《理论力学》14 动能定理

1、第十四章动 能 定 理1 本章重点、难点 重点 力的功和物体动能的计算。 质点系的动能定理和机械能守恒定律的应用。 难点 动力学普遍定理的综合应用。动 力 学2 与动量定理和动量矩定理用矢量法研究不同，动能定理用能量法研究动力学问题。能量法不仅在机械运动的研究中有重要的应用，而且是沟通机械运动和其它形式运动的桥梁。动能定理建立了与运动有关的物理量动能和作用力的物理量功之间的联系，这是一种能量传递的规律。 14-1力的功 力的功是力沿路程累积效应的度量。力的功是代数量。时,正功；时,功为零；时,负功。单位：焦耳（）；一常力的功动 力 学3 力在曲线路程中作功二变力的功 动 力 学 力的元功（自然

2、形式表达式）4 三合力的功 质点M 受n个力 作用合力为则合力的功动 力 学（直角坐标表达式）（矢量式）5四常见力的功 1重力的功质点系： 质点系重力的功，等于质点系的重量与其在始末位置重心的高度差的乘积，而与各质点的路径无关。质点：重力在三轴上的投影：动 力 学 即 在任一路程上，合力的功等于各分力功的代数和。6 2弹性力的功 弹簧原长，在弹性极限内k弹簧的刚度系数，表示使弹簧发生单位变形时所需的力。N/m , N/cm。弹性力的功只与弹簧的起始变形和终了变形有关，而与质点运动的路径无关。动 力 学7作用于转动刚体上力的功等于力矩的功。若m = 常量, 则注意：功的符号的确定。如果作用力偶，

3、m , 且力偶的作用面垂直转轴 4作用于转动刚体上的力的功，力偶的功设在绕 z 轴转动的刚体上M点作用有力，计算刚体转过一角度 时力所作的功。M点轨迹已知。动 力 学8 1功率 力在单位时间内所作的功（它是衡量机器工作能力的一个重要指标）。功率是代数量，并有瞬时性。作用力的功率：力矩的功率：功率的单位：瓦特（W），千瓦（kW），W=J/s 。动 力 学 六功率与机械效率9动 力 学是评定机器质量优劣的重要指标之一。一般情况下 。2机械效率 有效功率与输入功率之比称为机械效率。10 14-2动能 物体的动能是由于物体运动而具有的能量，是机械运动强弱的又一种度量。 瞬时量,与速度方向无关的正标量,

4、具有与功相同的量纲,单位也是J。动 力 学二质点系的动能一质点的动能 质点系内所有质点在某瞬时动能的算术和称为该瞬时质点系的动能。即：11动的动能之和。动 力 学 对于任一质点系：（ 为第i个质点相对质心的速度） 柯尼希定理 柯尼希定理 刚体的动能 平动刚体的动能 定轴转动刚体的动能质点系的动能等于随同质心平动的动能与相对于质心运12（P为速度瞬心）动 力 学 平面运动刚体的动能 平面运动刚体的动能等于随同质心平动的动能与绕质心的转动动能之和。13 14-3动能定理一、质点的动能定理因此微分形式的质点动能定理两边点乘以，有动 力 学 质点动能定理的微分形式质点动能的微分等于作用于质点上的力的元

5、功。14动 力 学将上式沿路径积分， 质点动能定理的积分形式 积分形式的质点动能定理得：在该路程上所作的功。二、质点系的动能定理 质点系动能定理的微分形式对质点系中的一质点 ：在任一路程中，质点动能的变化，等于作用于质点上的力15将上式沿路径 积分，可得 积分形式的质点系动能定理对整个质点系，有动 力 学即 微分形式的质点系动能定理 质点系动能的微分，等于作用于质点系上所有力的元功之和。 质点系动能定理的积分形式 质点系在某一段路程中始末位置动能的改变量等于作用于质点系上所有的力在相应路程中所作功的和。16动 力 学 在理想约束的条件下，质点系的动能定理可写成以下的形式 理想约束条件下质点系的

