xp(C3)02第二章 控制系统的数学描述2

1、2.2 传递函数2.2.1 传递函数的定义和主要性质*来源：传递函数是在用拉氏变换求解线性常微分方程的过程中引申出来到概念。*作用：传递函数为不解微分方程时，对系统输出进行分析的一种有效工具、途径。*定义：线性定常系统中，在零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。*零初始条件的意义。1*表达式：零初始条件变换整理：2*性质：1）传递函数是复变量s的有理真分式函数，mn，具有复变函数的所有性质； 2）传递函数取决有系统或元件的结构和参数，与输入量的形式（幅值、大小）无关； 3）不同的系统可以具有相同的传递函数； 4）相同的系统可以具有不同的传递函数； 5）传递函数已知时，可以对

2、各种信号进行输出信号测试； 6）未知系统可以通过加载已知输入获得输出信号的方法来确定传递函数； 37）线性系统中传递函数与微分方程之间有对应关系； 8）传递函数是系统脉冲响应的拉氏变换； 9）传递函数具有零极点表示方法； 42.2.2 典型环节的传递函数1）比例环节任何一个复杂系统都是由有限个典型环节组成。特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟。52）惯性环节特点：含有一个储能元件，对突变的输入，其输出不能立即复现，输出无振荡。3）积分环节特点：输出量与输入量的积分成正比，当输入消失时，输出具有记忆功能。实例：RC电路实例：积分器 64）微分环节特点：输出量与输入量的变化速度成正比，能预示输

3、入信号的变化趋势。理想微分一阶微分二阶微分5）振荡环节特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，其输出有振荡。实例：RLC电路76）延时（滞后）环节特点：输出量能准确的复现输入量，但须延迟一个固定的时间间隔。实例：管道压力，流量、皮带运输等物理量的控制。2.3 控制系统结构（方框）图及其变换特点：直观2.3.1 组成1）方框2）比较点（汇合点、综合点）3）引出线8*几个基本概念及术语1）前向通道传递函数设N(s)=0，打开反馈后，输出C(s)与输入R(s)之比。92）反馈回路传递函数设N(s)=0，主反馈信号B(s)与输出信号C(s)之比。103）开环传递函数设N(s)=0，主反馈信

4、号B(s)与误差信号E(s)之比。114）闭环传递函数设N(s)=0，输出信号C(s)与输入信号R(s)之比。125）误差传递函数设N(s)=0，误差信号E(s)与输入信号R(s)之比。136）输出对扰动的传递函数设R(s)=0，输出信号C(s)与干扰信号N(s)之比。147）误差对扰动的传递函数设R(s)=0，误差信号E(s)与干扰信号N(s)之比。15*系统方框图的建立单向性原则：形成最简单的环节2）前后环节之间只有作用，没有反作用；3）不能忽略的反作用，作为反馈处理。1）本环节的输出对输入没有反作用；16例：画出如图RC电路的方框图。解：1718例：画出如图RC电路的方框图解：1920例

5、：画出如图RC电路的方框图解：212.2.2 系统结构框图的等效变换和简化原则：变换前后个变量之间的传递函数不变。1）串联特点：前一个环节的输出量就是后一个环节的输入量。结论：串联环节的等效传递函数等于所有传递函数的乘积。222）并联特点：输入信号是相同的，输出为各环节的输出和。结论：并联环节的等效传递函数等于并联环节传递函数的代数和。233）反馈连接244）比较点的移动（前移、后移）*前移、后移是指信号从前面流到后面，而不是位置上的前后。255）引出点（分支点）的移动（前移、后移）266）比较点之间的互移7）引出点之间的互移8）比较点和引出点之间不能互移27*控制系统方框图简化的原则1）利用

6、串联、并联和反馈的结论进行简化；3）变成大环路套小环路的结构；2）解除交叉点； 比较点移向比较点：比较点之间可以互移； 引出点移向引出点：引出点之间可以互移； 比较点和引出点之间不能互移！4）利用闭环传递函数公式将各环路的传递函数取出。28例：利用方框图的等效法则，求出如图所示系统的传递函数。293031例：利用方框图的等效法则，求出如图所示系统的传递函数。简化提示：分支点A后移（放大-缩小）比较点B前移（放大-缩小）比较点1和2交换。 3233例：利用方框图的等效法则，求出如图所示系统的传递函数。342.4.5 信号流图和梅逊公式（SJMason）方块图是一种很有用的图示法。对于复杂的控制系

