新教材高中数学选择性必修第一册重难点突破专题17《圆锥曲线常考题型05-圆锥曲线中的存在性问题与面积问题》（解析版）

1、 27/27专题17 圆锥曲线中的存在性问题与面积问题题型一 圆锥曲线中的存在性问题1已知椭圆 SKIPIF 1 0 的右焦点 SKIPIF 1 0 与抛物线 SKIPIF 1 0 的焦点重合，且椭圆的离心率为 SKIPIF 1 0 （）求椭圆 SKIPIF 1 0 的方程；（）椭圆 SKIPIF 1 0 上是否存在关于直线 SKIPIF 1 0 对称的两点 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 ，若存在，求出直线 SKIPIF 1 0 的方程；若不存在，请说明理由【解答】解：（）抛物线 SKIPIF 1 0 的焦点为 SKIPIF 1 0 ，可得右焦点 SKIPIF 1 0 ，即

2、SKIPIF 1 0 ，由题意可得 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，即有椭圆的方程为 SKIPIF 1 0 ；（）假设椭圆 SKIPIF 1 0 上存在关于直线 SKIPIF 1 0 对称的两点 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 ，可设 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 ，代入椭圆方程 SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 ，即有 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，设 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKI

3、PIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 ，即有 SKIPIF 1 0 的中点坐标为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，代入直线 SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 ，即有 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则存在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 2已知椭圆 SKIPIF 1 0 的离心率为 SKIPIF 1 0 ，点 SKIPIF 1 0 在椭圆 SKIPIF 1 0 上（1）求椭圆 SKIPIF 1 0 的方程；（2）设动直线 SKIPIF 1 0 与椭圆 SKI

4、PIF 1 0 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点 SKIPIF 1 0 为圆心的圆，满足此圆与 SKIPIF 1 0 相交两点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （两点均不在坐标轴上），且使得直线 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程与定值；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）由题意可得 SKIPIF 1 0 ，解得： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以椭圆的方程为： SKIPIF 1 0 ；（2）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为： SKIPIF 1 0 ，证明如下：假设存在符合条件的圆，且此圆为

5、 SKIPIF 1 0 ，当直线的斜率存在，设直线 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 ，联立 SKIPIF 1 0 ，整理可得： SKIPIF 1 0 ，因为直线 SKIPIF 1 0 与椭圆有且仅有一个公共点，所以 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，由方程组 SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，设 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，设直线 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 直线的

6、斜率为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，将 SKIPIF 1 0 ，代入上式得 SKIPIF 1 0 ，要使得以 SKIPIF 1 0 为定值，则 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，所以当圆的方程为 SKIPIF 1 0 时，圆与 SKIPIF 1 0 的斜率不存在时，由题意知 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 ，此时圆与 SKIPIF 1 0 的交点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 也满足以 SKIPIF 1 0 为定值 SKIPIF 1 0 ，综

7、上，当圆的方程为 SKIPIF 1 0 时，圆与 SKIPIF 1 0 的交点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 满足 SKIPIF 1 0 定值 SKIPIF 1 0 3已知抛物线 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 为坐标原点，抛物线上是否存在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 两点关于点 SKIPIF 1 0 对称，若存在，求 SKIPIF 1 0 的面积；若不存在，说明理由【解答】解：设存在满足题意的点，其点 SKIPIF 1 0 的坐标为： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，由中点坐标公式可得 SKIPIF 1 0 ， SKIP

8、IF 1 0 ，点 SKIPIF 1 0 在抛物线上，则： SKIPIF 1 0 ，解方程可得： SKIPIF 1 0 ，由对称性，不妨取 SKIPIF 1 0 ，则： SKIPIF 1 0 ，直线 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，坐标原点到直线的距离： SKIPIF 1 0 ，易知 SKIPIF 1 0 4已知中心在坐标原点 SKIPIF 1 0 的椭圆 SKIPIF 1 0 经过点 SKIPIF 1 0 ，且点 SKIPIF 1 0 为其右焦点（1）求椭圆 SKIPIF 1 0 的方程；（2）是否存在平行于 SKIPIF 1 0 的直线

