新教材高中数学选择性必修第一册重难点突破专题02《立体几何中存在性问题的向量解法》（原卷版）

1、 12/12专题02 立体几何中存在性问题的向量解法题型一 与平行有关的存在性问题1如图，在正方体 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 是棱 SKIPIF 1 0 的中点（1）求二面角 SKIPIF 1 0 的余弦值；（2）在棱 SKIPIF 1 0 （包含端点）上是否存在点 SKIPIF 1 0 ，使 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，给出你的结论，并证明2如图，四棱锥 SKIPIF 1 0 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 SKIPIF 1 0 倍， SKIPIF 1 0 为侧棱 SKIPIF 1 0 上的点（1）若 SKIPIF 1 0 平面 S

2、KIPIF 1 0 ，求二面角 SKIPIF 1 0 的大小；（2）在（1）的条件下，侧棱 SKIPIF 1 0 上是否存在一点 SKIPIF 1 0 ，使得 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 若存在，求出点 SKIPIF 1 0 的位置；若不存在，试说明理由3已知在六面体 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ，底面 SKIPIF 1 0 为菱形，且 SKIPIF 1 0 （1）求证：平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ；（2）若直线

3、SKIPIF 1 0 与平面 SKIPIF 1 0 所成角为 SKIPIF 1 0 ，试问：在线段 SKIPIF 1 0 上是否存在点 SKIPIF 1 0 ，使二面角 SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 ？若存在，确定点 SKIPIF 1 0 的位置；若不存在，请说明理由4如图： SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，四边形 SKIPIF 1 0 为直角梯形， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （）求证：平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ；（）求二面角 SKIPIF 1 0 的余弦值；（）在棱 SKIPI

4、F 1 0 上是否存在点 SKIPIF 1 0 ，使得 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ？若存在，求 SKIPIF 1 0 的值，若不存在，请说明理由5如图，在四棱锥 SKIPIF 1 0 中，底面 SKIPIF 1 0 为菱形，平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 是线段 SKIPIF 1 0 的中点，连结 SKIPIF 1 0 （）求证： SKIPIF 1 0 ；（）求二面角 SKIPIF 1 0 的余弦值；（）在线段 SKIPIF 1 0 上是否存在

5、点 SKIPIF 1 0 ，使得 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ？若存在，求出 SKIPIF 1 0 的值；若不存在，说明理由6中国古代数学名著九章算术中记载：“刍 SKIPIF 1 0 ch SKIPIF 1 0 甍 SKIPIF 1 0 mng SKIPIF 1 0 者，下有袤有广，而上有袤无广刍，草也甍，屋盖也”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条楼刍字面意思为茅草屋顶”现有一个刍如图所示，四边形 SKIPIF 1 0 为正方形，四边形 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 为两个全等的等腰梯形， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0

6、 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （1）求二面角 SKIPIF 1 0 的大小；（2）求三棱锥 SKIPIF 1 0 的体积；（3）点 SKIPIF 1 0 在直线 SKIPIF 1 0 上，满足 SKIPIF 1 0 ，在直线 SKIPIF 1 0 上是否存在点 SKIPIF 1 0 ，使 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ？若存在，求出 SKIPIF 1 0 的值；若不存在，请说明理由题型二 与垂直有关的存在性问题7如图，在直角梯形 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF

7、1 0 是 SKIPIF 1 0 的中点，将 SKIPIF 1 0 沿 SKIPIF 1 0 折起到 SKIPIF 1 0 的位置，使平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 （1）求二面角 SKIPIF 1 0 的正弦值；（2）在直线 SKIPIF 1 0 上是否存在点 SKIPIF 1 0 ，使 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ？若存在，请求出点 SKIPIF 1 0 所在的位置；若不存在，请说明理由8如图所示，在长方体 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 分别是 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的中点