6、动能定理 微分形式 积分形式 在理想约束的条件下，质点系动能的微分，等于作用于质点系上所有主动力的元功之和。 在理想约束的条件下，质点系在某一段路程中始末位置动能的改变量等于作用于质点系上所有的主动力在相应路程中所作功的和。17 例14-5 已知：轮O的R1、m1,质量分布在轮缘上; 均质轮C的R2、m2纯滚动, 初始静止 ;, M为常力偶。求：轮心C走过路程S时的速度和加速度18轮C与轮O共同作为一个质点系解：1920式(a)是函数关系式，两端对t求导，得21 例 图示的均质杆OA的质量为30kg，杆在铅垂位置时弹簧处于自然状态。设弹簧常数k =3kN/m，为使杆能由铅直位置OA转到水平位置

7、OA，在铅直位置时的角速度至少应为多大？解： 研究OA杆；由.03rad/s67=w动 力 学 计算主动力的功； 运动分析计算动能； 根据动能定理求解： 例 图示系统中,均质圆盘A、B各重P，半径均为R, 两盘中心线为水平线, 盘A上作用矩为M(常量)的一力偶；重物D重Q。问下落距离h时重物的速度与加速度。(绳重不计，绳不可伸长，盘B作纯滚动，初始时系统静止)动 力 学解： 取系统为研究对象； 计算主动力的功； 运动分析计算动能；23动 力 学 根据动能定理求解： 上式求导得：24动 力 学例4两根均质直杆组成的机构及尺寸如图示；OA杆质量是AB杆质量的两倍，各处摩擦不计，如机构在图示位置从静

8、止释放，求当OA杆转到铅垂位置时，AB杆B 端的速度。解： 取整个系统为研究对象 计算主动力的功；25动 力 学 运动分析计算动能； 根据动能定理求解： 2614-4机械能守恒定律 一势力场 1力场 若质点在某空间内的任何位置都受到一个大小和方向完全由所在位置确定的力的作用，则此空间称为力场。 质点在势力场中受到的场力称为有势力(保守力),如重力、弹性力等。 2势力场 在力场中, 如果作用于质点的场力作功只决定于质点的始末位置，与运动路径无关，这种力场称为势力场(保守力场) 。重力场、万有引力场、弹性力场都是势力场。 动 力 学27二势能 定义 在势力场中, 质点从位置M 运动到任选位置M0,

9、 有势力所作的功称为质点在位置M 相对于位置M0的势能，用V 表示。 M0作为基准位置，势能为零，称为零势能点。势能具有相对性。是位置坐标的单值连续函数，称为势能函数。将上式求微分，则有：动 力 学281.重力场 质点： 质点系：质点系的势能： 即：有势力在各坐标轴上的投影等于势能函数对于相应坐标偏导数的负值。 几种势能计算动 力 学等势面：质点位于该面上任何地方，势能都相等。29有势力的功等于质点系在运动中的始末位置的势能之差。三有势力的功在M1位置：M2位置：M1M2：动 力 学2. 弹性力场 取弹簧的自然位置为零势能点3. 万有引力场 取与引力中心相距无穷远处为零势能位置30 设质点系只

10、受到有势力(或同时受到不作功的非有势力) 作用，则对非保守系统，设非保守力的功为W12 , 则有 四机械能守恒定律机械能：系统的动能与势能的代数和。 质点系只在有势力作用下运动时，其机械能保持不变。这样的系统称为保守系统。动 力 学 机械能守恒定律有：31 例：已知：重物m=250kg, 以v=0.5m/s匀速下降，钢索 k=3.35 N/m 求: 轮D突然卡住时，钢索的最大张力32卡住前 卡住时：解：33得即由 有3414-6动力学普遍定理及综合应用 动力学普遍定理包括质点和质点系的动量定理、动量矩定理和动能定理。动量定理和动量矩定理是矢量形式，动能定理是标量形式，他们都可应用研究机械运动，