9、SKIPIF 1 0 ，使得直线 SKIPIF 1 0 与椭圆 SKIPIF 1 0 有公共点，且直线 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 的距离等于4？若存在，求出直线 SKIPIF 1 0 的方程；若不存在，说明理由【解答】解：（1）依题意，可设椭圆 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 ，且可知左焦点为 SKIPIF 1 0 ，从而有 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，故椭圆 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 （2）假设存在符合题意的直线

10、 SKIPIF 1 0 ，其方程为 SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0 ，因为直线 SKIPIF 1 0 与椭圆有公共点，所以有 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，另一方面，由直线 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 的距离 SKIPIF 1 0 ，从而 SKIPIF 1 0 ，由于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以符合题意的直线 SKIPIF 1 0 不存在5已知椭圆 SKIPIF 1 0 的右焦点为 SKIPIF 1 0 ，点 SKIPIF 1 0 为椭圆 SKIPIF 1 0 的上顶点，过点 S

11、KIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 轴垂直的直线与椭圆 SKIPIF 1 0 相交于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 两点，且 SKIPIF 1 0 （）求椭圆 SKIPIF 1 0 的标准方程；（）若直线 SKIPIF 1 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 0 ，且与椭圆 SKIPIF 1 0 交于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 两点，问是否存在这样的直线 SKIPIF 1 0 使得 SKIPIF 1 0 ？若存在，求 SKIPIF 1 0 的方程；若不存在，说明理由【解答】解：（）设椭圆 SKIPIF 1 0 的标准方程为 SKIPIF 1 0

12、，根据题意可得 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，所以椭圆 SKIPIF 1 0 的标准方程为 SKIPIF 1 0 ；（）由题及（）知， SKIPIF 1 0 ，假设存在直线 SKIPIF 1 0 满足题意，设直线 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，联立方程组 SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，由题意可知点 SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 的重心，所以 S

13、KIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 时，不满足 SKIPIF 1 0 ，所以不存在直线 SKIPIF 1 0 ，使得 SKIPIF 1 0 6已知圆 SKIPIF 1 0 ，圆 SKIPIF 1 0 的弦 SKIPIF 1 0 过点 SKIPIF 1 0 ，连接 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，过点 SKIPIF 1 0 且与 SKIPIF 1 0 平行的直线与 SKIPIF 1 0 交于点 SKIPIF 1 0 ，记点 SKIPIF 1 0 的轨迹为曲线 SKIPIF 1 0 （1）求 SKIPIF 1

14、0 的方程；（2）过点 SKIPIF 1 0 的直线 SKIPIF 1 0 交 SKIPIF 1 0 于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 两点，试探究是否存在定点 SKIPIF 1 0 ，使得 SKIPIF 1 0 为定值【解答】解：（1）因为 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，因为 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，又因为 SKIPIF 1 0 ，由椭圆的定义可知点 SKIPIF 1 0 的轨迹是以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，为焦点的椭圆，则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF

15、1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 ，（2）假设存在点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 满足题意，设直线 SKIPIF 1 0 的方程为： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，联立方程 SKIPIF 1 0 ，消去 SKIPIF 1 0 整理可得： SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF

16、1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，因为 SKIPIF 1 0 为定值，所以 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 无关，所以 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，此时 SKIPIF 1 0 ，所以存在点 SKIPIF 1 0 ，使得 SKIPIF 1 0 为定值 SKIPIF 1 0 7已知中心在原点的椭圆 SKIPIF 1 0 的一个焦点为 SKIPIF 1 0 ，点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 为椭圆上一点， SKIPIF 1 0 的面积为 SKIPIF 1 0 （1）求