8、， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （1）求证： SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ；（2）求平面 SKIPIF 1 0 与平面 SKIPIF 1 0 的夹角的余弦值；（3）在线段 SKIPIF 1 0 上是否存在点 SKIPIF 1 0 ，使得 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ？若存在，求出 SKIPIF 1 0 的值；若不存在，请说明理由9如图，在直三棱柱 SKIPIF 1 0 中、 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 中点（）求证： SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1

9、0 ；（）在棱 SKIPIF 1 0 存在一点 SKIPIF 1 0 ，满足 SKIPIF 1 0 ，求平面 SKIPIF 1 0 与平面 SKIPIF 1 0 夹角的余弦值10如图，在长方体 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 中点， SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 中点（1）求证： SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ；（2）若线段 SKIPIF 1 0 上存在点 SKIPIF 1 0 使得 SKIPIF 1 0 ，求 SKIPIF 1 0 与平面 SKIPIF 1 0

10、 所成角的正弦值11如图所示，在四棱锥 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 底面 SKIPIF 1 0 ，底面 SKIPIF 1 0 是矩形， SKIPIF 1 0 是线段 SKIPIF 1 0 的中点已知 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （）求证： SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ；（）求二面角 SKIPIF 1 0 的余弦值；（）直线 SKIPIF 1 0 上是否存在点 SKIPIF 1 0 ，使得 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 垂直？若存在，求 SKIPIF 1 0 的长；若不存在，请说明理由12如图，四棱锥 SKIPIF

11、 1 0 中，底面 SKIPIF 1 0 为矩形，侧面 SKIPIF 1 0 为等腰直角三角形， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 的中点，二面角 SKIPIF 1 0 的大小为 SKIPIF 1 0 ，设平面 SKIPIF 1 0 与平面 SKIPIF 1 0 的交线为 SKIPIF 1 0 （1）在线段 SKIPIF 1 0 上是否存在点 SKIPIF 1 0 ，使 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ？若存在，确定点 SKIPIF 1 0 的位置；若不存在，请说明理由；（2）若点 SKIPIF 1 0 在 S

12、KIPIF 1 0 上，直线 SKIPIF 1 0 与平面 SKIPIF 1 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 0 ，求线段 SKIPIF 1 0 的长题型三 与距离有关的存在性问题13如图所示，在直三棱柱 SKIPIF 1 0 中，底面是等腰三角形， SKIPIF 1 0 ，侧棱 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 的中点，试问在线段 SKIPIF 1 0 上是否存在一点 SKIPIF 1 0 （不与端点重合），使得点 SKIPIF 1 0 到平面 SKIPIF 1 0 的距离为 SKIPIF 1 0 ？14如图，长方体

13、SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 为棱 SKIPIF 1 0 中点， SKIPIF 1 0 为棱 SKIPIF 1 0 中点（1）求二面角 SKIPIF 1 0 平面角的大小；（2）线段 SKIPIF 1 0 上是否存在点 SKIPIF 1 0 ，使得 SKIPIF 1 0 到平面 SKIPIF 1 0 的距离为 SKIPIF 1 0 ？若存在，求出 SKIPIF 1 0 值；若不存在，请说明理由15如图，三棱柱 SKIPIF 1 0 的所有棱长都是2， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1

14、0 的中点（1）求平面 SKIPIF 1 0 和平面 SKIPIF 1 0 夹角的余弦值；（2）在线段 SKIPIF 1 0 （含端点）上是否存在点 SKIPIF 1 0 ，使点 SKIPIF 1 0 到平面 SKIPIF 1 0 的距离为 SKIPIF 1 0 ？请说明理由题型四 与角度有关的存在性问题16如图，已知在四棱锥 SKIPIF 1 0 中，底面 SKIPIF 1 0 为等腰梯形， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 为棱 SKIPIF 1 0 上一点， SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 交于点 SKIPIF 1 0 ，且 SKI

