高等数学课件级数

1、一、三角级数及三角函数系的正交二、函数展开级三、正弦级数和一、三角级数及三角函数系的正交二、函数展开级三、正弦级数和余弦级一、三角级数及三角函数系的正交: y Asin(t(谐波函数A为振幅, 为角频率为初相0 y tn 一、三角级数及三角函数系的正交: y Asin(t(谐波函数A为振幅, 为角频率为初相0 y tn n :(谐波迭加sincossinnt A令sint ,nn2 )nn2kcosx,sinx,cos2x, sin2x, cosnx, sinnx,上正交cosx,sinx,cos2x, sin2x, cosnx, sinnx,上正交0nsinnxdx ,2,11cosnxd

2、证xdx1cos(k n)xcoskxcosnx2)cos(kdxk cos(k xdxxdxk 2同理可证os 0 xcos2dn 0 xcos2dn, 2,)sin2dcos1cos,sin1cos二、函数展开级2f(x2的周期函数a0sinnn2右端级数可逐项积分n ( 1cox,1,)二、函数展开级2f(x2的周期函数a0sinnn2右端级数可逐项积分n ( 1cox,1,)( 1nd 1)逐项积分证由定理条件dxxd xfdxd21xd0 xxk2x xxdx a 2x1xd0 xxk2x xxdx a 2xkk 1(k ,2,)xcoskxk类似地sinkx乘式两边1k( )( k

3、d 12,) bnn21n (coxnxd ,1,)1( ) ( ndx1 bnn21n (coxnxd ,1,)1( ) ( ndx12),fxfx的的fx级数的f(x是周期为2定理3(收敛定理展开定理周期函数雷Dirichlet条件f(x n bsin2xff(x是周期为2定理3(收敛定理展开定理周期函数雷Dirichlet条件f(x n bsin2xfx,fx )x2,f(x证明略注意: 得多低 f(x2的周期函数例在 x x 1y1f解1xo)x f(x2的周期函数例在 x x 1y1f解1xo)xxdn1100(1)xd(n111(x)sinnxd n100(1)x1 1 cosnx

4、 021 cosnx 1cosn 11(x)sinnxd n100(1)x1 1 cosnx 021 cosnx 1cosn nn04,当n,2当n6 , 4 sin x 1sin3x1( xk 3, ,2 ,x5x79x (, ,2 ,( 1) 根据收敛定理可知5x79x (, ,2 ,( 1) 根据收敛定理可知当xk, 1, ,)2近f(x的情况见右图y1 例2. f(x2的周期函数在yo32x(fx211211 00 xd解d x0210 例2. f(x2的周期函数在yo32x(fx211211 00 xd解d x0210 x xn1n0 1 n2n21cos,nk an k ) 2k

5、, 2 ,)n1n011(x)sinnxd sinnn,n21cos,nk an k ) 2k , 2 ,)n1n011(x)sinnxd sinnn,n22sin2x cosxx sinf24cos1sin1sin4x3 2234cos1sin5 25 (2k (k, 1, 2,0 )时说明xk 定义在,f(x) , f)x 定义在,f(x) , f)x f(x)xx Fk)(在 x0 x,例3级数解f(x)(yxo2F(x1 2 x xdfdd00 2 x2 1 x0 x,例3级数解f(x)(yxo2F(x1 2 x xdfdd00 2 x2 121d )xxdn202nxn 2nn04,

6、nnk kk, 2 ,22k ) (cosn 1) (01x1(x)sinnxdx 4,nnk kk, 2 ,22k ) (cosn 1) (01x1(x)sinnxdx f)sindn 4cosx11 cos3xcos5x( x 2x0时f(0) = 0 , 1111352n8()111111 1,112215171341112 81 22443 111111 1,112215171341112 81 22443 又8428三、正弦级数和余弦级1.周期为2定理4 . 2的奇f(xan 2(n 三、正弦级数和余弦级1.周期为2定理4 . 2的

7、奇f(xan 2(n 10(n 1, 2,3,级数为余弦级数(x)sinnxd n周期为2的偶f(x20(n (x)cosnxd 1,nbn (n1fx是周期为2的周期函数,例4f(x)x, f 1, y解: x 2k 2的奇函数(k fx是周期为2的周期函数,例4f(x)x, f 1, y解: x 2k 2的奇函数(k 1nox20)x nnn2)2n0n02cos (n1,nnf(x的正弦级数y)n1x 2fsink xon2f(x的正弦级数y)n1x 2fsink xon23), 1 ,)( xx(2k 上级数的部分在f(x的情况见右图级数例5中E为正常数sny是周期为2解u ox220

8、,2,)n224Eat ud0002 ( t级数例5中E为正常数sny是周期为2解u ox220,2,)n224Eat ud0002 ( tdtdn00Et1)d0E4Etasin(1)d0,nk(k , 2 ,nk Ea1 202EE u E4Etasin(1)d0,nk(k , 2 ,nk Ea1 202EE u kk 4E 11t tt 3(t 2.在0,x 0, f(x yyoxx oxx0,2.在0,x 0, f(x yyoxx oxx0,0,f(x f(x 0 x FFf(x , x, f(x , xFFf(x0f(x0f)例6解先求正弦级数. 去掉端点f(x作奇周期延拓2200b

9、n 1 xdnx 2nxsinxy1f)例6解先求正弦级数. 去掉端点f(x作奇周期延拓2200bn 1 xdnx 2nxsinxy12n2nn0 ox nk ,k k , 2,1 nk 1k k bn , 2,y1 k1oxx1 2( 1k k bn , 2,y1 k1oxx1 2( 2)sinx sin2x2 sin4 2sin x43x0级数的和为0f(xx1fxx2 2220y1x )0201)cosan d0oxsincosnxfxx2 2220y1x )0201)cosan d0oxsincosnxsinnx 2 2n2nn0cosn 41) 2( k k , 2,nx1 1x1)

10、2k2(k114xx cos 51cosx 说明: x1 1x1)2k2(k114xx cos 51cosx 说明: x3cos xy1111351ox8即)2k8(1.2 x b(ann2 1n 1)xcosnxn11.2 x b(ann2 1n 1)xcosnxn1n0,2,()xsinn xdn0 (x0为间断点注意2内容小2.23.在 02.23.在 01.在0答思考与练2. x0 0 x yx fx21o 1xx2x .,在2. x0 0 x yx fx21o 1xx2x .,在) f f22) 2) ) 222f(x)xSx3.(0, 为周期的正弦级数展开式的和函数x,) 的表达式fxxf(x)xSx3.(0, 为周期的正弦级数展开式的和函数x,) 的表达式fxx x解xx F2, 上, 在( xx;上xS(x S x2 220 x2 x x1x 写出函数 在 x x1x 写出函数 在 x xxx