《高等数学》(工科类专业适用)配套光盘习题册习题解答各章自测题第7章自测题

1、2.如果函数f(x)是周期为2兀的偶函数，则函数2 兀 f (x)cosnxdx , (n 1,2,3，)兀0.如果周期函数f (x) - ( 222),bn =.2 r答案：a0an0, bn-sin0 2.单位阶梯函数的数学表达式为n , dx2u t =其傅立叶系数是a0=(n 1,2,3，),其拉氏变换为L u tan =第7章自测题一、填空题1.如果函数f(x)是周期为2兀，则函数f(x)的傅立叶系数为ao=an =, bn =.H,1 兀1 兀答案：ao- f (x)d x, an f(x)cos nxdx n 1,2,3,兀兀兀兀1 兀bnf (x)sin nxdx n 1,2,

2、3,.E冗f(x)的傅立叶系数为ao =答案：bn 0, (n 1,2,3,)，ao 0f(x)dx, an兀i0 t 0答案：u t； L u t1 t 0二、解答题5.判别下列级数是否收敛：(1)23(2) 1 ln 0.6 In 0.6 In 0.631、1(1)()=n Gn onn 1 23 n 1 211,这两个级数都是公比n 1 3n1,所以级数收敛(2)该级数是等比级数，且公比 q In 0.6 ,所以级数收敛n 1 (2n)!nf t 2t3 6t解(1) L f t L f t 2tLe sin6t(2) f126442ss s4 ；3L2t 6t 42te sin6t.6

3、(s 2)2 36一 1解因为an,an 1J 1 干皂。心2n!(2n2)!(2n 2)(2n 1)2n!liman(2n)!lim 0nan 1n (2n 2)(2n 1)2n!所以，级数收敛半径 R收敛区间(，).的收敛半径和收敛区间.7.利用拉氏变换性质求下列函数的拉氏变换8.求下列函数的拉氏逆变换(1) F s(2) F s12，4s 164) F s2s 32s 5解(1) L 1F s L 1- 2e3t. s 31 sin4t.8 TOC o 1-5 h z ii 11 i 2L F s L 1-L - 4s 168 s 4L 1F s L1=5ett. s 14) L1F s

4、 L1 22s 3 l1 7s 2s 5 (s 1)42LW45 . 12t-L 2-=e(2cos2t2 (s 1)45-sin2t).9.用拉氏变换求下列微分方程的特解 TOC o 1-5 h z y 2y 0, y 01 ;y 16y 0, y 00 , y 04.解 (1)设L y t Y s ,对微分方程两端取拉氏变换，有L y t 2y t L 0 , 由线性性质，L y t 2L y t0 ,又由微分性质sY s y 0 2Y s 0 ,化简整理s 2 Y s 1 ,于是所以微分方程的解为Y s .s 21y t L Y s2t(2)设L y t Y s ,对方程两边取拉氏变换2sY s sy 0 y 016Y s 0,代入初始条件得s2Y s 4 16Y s 0 ,取拉氏逆变换得所以方程的解4s 161L Y ssin 4t ，y sin4t (t 0).10.将下列周期为2兀的函数展开成傅里叶级数f(x)x, 兀 x 0,x, 0 x 兀;解因为周期函数f x为偶函数，所以它的傅立叶级数是余弦级数2 兀2 兀a0 - 0 f(x)dx 0 (兀兀2,an ( x)cos nxdx兀x)dx 兀，2 xsin nx 兀 ncosnx n00,当n为偶数,4(n 1,2,3，)-4-,当n为奇数，n兀bn0