7、统，方块图的简化过程仍较复杂，且易出错。Mason提出的信号流图，既能表示系统的特点，而且还能直接应用梅逊公式方便的写出系统的传递函数。因此，信号流图在控制工程中也被广泛地应用。2.4.5.1信号流图中的术语35输入节点：具有输出支路的节点。图中的输出节点：仅有输入支路的节点。有时信号流图中没有一个节点是仅具有输入支路的。我们只要定义信号流图中任一变量为输出变量，然后从该节点变量引出一条增益为1的支路，即可形成一输出节点，如图中的混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点。如图中的36前向通路上各支路增益之乘积，称为前向通路总增益 用 表示。 前向通路：开始于输入节点，沿支路箭头方向，每个节点只

8、经过一次，最终到达输出节点的通路称之前向通路。37回路（闭通路）:起点和终点在同一节点，并与其它节点相遇仅一次的通路。回路中所有支路的乘积称为回路增益，用 表示 。38和和不接触回路：回路之间没有公共节点时，这种回路叫做不接触回路。在信号流图中，可以有两个或两个以上不接触回路。39信号流图的性质信号流图适用于线性系统。支路表示一个信号对另一个信号的函数关系，信号只能沿支路上的箭头指向传递。在节点上可以把所有输入支路的信号叠加，并把相加后的信号送到所有的输出支路。具有输入和输出节点的混合节点，通过增加一个具有单位增益的支路把它作为输出节点来处理。对于一个给定的系统，信号流图不是唯一的，由于描述同

9、一个系统的方程可以表示为不同的形式。402.4.5.2 信号流图的绘制 由微分方程绘制 方程，与画方块图差不多。 由系统方块图绘制。 例：画出如图所示系统方块图的信号流图。解：用小圆圈表示各变量对应的节点在比较点之后的引出点只需在比较点后设置一个节点便可。也即可以与它前面的比较点共用一个节点。 在比较点之前的引出点B，需设置两个节点，分别表示引出点和比较点，注意图中的 41422.4.5.3 梅森公式 信号流图特征式，它是信号流图所表示的方组的系数矩阵的行列式。在同一个信号流图中不论求图中任何一对节点之间的增益，其分母总是 ，变化的只是其分子。 式中 系统总增益（总传递函数） 前向通路数 第k

10、条前向通路总增益所有不同回路增益乘积之和； 所有任意两个互不接触回路增益乘积之和； 所有任意m个不接触回路增益乘积之和。 为不与第k条前向通路相接触的那一部分信号流图的 值，称为第k条前向通路特征式的余因子。 43例：求如图所示信号流图的总增益4445例：利用梅森公式 求下图所示系统的闭环传递函数。解：前向通路有3个 654321543211=GGGGGP6542154612=GGGGP7213GGGP=6321464个单独回路互不接触11=D654321543211=GGGGGP12=D6542154612=GGGGP1431HG+=D7213GGGP=6321前向通路余子式：47总结从原理

11、图画系统方块图的方法方块图的简化 基本连接方式串联、并联和反馈的简化 比较点、分支点的移动信号流图及梅森公式48例：试证明如图所示的机、电系统是相似系统(即两系统具有相同的数学模型)。B1B2K1K2XrXc(a) 机械系统R2C2R1C1UrUc(b) 电气系统2.4 自动控制系统例题49解：对于机械网络，输入为，输出为，根据力平衡，可以列写出其运动方程式：对于电气网络，写出电路方程式： 50力-电压相似机械系统（a）和电气系统（b）具有相同的数学模型，故这些物理系统为相似系统。（即电气系统为机械系统的等效网络）相似系统揭示了不同物理现象之间的相似关系。为我们利用简单易实现的系统（如电气的系统）去研究机械系统.提供了方便。电气的或电子的系统更容易通过试验进行研究。机械阻尼1