17、椭圆 SKIPIF 1 0 的方程；（2）是否存在平行于 SKIPIF 1 0 的直线 SKIPIF 1 0 ，使得直线 SKIPIF 1 0 与椭圆 SKIPIF 1 0 相交于 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 两点，且以线段 SKIPIF 1 0 为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出 SKIPIF 1 0 的方程，若不存在，说明理由【解答】解：（1）由 SKIPIF 1 0 的面积为 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，又点 SKIPIF 1 0 在椭圆上， SKIPIF 1 0 因为 SKIPIF

18、1 0 是椭圆的焦点，所以 SKIPIF 1 0 由解得： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以椭圆的方程为： SKIPIF 1 0 ；（2）假设存在直线 SKIPIF 1 0 满足题意，因为 SKIPIF 1 0 的斜率 SKIPIF 1 0 ，设 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 ，联立方程组 SKIPIF 1 0 ，整理得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，设 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 两点的坐标为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKI

19、PIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，以 SKIPIF 1 0 为直径的圆的方程为 SKIPIF 1 0 ，该圆经过原点，所以 SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，经检验满足题意，所以存在直线 SKIPIF 1 0 满足题意，此时直线 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 8已知椭圆 SKIPIF 1 0 的短轴长为2，过点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的直线倾斜角为 SKIPIF 1 0 （1）求椭圆的方程；（2）是否存在过点 SKIPIF 1 0

20、 且斜率为 SKIPIF 1 0 的直线 SKIPIF 1 0 ，使直线 SKIPIF 1 0 交椭圆于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 两点，以 SKIPIF 1 0 为直径的圆过点 SKIPIF 1 0 ？若存在，求出直线 SKIPIF 1 0 的方程；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）由题意可得 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，所以椭圆的方程为： SKIPIF 1 0 ；（2）假设存在这样的直线 SKIPIF 1 0 ，设直线 SKIPIF 1 0 的方程为： SKIPIF 1 0 ，设 S

21、KIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，联立直线与椭圆 SKIPIF 1 0 ，整理可得： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，以 SKIPIF 1 0 为直径的圆过点 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，整理可得： SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，解得： SKIPIF 1

22、 0 符合判别式大于0，所以直线 SKIPIF 1 0 的方程为： SKIPIF 1 0 9已知椭圆 SKIPIF 1 0 的离心率为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 分别为椭圆的左、右焦点，点 SKIPIF 1 0 在椭圆上（1）求 SKIPIF 1 0 的方程；（2）若直线 SKIPIF 1 0 与椭圆 SKIPIF 1 0 相交于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 两点，试问：在 SKIPIF 1 0 轴上是否在点 SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 变化时，总有 SKIPIF 1 0 ？若存在求出点 SKIPIF 1

23、 0 的坐标，若不存在，请说明理由【解答】解：（1）由题可知 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 所求 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 ；（2）设存在定点 SKIPIF 1 0 ，并设 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 由 SKIPIF 1 0 ，消 SKIPIF 1 0 可得 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，

24、即 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，整理为 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 可得 SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 存在定点 SKIPIF 1 0 满足题意10已知椭圆 SKIPIF 1 0 的中心在坐标原点，焦点在 SKIPIF 1 0 轴，长轴长为 SKIPIF 1 0 ，离心率为 SKIPIF 1 0 （1）求椭圆 SKIPIF 1 0 的方程；（2）经过椭圆的左焦点 SKIPIF 1 0 作直线 SKIPIF 1 0 ，且直线 SKIPIF 1 0 交椭圆 SKIPIF 1 0

25、 于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 两点，问 SKIPIF 1 0 轴上是否存在一点 SKIPIF 1 0 ，使得 SKIPIF 1 0 为常数，若存在，求出 SKIPIF 1 0 坐标及该常数，若不存在，说明理由【解答】解：（1）设椭圆 SKIPIF 1 0 的标准方程为 SKIPIF 1 0 ，由题意可得， SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，故椭圆 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 ；（2）由（1）可知， SKIPIF 1 0 ，假设在 SKIPIF 1 0 轴上存在一点 SKIPIF 1 0 ，使得