15、PIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （1）证明： SKIPIF 1 0 ；（2）是否存在点 SKIPIF 1 0 ，使二面角 SKIPIF 1 0 的余弦值为 SKIPIF 1 0 ？若存在，求出 SKIPIF 1 0 点位置，若不存在，请说明理由17如图1，在直角梯形 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 将 SKIPIF 1 0 沿 SKIPIF 1 0 折起，折起后点 SKIPIF 1 0 的位置为点 SKIPIF 1 0 ，得到三棱锥 SK

16、IPIF 1 0 如图2所示，平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，直线 SKIPIF 1 0 与平面 SKIPIF 1 0 所成角的正切值为 SKIPIF 1 0 （1）求线段 SKIPIF 1 0 的长度；（2）试判断在线段 SKIPIF 1 0 上是否存在点 SKIPIF 1 0 ，使二面角 SKIPIF 1 0 的平面角的余弦值为 SKIPIF 1 0 ？若存在，请确定其位置；若不存在，请说明理由18如图，在四棱锥 SKIPIF 1 0 中，底面 SKIPIF 1 0 为正方形， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIP

17、IF 1 0 为线段 SKIPIF 1 0 的中点， SKIPIF 1 0 为线段 SKIPIF 1 0 上的动点（1）求证： SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ；（2）是否存在点 SKIPIF 1 0 ，使平面 SKIPIF 1 0 与平面 SKIPIF 1 0 所成的锐二面角为 SKIPIF 1 0 ？若存在，试确定点 SKIPIF 1 0 的位置；若不存在，请说明理由19如图，在棱长为2的正方体 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 分别是 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的中点（1）证明： SKIPIF 1 0 ，

18、SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 三线共点；（2）线段 SKIPIF 1 0 上是否存在一点 SKIPIF 1 0 ，使得直线 SKIPIF 1 0 与平面 SKIPIF 1 0 ，所成角的正弦值为 SKIPIF 1 0 ，若存在，请旨出点 SKIPIF 1 0 的位置，并求二面角 SKIPIF 1 0 的平面角的余弦值大小；若不存在，请说明理由20如图，在多面体 SKIPIF 1 0 中，平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，底面 SKIPIF 1 0 为直角梯形， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF

19、1 0 与 SKIPIF 1 0 平行并且相等， SKIPIF 1 0 （1）证明： SKIPIF 1 0 ；（2）在线段 SKIPIF 1 0 上是否存在点 SKIPIF 1 0 ，使得二面角 SKIPIF 1 0 的平面角余弦值为 SKIPIF 1 0 ？若存在，求出 SKIPIF 1 0 的值；若不存在，说明理由21如图，在四棱锥 SKIPIF 1 0 中，平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （1）证明： SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ；（2）线

20、段 SKIPIF 1 0 上是否存在一点 SKIPIF 1 0 ，使得 SKIPIF 1 0 与平面 SKIPIF 1 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 0 ？若存在，请求出 SKIPIF 1 0 的值；若不存在，请说明理由22如图，在四棱锥 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （1）证明： SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ；（2）设平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，在线段 S

21、KIPIF 1 0 上是否存在点 SKIPIF 1 0 ，使得二面角 SKIPIF 1 0 的余弦值为 SKIPIF 1 0 ？若存在，求出 SKIPIF 1 0 的值；若不存在，请说明由23如图，在棱长为2的正方体 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 分别是 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 的中点（1）求异面直线 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 所成角的余弦值；（2）求异面直线 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 之间的距离；（3）在棱 SKIPIF 1 0 上是否存在一点 SKIPIF 1 0 ，使得二面角 SKIPIF 1 0 的大小为 SKIPIF 1 0 ？若存在，求出 SKIPIF 1 0 的长，若不存在，请说明理由24如图，三棱柱 SKIPIF 1 0 所有的棱长为2， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 是棱 SKIPIF 1 0 的中点（）求证： SKIPIF 1 0 平面 S