个正弦音, 并调整其中的频率间隔, 并让参与者给这些和声的和谐漂亮度打分； 试验 发觉,音程的不和谐度同两个音所间隔的半音数显现 Gamma 分布,并近似Gamma2,1 . 于 假如进一步探寻各个音的频率数据,仍可以发觉,一个音程是否和谐,取决于音阶中各个音的 频率能否表示为简洁整数比的形式

9、,即： a / b ；假如音阶中各个音的频率的比能表示为简洁的 1第 5 页,共 6 页天津师范高校数学科学学院 三角函数,和弦与曲式结构 整数比 a / b ,就该音程是和谐的,反之就为不和谐； 和声体系之所以拥有上述数学特点,其实取决于人耳对音的偏好程度：只有当音阶 中各个音的频率的比显现为简洁整数比时, 才能够使人耳和相关的听觉神经产生愉悦的声 学感知；这正是由于人耳神经体系的构成和特质准备的； 二 曲式结构中的数学规律 斐波拉契数列和黄金分割 从第三项起每哪一项它前两项的和； 这就是著名的斐波拉契数列, 该数列是意大利数 学家斐波拉契于 1202 年从兔子繁殖问题中提出的,人们为了纪念

10、他, 就把这种数列称 为斐波拉契数列 . 如设该数列为 n,就它的一个递推公式为： n 2 n 1 且中意 1 2 1；对于斐波拉契数列的每一项与它的后一项的比值 n,随着 n 的增大,该 值越来越接近于黄金分割比例 5-1 ； n 1 比 2 假如毕达哥斯拉对音高 - 发声体长度关系的争辩来源于振动物理学, 最终将数学和音 乐联系在一起的话, 那么音乐曲式中包含的数学规律就显得更加地微妙, 但却更加地直接； 近些年来有些数学家通过分析传统的音乐曲式结构,发觉音乐中对于曲式的规定符 合斐波拉契数列的前几个数字： 作曲中最常用的一段式, 二段式, 三段式和五段式的回旋 曲,其段落的数量符合斐波拉

11、契数列里面的 1,2,3,5 ；而古典音乐中比较常见的大奏鸣曲 式都是三部结构, 假如再增加前奏和尾声部, 那么就会拓展为五部结构, 仍是会表达斐波 拉契数列任意三个数的前两个数之和,等于第三个数的特质； 而斐波拉契数列仍有一个性质,就是在数组中任意相邻的两个数之间的比值约等于 黄金分割比例（ ）；其实假如我们仔细观看著名的音乐作品中的结构很简洁发觉, 黄金分割比例在音乐曲式中基本上处处可见； 依据美国数学家巴兹等人的试验结果, 西方 古典音乐里面不同规模形式的作品中, 高潮部分音符所在的小节, 基本上都恰好位于整部 作品的黄金分割点； 不难发觉, 对莫扎特的作品进行进一步分析得到结论, 莫扎特钢琴协 奏曲中 94%的作品都符合这一规律； 假如说莫扎特作品所代表的古典主义音乐大多数都中规中矩,在其中发觉某些数学 规律很难有说服力的话, 那么通过对近现代以来的许多不同风格的作品进