2015年4月届高三第三次全国大联考江苏版数学卷解析

1、一、填空题（每题 5 分，满分 70 分，将填在答题纸上）1已知集合 A 1, 2, 4 ， B a, 4 ，若U A B 1, 2,3, 4，则CU B .【命题意图】本题考查集合的并集、补集运算等基础知识，意在考查学生的基本运算能力.【】1, 2【】 A B 1, 2,3, 4 a 3 ,所以CU B 1, 22已知复数z 满足a bi z b ai,(a,b R) ,则 z 的模为【命题意图】本题考查复数的模等基础知识，意在考查学生的基本运算能力.【】1】a bi z b ai z b ai =i | z |1【a bi3“ x 0 ”是“ x 1 2 ”的_条件x【命题意图】本题考查充

2、要关系及基本不等式等基础知识，意在考查综合分析能力以及基本运算能力.【】充要又当 x 1 2 时，x 0 必成立，所以“ x 0 ”是“ x 1 2 ”】因为当 x 0 时，【xx的充要条件本题也可这样理解： x 1 2 (0 x4执行的伪代码，则输出的结果为（第 4 题）【命题意图】本题考查流程图基础知识，意在考查学生的基本运算能力和逻辑推理能力.【】471I 11WhileI 7S 2 I + 1I I-2EndWhile PrS【】第一次循环： S 23, I 9 ，第二次循环： S 47, I 7 ，结束循环输出 S 47 5已知O 为 ABC 的外心， BM 2MC ， AC 3 .

3、若 AO AM 4 ，则 AB .【命题意图】本题考查平面向量的运算及向量的数量积等基础知识，意在考查学生的基本运算能力.【】30【】由题意得：f (x) 0 x 0f ( f (x) 3 f (x) 0或 f (x) 3 x 0或f (x) 2 f (x) 324 cos x 3 23 x 0或x (2k 1) , k N.2 4)(x 2)(x 5) x 1 , 4 ，则函数 y f (x) 的值域为7已知函数 f (. 3 3 333【命题意图】本题考查函数周期、二次函数值域等基础知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本运算能力】(0, 4).【f (x 1) 的值域与函数 y f (x)

4、 的值域相同，而 x 1 1 , 4 x (0,1) ，故【】函数 y 3 3 335 29 1)(2 1)(x2 4) x2 (0, 4) ，f (2 4所以函数 y f (x) 的值域为(0, 4).8. 如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AB 3 cm， AD 2 cm， AA1 1 cm，则点 B1 到面 ABD1的距离为cm2D1C1A1CAB（第 8 题）【命题意图】本题考查三棱锥的体积及等体积法求高等基础知识，意在考查学生的空间想象能力及基本运算能力】 2 5【5D1 A1 1 AB BB1D A S 2 2 3 1 25 得 1 hS 1 D A S V, h

5、1 1 ABB1【】由VB1 ABD1D1 ABB1ABD11 1 ABB133S153 52 AB AD1ABD19若锐角三角形三个内角的度数成等差数列，且最大边与最小边长度之比为m ，则m 的取值范围是.【命题意图】本题考查正弦定理及三角函数性质等基础知识，意在考查学生的运算求解能力.】1, 2)【sin Asin(120 C)31】由题意最大角 A 与最小角 C 之和为120 ，则 m 【，又sin csin C2 tan C23 tan C 3 , m 1, 2)60 A 120 C 90 60 C 30 ，所以341 的取值范围为10已知直线3ax by 9 经过点 P(1, 3)

6、，则.a 1b【命题意图】本题考查函数值域，基本不等式等基础知识，意在考查学生分析问题的能力.91】 , ) (, 【22【】因为直线3ax by 9 经过点 P(1, 3) ，所以a b 3，b a 1) 9 或4 1 a 1b2a 1a 1ba 1a 1b2b22b24 1 的取值范围为9 , ) (, 1 a 1) 1 ，故4 1 1 (5 24ba 1ba 1b2a 1b22211. 设 x 为曲线 y 1 (x 0) 与 y ln x 公切线的一个切点横坐标，且 x 0 ，则满足 m x 的最小整数111xm 值为.【命题意图】本题考查构造函数求导，函数零点等基础知识，意在考查学生的

7、基本运算能力.【】23B1D【】设公切线方程为： y kx b ，切点分别为(x , 1 ), (x , ln x ) ，1x221由 y 1 得： y ；由 y ln x 得： y 1111，所以， k ，xx2x2xx21因为点(x , 1 ), (x , ln x ) 在公切线上，所以b 112 , b ln1 1,12x22x1221 1即，x12 0) ，则h( 0 ，令 h(1x2x11而 h(2) ln 4 2 0, h(e) 1 2 0,e所以 x1 (e, 2) ， x1 2 ，最小整数m 值为212已知函数 f (x) x2014 ax b,(a,b为常数），若| f (x