26、SKIPIF 1 0 恒为常数当直线 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 轴不垂直时，设其方程为 SKIPIF 1 0 ，设 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，联立方程组 SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，因为 SKIPIF 1 0 是与 SKIPIF 1 0 无关的常数，则有 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，此时 SKIPIF

27、 1 0 ；当直线 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 轴垂直时，此时点 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 的坐标分别为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 时，亦有 SKIPIF 1 0 综上所述，在 SKIPIF 1 0 轴上有在定点 SKIPIF 1 0 ，使得 SKIPIF 1 0 恒为常数，这个常数为 SKIPIF 1 0 11已知椭圆 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 为左、右焦点，直线 SKIPIF 1 0 过 SKIPIF 1 0 交椭圆于 SKIPIF 1 0 ， SKI

28、PIF 1 0 两点（1）若直线 SKIPIF 1 0 垂直于 SKIPIF 1 0 轴，求 SKIPIF 1 0 ；（2）当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 轴上方时，求 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 的坐标；（3）若直线 SKIPIF 1 0 交 SKIPIF 1 0 轴于 SKIPIF 1 0 ，直线 SKIPIF 1 0 交 SKIPIF 1 0 轴于 SKIPIF 1 0 ，是否存在直线 SKIPIF 1 0 ，使得 SKIPIF 1 0 ，若存在，求出直线 SKIPIF 1 0 的方程；若不存在，请说明理由【解答】解：（

29、1）依题意， SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 轴时，则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ；（2）设 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 在椭圆上，满足 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 直线 SKIPIF 1 0 ，联立 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ；

30、（3）设 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，直线 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 联立 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 由直线 SKIPIF 1 0 的方程： SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 纵坐标 SKIPIF 1 0 ；由直线 SKIPIF 1 0 的方程： SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 的纵坐标 SKIPIF 1 0 若

31、 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，代入根与系数的关系，得 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 存在直线 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 满足题意12在直角坐标系 SKIPIF 1 0 中，曲线 SKIPIF 1 0 与直线 SKIPIF 1 0 交于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 两点（）当 SKIPIF 1 0 时，分别求 SKIPIF 1 0 在点 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 处的切线方程（） SKIP

32、IF 1 0 轴上是否存在点 SKIPIF 1 0 ，使得当 SKIPIF 1 0 变动时，总有 SKIPIF 1 0 ？（说明理由）【解答】解： SKIPIF 1 0 联立 SKIPIF 1 0 ，不妨取 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，由曲线 SKIPIF 1 0 可得： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 曲线 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 点处的切线斜率为 SKIPIF 1 0 ，其切线方程为： SKIPIF 1 0 ，化为 SKIPIF 1 0 同理可得曲线 SKIPIF 1 0 在点 SKIPIF 1 0 处的切线方程为： SKIPI

33、F 1 0 SKIPIF 1 0 存在符合条件的点 SKIPIF 1 0 ，下面给出证明：设 SKIPIF 1 0 满足 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，直线 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的斜率分别为： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 联立 SKIPIF 1 0 ，化为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，直线 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1

34、 0 的倾斜角互补， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 点 SKIPIF 1 0 符合条件13如图，椭圆 SKIPIF 1 0 的离心率是 SKIPIF 1 0 ，点 SKIPIF 1 0 在短轴 SKIPIF 1 0 上，且 SKIPIF 1 0 （）求椭圆 SKIPIF 1 0 的方程；（）设 SKIPIF 1 0 为坐标原点，过点 SKIPIF 1 0 的动直线与椭圆交于 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 两点是否存在常数 SKIPIF 1 0 ，使得 SKIPIF 1 0 为定值？若存在，求 SKIPIF 1 0 的值；若不存在，请说明理由【解答】解：（）根据题