11、而动能定理还可以研究其它形式的运动能量转化问题。 动 力 学 动力学普遍定理提供了解决动力学问题的一般方法。动力学普遍定理的综合应用，大体上包括两方面的含义：一是能根据问题的已知条件和待求量，选择适当的定理求解，包括各种守恒情况的判断，相应守恒定理的应用。避开那些无关的未知量，直接求得需求的结果。二是对比较复杂的问题，能根据需要选用两、三个定理联合求解。一动力学普遍定理及综合应用含义35动 力 学求解过程中,要正确进行运动分析, 列出正确的运动学补充方程。已知主动力和运动初始条件约束反力系统的运动约束反力系统的运动动能定理；质心运动定理；动量定理；动量矩定理；定轴转动微分方程；刚体平面运动微分

12、方程；各种守恒定理。质心运动定理；动量定理；动量矩定理；刚体平面运动微分方程。二普遍定理综合应用三方面的问题动能定理；质心运动定理；动量定理；动量矩定理；定轴转动微分方程；刚体平面运动微分方程；各种守恒定理。质心运动定理；动量定理；动量矩定理；刚体平面运动微分方程。已知主动力和运动初始条件36动量、动量矩 动能矢量，有大小方向内力不能使之改变只有外力能使之改变约束力是外力时对之有影响。不与能量相互转化，应用时不考虑能量的转化与损失。当外力主矢为零时，系统动量 守恒当外力对定点O或质心的主矩为零时系统对定点或者质心的动量矩守恒。动量定理描述质心的运动变化动量矩定理描述绕质心或绕定点的运动变化。非

13、负的标量，与方向无关内力作功时可以改变动能理想约束不影响动能只有作功能改变动能可进行能量转化应用时完全从功与能的观点出发在保守系中，机械能守恒动能定理描述质心运动及相对质心运动中动能的变化。37例：已知 l, m求：杆由铅直倒下，刚到达地面时的角速度和地面约束力。动 力 学38解：成 角时39（ a ）（ b）时40由（ a ）,（ b ）,（ c ） 得由其中： 铅直 水平(c)41 三综合应用举例 例1 两根均质杆AC和BC各重为P，长为l，在C处光滑铰接，置于光滑水平面上；设两杆轴线始终在铅垂面内，初始静止，C点高度为h，求铰C到达地面时的速度。动 力 学42解：由于不求系统的内力，可以

14、不拆开。 研究对象：整体； 分析受力如图； 动 力 学 计算主动力的功； 运动分析计算动能；43动 力 学讨论 动量守恒定理动能定理求解。 计算动能时，利用平面运动的运动学关系。 根据动能定理求解： 例2 均质圆盘A：m，r；滑块B：m；杆AB：质量不计，平行于斜面。斜面倾角 ，摩擦系数f ，圆盘作纯滚动，系统初始静止。求：滑块的加速度。44解： 选系统为研究对象运动学关系：动 力 学 计算主动力的功； 运动分析计算动能； 根据动能定理求解： 45动 力 学上式两边对求导，得：例3 重150N的均质圆盘与重60N、长24cm的均质杆AB在B处用铰链连接。 系统由图示位置无初速地释放。求系统经过

15、最低位置B点时的速度及支座A的约束反力。解：（1）取圆盘为研究对象圆盘平动。46代入数据，得动 力 学 取系统研究。初始时T1=0 ， 最低位置时：（2）用动能定理求速度。47（3）用动量矩定理求杆的角加速度 。由于所以 0 。杆质心 C的加速度：盘质心加速度：（4）由质心运动定理求支座反力。研究整个系统。代入数据，得动 力 学48 相对质心动量矩守恒定理+动能定理+动量矩定理+质心运动定理。 可用对积分形式的动能定理求导计算，但要注意需取杆AB在 一般位置进行分析。 例4 基本量计算 (动量,动量矩,动能)动 力 学49例 质量为m 的杆置于两个半径为r ，质量为的实心圆柱上，圆柱放在水平面上，求当杆上加水平力时，杆