高中数学教案-正态分布分布和函数

1、PLAY第一节 正态分布的密度函数第四章 正态分布第二节 正态分布的数字特征第三节 正态分布的线性性质第四节 二维正态分布第五节 中心极限定理正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上 研究最多的分布之一,它在概率统计中占有特别重要的地位.比如,考察一群人的身高,个体的身高作为一个随机变量,其取值特点是:在平均身高附近的人较多,特别高和特别矮的人较少.一个班的一次考试成绩、测量误差等均有类似的特征.高斯在研究误差理论时曾用它来刻画误差,因此很多文献中亦称之为高斯分布. 进一步的理论研究表明,一个变量如果受到大量独立的因素的影响(无主导因素),则它一般服从正态分布,这是中心极限定理探讨的问题.第一节

2、 正态分布的密度函数 式中 为实数, 0 .则称X服从参数为 ,2的正态分布,亦称高斯分布.记为N(, 2).可表为XN(, 2). 图象见右上角若随机变量X的密度函数为一. 一般正态分布 1. 定义 (1) 单峰对称 密度曲线关于直线x=对称f()maxf(x)正态分布有两个特性：(2) 的大小直接影响概率的分布越大,曲线越平坦;越小，曲线越陡峻.正态分布也称为高斯(Gauss)分布二. 标准正态分布 参数0，21的正态分布称为标准正态分布，记作XN(0, 1)。其密度函数为分布函数为(1) (2) (+)1；(3) (x)1 (x).x一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表供读者查阅(x

3、)的值.(P328附表1)如,若XN（0,1),(0.5)=0.6915,P1.32X0,则有三. 一般正态分布概率的计算一般地,有例2. 设 XN(,2),求P-3X3的值.如在质量控制中,常用标准指标值3作两条线,当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报,表明生产出现异常.随机变量标准化例5 一种电子元件的使用寿命(小时)服从正态分布(100,152),某仪器上装有3个这种元件,三个元件损坏与否是相互独立的.求：使用的最初90小时内无一元件损坏的概率.解:设Y为使用的最初90小时内损坏的元件数,故则YB(3,p)其中一. 一般正态分布N(, 2)第二节 正态分布的数字特征二. 标准正态

4、分布N(0, 1)例2 设X服从N(0，1)分布，求E(X2),E(X3)为什么?习作题 1.设随机变量XN(0,1)，YU(0,1)，ZB(5,0.5),且X，Y，Z独立，求随机变量U=（2X+3Y)(4Z-1)的数学期望2 设随机变量相互独立,且均服从分布,求随机变量的数学期望答:答:1. 设随机变量XB（12,0.5),Y N(0,1),COV(X,Y)=-1,求V=4X+3Y+1与W=-2X+4Y的方差与协方差.2. 某单位招聘2500人,按考试成绩从高分到低分依次录用,共有10000人报名.假定报名者的考试成绩X服从正态分布 现已知90分以上有359人,60分以下的有1151人,求被

5、录用者中的最低分数.作业题解： Y=ax+b关于x严单,反函数为例1 设随机变量X服从标准正态分布,求随机变量 Y=aX+b的密度函数,且有第三节 正态分布的线性性质一. 线性性质直接由Y的密度函数,可观察到Y的数学期望与方差定理1 设随机变量X 服从正态分布N(, 2),则X的线性 函数 也服从正态分布,且有例2 已知XN(,2),求解的概率密度关于x严格单调,反函数为故你能用正态分布的线性性质求解吗?二. 正态分布的可加性定理3 设随机变量X1, X2，., Xn独立且Xi 服从正态分布N(i ,i2),i=1,.,n, 则定理2 设随机变量X1,X2 相互独立且Xi 服从正态分布N(i

6、,i2),i=1,2, 则例1. 设随机变量X与Y独立且均服从标准正态分布，求证：Z=X+Y服从N（0，2）分布.例2. 设随机变量X与Y独立,且X N(1,2),YN(0,1).求证:(1)Z=2X-Y+3的密度函数;(2)P2Z0、20、| |1，则称(X, Y) 服从参数为1, 2, 1, 2, 的二维正态分布，可记为 一. 密度函数 若随机变量(X,Y)的密度函数为第四节 二维正态分布二、边缘密度函数为(X, Y)关于Y的边缘密度函数。 设(X, Y)f(x,y),(x,y)R2,则称为(X,Y)关于X的边缘密度函数；同理,称易知N(1,2,12,22,)的边缘密度函数fX(x)是N(

7、1, 12)的密度函数,而fX(x)是N(2, 22)的密度函数,即 二维正态分布的边缘分布也是正态分布.可见,若（X,，Y）服从二维正态分布，则X与Y独立的充分必要条件是X与Y不相关。 例 设(X,Y)服从N(1, 0, 32, 42, -0.5)分布， Z=X/3+Y/21)求E(Z) , D(Z) ;2)求X与Z的相关系数3)问X与Z是否相互独立？为什么？ 设Xn为随机变量序列，X为随机变量，其对应的分布函数分别为Fn(x), F(x). 若在F(x)的连续点，有则称Xn依分布收敛于X. 可记为一. 依分布收敛第五节 中心极限定理二.几个常用的中心极限定理1.独立同分布中心极限定理(Levy-Lindeberg) 设Xn为独立同分布随机变量序列，若EXk=，DXk= 2 ，k=1, 2, , 则Xn满足中心极限定理。根据上述定理，当n充分大时或者例1.将一颗骰子连掷100次，则点数之和不少于 500的概率是多少？解:设Xk为第k 次掷出的点数,k=1,2,100,则 X1,X100独立同分布.