35、意，可得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 椭圆 SKIPIF 1 0 的方程为： SKIPIF 1 0 ；（）结论：存在常数 SKIPIF 1 0 ，使得 SKIPIF 1 0 为定值 SKIPIF 1 0 理由如下：对直线 SKIPIF 1 0 斜率的存在性进行讨论：当直线 SKIPIF 1 0 的斜率存在时，设直线 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1

36、0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，联立 SKIPIF 1 0 ，消去 SKIPIF 1 0 并整理得： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，从而 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，此时 SKIPIF 1 0 为定值；当直线 SKIPIF 1 0 的斜率不存在时，直线 SKIPIF 1 0 即为直线 SKIPIF 1 0 ，此时

37、SKIPIF 1 0 ；故存在常数 SKIPIF 1 0 ，使得 SKIPIF 1 0 为定值 SKIPIF 1 0 题型二 圆锥曲线中的面积问题14已知椭圆 SKIPIF 1 0 焦点为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 且过点 SKIPIF 1 0 ，椭圆上一点 SKIPIF 1 0 到两焦点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的距离之差为2（1）求椭圆的标准方程；（2）求 SKIPIF 1 0 的面积【解答】解：（1）根据题意，椭圆 SKIPIF 1 0 焦点为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则椭圆的焦点在 SKIPIF 1 0 轴上，且

38、SKIPIF 1 0 ；又由椭圆经过点 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，又由椭圆的焦点在 SKIPIF 1 0 轴上，则椭圆的标准方程为 SKIPIF 1 0 ；（2）根据题意，由（1）的结论：椭圆的标准方程为 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，又由椭圆上一点 SKIPIF 1 0 到两焦点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的距离之差为2，设 SKIPIF 1 0 ，则有 SKIPIF 1 0 ，解可得： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，又由 SKIPIF 1 0 ，

39、则 SKIPIF 1 0 为直角三角形，其面积 SKIPIF 1 0 ；故 SKIPIF 1 0 的面积为615已知抛物线 SKIPIF 1 0 的焦点为 SKIPIF 1 0 ，并且经过点 SKIPIF 1 0 （1）求抛物线 SKIPIF 1 0 的方程；（2）过原点 SKIPIF 1 0 作倾斜角为 SKIPIF 1 0 的直线 SKIPIF 1 0 交抛物线 SKIPIF 1 0 于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 两点，求 SKIPIF 1 0 的面积【解答】解：（1）把点 SKIPIF 1 0 代入抛物线 SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 ，解得

40、SKIPIF 1 0 ，所以抛物线 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 ；（2）抛物线的焦点为 SKIPIF 1 0 ，过原点 SKIPIF 1 0 作倾斜角为 SKIPIF 1 0 的直线 SKIPIF 1 0 方程为 SKIPIF 1 0 ，联立 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 不妨设 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 则 SKIPIF 1 0 的面积为 SKIPIF 1 0 ，所以所求 SKIPIF 1 0 的面积为216已知椭圆的两焦点为 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1

41、0 为椭圆上一点，且 SKIPIF 1 0 （1）求此椭圆的方程；（2）若点 SKIPIF 1 0 在第二象限， SKIPIF 1 0 ，求 SKIPIF 1 0 的面积【解答】解：（1）依题意得 SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 所求椭圆的方程为 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 （3分）（2）设 SKIPIF 1 0 点坐标为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 所在直线的方程为 SKIPIF 1 0

42、，即 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 （4分）解方程组 SKIPIF 1 0 并注意到 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 （6分） SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 （8分）17已知椭圆 SKIPIF 1 0 的下焦点为 SKIPIF 1 0 、上焦点为 SKIPIF 1 0 ，其离心率 SKIPIF 1 0 过焦点 SKIPIF 1 0 且与 SKIPIF 1 0 轴不垂直的直线 SKIPIF 1 0 交椭圆于 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 两点（1）求实数 SKIPIF 1 0 的值；（2）求 SKIPIF

