2022年三重积分的计算方法及经典例题

1、三重积分的运算方法：三重积分的运算是化为三次积分进行的；（一重积分）和一个二重积分；从次序看：其实质是运算一个定积分假如先做定积分z2fx,y ,z dz,再做二重积分DFx ,yd,就是“ 投影z 1法”,也即“ 先一后二” ；步骤为：找及在 xoy 面投影域 D；多 D 上一点（x,y）“ 穿线” 确定 z 的积分限,完成了“ 先一” 这一步（定积分）；进而按二重积分的运算步骤运算投影域D 上的二重积分,完成“ 后二”z 2这一步；f x , y , z dv f x , y , z dz dD z 1c 2假如先做二重积分 f x , y , z d 再做定积分 F z dz,就是“ 截

2、面法 ” ,D z c 1也即“ 先二后一” ；步骤为：确定 位于平面 z c 1 与 z c 2 之间,即 z c 1c 2 ,过 z 作平行于 xoy 面的平面截,截面 D ；区域 D 的边界曲面都是 z 的函数；运算区域 D 上的二重积分 f x , y , z d,完成了“ 先二” 这一步（二D zc 2重 积 分 ）； 进 而 计 算 定 积 分 F z dz, 完 成 “后 一 ”这 一 步 ；c 1c 2fx ,y,z dvfx,y ,z ddzD 的面积z 容c 1Dz当被积函数 f（z）仅为 z 的函数（与 x,y 无关）,且易求出时,“ 截面法” 尤为便利；为了简化积分的运

3、算,仍有如何挑选适当的坐标系运算的问题；可以按以下几点考虑：将积分区域 投影到 xoy 面,得投影区域 D平面 （1） D 是 X 型或 Y 型,可挑选直角坐标系运算（当 的边界曲面中有较多的平面时,常用直角坐标系运算）（2） D 是圆域（或其部分）,且被积函数形如fx2y2,fy时,可x挑选柱面坐标系运算 （当 标运算）为圆柱体或圆锥体时, 常用柱面坐（3）是球体或球顶锥体,且被积函数形如fx2y22 z时,可选择球面坐标系运算影或以上是一般常见的三重积分的运算方法；对向其它坐标面投不易作出的情形不赘述；三重积分的运算方法小结：1.对三重积分,采纳“ 投影法” 仍是“ 截面法”,要视积分域及

4、被积函数 fx,y,z的情形选取；一般地, 投影法（先一后二）：较直观易把握；截面法（先二后一）：D 是在 z 处的截面,其边界曲线方程易写错,故较难一些；特别地,对 D 积分时, fx,y,z与 x,y 无关,可直接运算 S D z；因而 中只要 z a , b , 且 fx,y,z仅含 z 时,选取“ 截面法” 更佳；2.对坐标系 的选取,当 为柱体,锥体,或由柱面,锥面,旋转抛物面与其它曲面2 2所围成的形体；被积函数为仅含 z 或 zf x y 时,可考虑用 柱面坐标运算；三重积分的运算方法例题：补例1：运算三重积分Izdxdydz,其中为平面xyz1与三个坐标面x0 ,y0,z2.

5、“ 穿线”0z1xy0围成的闭区域；解 1“ 投影法”1.画出及在 xoy 面投影域 D. X 型D：0 xx1x0y101：0y1xy0z1x3.运算11x1xyzdz110 x1 1xy2dy11 1x2y1xy21y31xdxIzdxdydzdxdydx000022300111x3dx1x3x2x31x41100,y得D ；662424解 2“ 截面法”1.画出；2. z01,过点 z 作垂直于 z 轴的平面截D 是两直角边为 x,y 的直角三角形,x1z1z3.运算Izdxdydz11Dzdxdydz1zS Dzdzzdxdy dzz 1z1xy dz0Dz011z2z0z3dz11z

6、1 2 1z 1zdz20202024补例 2：运算x2y2dv,其中是x2y2z2和 z=1 围成的闭区域；解 1“ 投影法”1.画出及在 xoy 面投影域 D. zx22y2x22y211x2由z1消去 z,1即 D：得x2y22. “ 穿线”x2y2z1,X 型D：11x1xy:11xx1y11x22x2y2z3.运算x2y2dv1dx1xdyx1y 2x2y2dz1dx1x2x2y2 1x2y2 dy611x 2211x2注：可用柱坐标运算；解 2“ 截面法”1.画出；2. z1,0 过点 z 作垂直于 z 轴的平面截得D ：x2y22 zDz：0r20z02用柱坐标运算:0rz0z1

7、3.运算x2y2dv1Dzx2y2dxdydz12dzr2drdz121r3zdz1213 zdz6000000033补例 3：化三重积分Ifx ,y,z dxdydz为三次积分,其中：y2zx22y2及z2x2所围成的闭区域；解： 1.画出及在 xoy 面上的投影域 D. zx22y2由z2x2消去 z,得x2x2即 D：x2y212.“ 穿线”x22y2z2x2X 型 D：11xx1y1211x1y,z dz：x2y1x2x22y2z2x2I11x 22x23运算fx ,y ,z dxdydzdxdyfx ,注：当fx,11x 2x22y2y,z为已知的解析式时可用柱坐标运算；y2所围成的

8、闭区域；补例 4：运算zdv,其中为z6x2y2及zx2解 1“ 投影法”1.画出 及在 xoy 面投影域 D, 用柱坐标运算x r cos由 y r sin 化 的边界曲面方程为： z=6-r 2,z=r z z22.解 z 6 r 得 r 2D：r 2 即 0 2z r 0 r 20 2“ 穿线”r z 6 r 2: 0 r 22r z 6 r6 r 2 2 2 6 r 2 23运算 zdv zdz rdrd d rdr zdz 2 r 1z 2 6r r 2drD r 0 0 r 0 22 22 2 2 2 5 92r 6 r r dr 36 r 13 r r dr；0 0 3解 2“

9、截面法”1.画出；如图：由z6r2及zr围成；z12 2D ：rz2. z0 ,60,22 ,6 1由 z=r 与 z=2 围成；0 ,021：0rz0z22由 z=2 与 z=62 r 围成；z2 ,6,D ：r6zdzz2dz92022：0r6z2z6263.运算z d v=zdvzdvz rdrddzz rdrd6120Dz 12D z226262zS Dz 1dzzS Dz2dzz z2dzz 6z2dzz3dz6z3020202注：被积函数 z 是柱坐标中的第三个变量,不能用其次个坐标r 代换；,z0所确补例 5：运算x2y2dv,其中由不等式0ax2y2z2A定；解：用球坐标运算；由2xcossinAysinsin得的边界曲面的球坐标方程：ax2y2dv2d；PzcosP,连结 OP=,其与 z 轴正向的夹角为,OP=在 xoy 面的投影为 P ,连结OP,其与 x 轴正向的夹角为；：aA,02,02dA2sin22sind=22sin315Ad0a0a50=2A5a52sin3d2A5a52