43、 1 0 为原点）面积的最大值【解答】解：（1）由题意可得， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，因为离心率 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，因为 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 （2）由（1）知，椭圆 SKIPIF 1 0 ，上焦点 SKIPIF 1 0 ，设 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，直线 SKIPIF 1 0 的方程为： SKIPIF 1 0 ，联立 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0

44、 ， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 时等号成立，所以 SKIPIF 1 0 为原点）面积的最大值为 SKIPIF 1 0 18已知点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，动点 SKIPIF 1 0 满足 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 的斜率之积等于 SKIPIF 1 0 ，记 SKIPIF 1 0 的轨迹为 SKIPIF 1 0 （1）求 SKIPIF 1 0 的方程；（2）设

45、过坐标原点的直线 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 交于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 两点，且四边形 SKIPIF 1 0 的面积为 SKIPIF 1 0 ，求 SKIPIF 1 0 的方程【解答】解：（1）设 SKIPIF 1 0 ，由题意可得 SKIPIF 1 0 ，化为 SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 ；（2）当直线 SKIPIF 1 0 的斜率不存在，即直线方程为 SKIPIF 1 0 ，可得四边形 SKIPIF 1 0 的面积为 SKIPIF 1 0 ，不符题意，舍去；设直线 SKIPIF 1 0

46、方程为 SKIPIF 1 0 ，代入方程 SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 关于原点对称，可得四边形 SKIPIF 1 0 的面积为 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，即有直线 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 19已知抛物线 SKIPIF 1 0 的焦点为 SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 为圆 SKIPIF 1 0 的圆心过 SKIPIF 1 0 点的直线 SKIPIF 1 0 交抛物线与圆分别为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF

47、1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （从上到下）（1）求抛物线方程并证明 SKIPIF 1 0 是定值；（2）若 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的面积比是 SKIPIF 1 0 ，求直线 SKIPIF 1 0 的方程【解答】解：（1）由题知， SKIPIF 1 0 故 SKIPIF 1 0 ，抛物线方程为 SKIPIF 1 0 ，设直线 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ， S

48、KIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （2） SKIPIF 1 0 ，由（1）知 SKIPIF 1 0 ，可求得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 20椭圆 SKIPIF 1 0 与抛物线 SKIPIF 1 0 的公共弦长为 SKIPIF 1 0 ，且椭圆 SKIPIF 1 0 的离心率为 SKIPIF 1 0 ，点 SKIPIF 1 0 为椭圆 SKIPIF 1 0 上一动点（非长轴端

49、点）， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 为椭圆 SKIPIF 1 0 的左、右焦点， SKIPIF 1 0 的延长线与椭圆交于 SKIPIF 1 0 点， SKIPIF 1 0 的延长线与椭圆交于 SKIPIF 1 0 点（1）求椭圆 SKIPIF 1 0 的方程；（2）若 SKIPIF 1 0 的面积为 SKIPIF 1 0 ，求直线 SKIPIF 1 0 的方程【解答】解：（1）由椭圆和抛物线的对称性可设 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 交点的坐标为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，由两曲

50、线的公共弦长为 SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 ，代入抛物线 SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0 ，将点 SKIPIF 1 0 代入椭圆方程得， SKIPIF 1 0 ，离心率为 SKIPIF 1 0 可得 SKIPIF 1 0 ，联立，可得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，即椭圆方程为： SKIPIF 1 0 （2）由题意可知 SKIPIF 1 0 ，且点 SKIPIF 1 0 不是长轴端点，因此可设直线 SKIPIF 1 0 的方程为： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，

51、SKIPIF 1 0 ，联立直线方程和椭圆方程可得： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 恒成立， SKIPIF 1 0 ，原点 SKIPIF 1 0 到直线 SKIPIF 1 0 的距离 SKIPIF 1 0 ，则点 SKIPIF 1 0 到直线 SKIPIF 1 0 的距离为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 （舍去），即直线 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 21已知椭圆 SKIPIF 1 0 的离心率为 SKIPIF 1 0 ，左、右焦点分别为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF

52、1 0 ，焦距为8（1）求该椭圆的标准方程；（2）若点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 是该椭圆上的一点，且它位于第一象限，点 SKIPIF 1 0 是椭圆的下顶点，求四边形 SKIPIF 1 0 的面积【解答】解：（1）由题意 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则该椭圆的标准方程为 SKIPIF 1 0 ；（2） SKIPIF 1 0 点 SKIPIF 1 0 的坐标为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 点 SKIPIF 1 0 的坐标轴为

53、SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 22已知抛物线 SKIPIF 1 0 ，圆 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 是抛物线的焦点，过点 SKIPIF 1 0 的直线与抛物线 SKIPIF 1 0 交于 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 两点，与圆 SKIPIF 1 0 交于点 SKIPIF 1 0 ，点 SKIPIF 1 0 是线段 SKIPIF 1 0 的中点（）求抛物线的准线方程；（）求 SKIPIF 1 0 的面积【解答】解：（）因为抛物线 SKIPIF 1 0 ，所以抛物线的准

54、线方程为 SKIPIF 1 0 ；（）设直线 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 ，联立直线与抛物线的方程，即 SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 ，设 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，将 SKIPIF 1 0 点坐标带入圆方程可得 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，根据抛物线的对称性，不妨设 SKIPIF 1 0 ，联立方程组 SKIPIF 1 0 ，可得

55、SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，又点 SKIPIF 1 0 到直线 SKIPIF 1 0 的距离为 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 23李华找了一条长度为8的细绳，把它的两端固定于平面上两点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 处， SKIPIF 1 0 ，套上铅笔，拉紧细绳，移动笔尖一周，这时笔尖在平面上留下了轨迹 SKIPIF 1 0 ，当笔尖运动到点 SKIPIF 1 0 处时，经测量此时 SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 的面积为4（1）以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 所

56、在直线为 SKIPIF 1 0 轴，以 SKIPIF 1 0 的垂直平分线为 SKIPIF 1 0 轴，建立平面直角坐标系，求李华笔尖留下的轨迹 SKIPIF 1 0 的方程（铅笔大小忽略不计）；（2）若直线1与轨迹 SKIPIF 1 0 交于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 两点，且弦 SKIPIF 1 0 的中点为 SKIPIF 1 0 ，求 SKIPIF 1 0 的面积【解答】解：（1）设椭圆的标准方程为 SKIPIF 1 0 ，由椭圆的定义知 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 中， S

57、KIPIF 1 0 ，假设 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 的面积为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 椭圆的标准方程为 SKIPIF 1 0 （2）设 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 弦 SKIPIF 1 0 的中点为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 且 SKIPIF 1 0

58、 又 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 均在椭圆上， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 故直线 SKIPIF 1 0 的方程为： SKIPIF 1 0 联立 SKIPIF 1 0 ，整理得 SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 的面积为424已知 SKIPIF 1 0

59、， SKIPIF 1 0 是椭圆 SKIPIF 1 0 的两个焦点， SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 上的点， SKIPIF 1 0 为坐标原点（1）若 SKIPIF 1 0 为等边三角形，求 SKIPIF 1 0 的离心率；（2）如果存在点 SKIPIF 1 0 ，使得 SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 的面积等于16，求 SKIPIF 1 0 的值和 SKIPIF 1 0 的取值范围【解答】解：（1）连接 SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 为等边三角形可知在 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SK

60、IPIF 1 0 ，于是 SKIPIF 1 0 ，故曲线 SKIPIF 1 0 的离心率 SKIPIF 1 0 （2）由题意可知，满足条件的点 SKIPIF 1 0 存在当且仅当： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，由及 SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0 ，又由知 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 ，由得 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，从而 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 ，