8、) | 在1,1 上最小值为 1 ，则2015a 2b 的值2为.【命题意图】本题考查不等式性质等基础知识，意在考查学生的基本运算能力.【】1x2y213在平面直角坐标系中，已知椭圆C : 1,设R(x , y )xOy是椭圆C 上的任一点，从原点O 向00241222圆 R ： x x y y 8作两条切线，分别交椭圆于点 P ， .若直线OP ，的斜率存在，并记为 ，QOQk100k2 ，则k1k2 .【命题意图】本题考查直线与椭圆位置关系等基础知识，意在考查学生基本运算的能力.【】 1 2| k x y | 21 002 ,化简得【】因为直线OP ： y k x 与圆 R 相切，所以11

9、 k 21 y2 8 0 ，同理OQ ：y k x 满足(x2 8)k 2 2x(x2 8)k 2 2x y k y2 8 0 ，所以k , k 是y k212010 0 10020 0 204y2 8方程(x2 8)k 2 2x y k y2 8 0 的两个不相等的实数根， k 0 ，因为点 R(x) 在椭圆 C k, y00 0012x2 80004 1 x2x2y21 1 2，即 y 12 x ，所以22 0 10上，所以 02kk 00224121 2x2 8014已知 P 点为圆O 与圆O 公共点，圆O : (x a)2 ( y b)2 b2 ，圆O : (x c)2 ( y d )

10、2 d 2 ，若1212ac 9, a c，则点 P 与直线l ： 3x 4y 25 0 上任意一点M 之间的距离的最小值为.bd【命题意图】本题考查直线与圆位置关系等基础知识，意在考查分析能力及基本运算能力.【】2ac k 则圆O : (x a)2 ( y ka)2 k 2a2 ， a2 2(x 2ky)a (x2 y2 ) 0【】设1bd圆O : (x c)2 ( y kc)2 k 2c2 ， c2 2(x 2ky)c (x2 y2 ) 02故 a, c 是关于m 的方程m2 2(x 2ky)m (x2 y2 ) 0 的两根因此由定理得ac x2 y2 9 ，所以点 P 在圆 x2 y2

11、9 上，其到直线l 距离就是点 P 与直线l 上任意一点 M 之间的距离的最小值，为d | 3 0 4 0 25 | 3 2.5二、解答题 （本大题共 6 小题，共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15（本小题满分 14 分）已知函数 f (x) a sinx b cosx( 0) 的图像过点 P( ,6 2 ) 且关于直线 x 对称，图像上相邻382两个最高点的距离为 .（）求a,b, 的值；（）若 f ( ) 2 ( 2 7 ) ，求sin 的值.23 36【命题意图】本题考查三角函数图像及性质，给值求值等基础知识，意在考查学生的运算能力.】（）由于 f (x) a s

12、in x b cosx a2 b2 sin(x ) ，其中tan b ，【a，所以T , 2 2 ，而其图像上相邻两个最高点的距离为2 分2 ) 且关于直线 x 对称，又其图像图像过点 P( ,86 32532b| f ( 3 ) |a b22a | 2a b|22a 3b 0a 3所以 ，即7分 6 223 1 b 1 6 22a b 2 22 f ( ) a b 8 2 2sin 2x （）由（）得： f 6 21得： sin( ) ) 由 f (2363 23 7 626 1 22 23cos( )= 1 sin2 1 66 3 因此sin sin( ) sin( ) cos cos(

13、) sin 3 2 214 分6616（本小题满分 14 分）66666如图，在三棱柱 ABC A1 B1 C1 中， AB BC 2，AC 2AC, BB1 的中点2 ，侧面 ABB1 A1 是矩形， M , N 分别是（）证明： MN / / 面 A1B1C ；（）证明：面 A1B1C 面 BCC1B1 B1C1A1BCM【命题意图】本题考查线面垂直，线面平行的判定与性质等知识，意在考查学生的空间想象能力、运算求解能力.【】6NB1C1A1BCMA（）证明：取 A1C1的中点 D ，连接 MD 与 A1C 交于点 E ，连接 B1E ,在三棱柱 ABC A1 B1 C1中，因为 M , N

14、, D 分别是 AC, BB1, A1C1 的中点，所以 MD / /BB1，MD BB1所以 ME / /B1N，ME B1N所以四边形 MEB1N 是平行四边形,所以MN / / B1E因为 MN 面A1B1C, B1E 面A1B1C ,所以 MN / / 面 A1B1C 7分，所以 AB BC AC ，AB BC, A B222 BC（）因为 AB BC 2，AC 221 1因为侧面 ABB1A1 是矩形，所以 A1B1 BB1又因为 BC BB1 B ,所以 A1B1 面 BCC1B1 而 A1B1 面 A1B1C ，所以面 A1B1C 面 BCC1B1 14 分17（本小题满分 14

15、 分）某汽车厂有一条价值为a 万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值经过市场，产品的增加值 y 万元与技术改造投入的 x 万元之间满足： y 与(a x) 和 x22am ，其中m 是正常数若 x a 时， y a3 的乘积成正比； x (0,2m 12（）求产品增加值 y 关于 x 的表达式；（）求产品增加值 y 的最大值及相应的 x 的值【命题意图】本题考查函数式、分段函数最值、二次函数最值、基本不等式求最值等基础知识，意在考查学生解决实际问题能力及基本的运算能力7DNE18（本小题满分 16 分）x2y21在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中，

16、 已 知 椭 圆 C ： 1 (a b 0) 的 离 心 率 e ， 直线 a2b2l : x m y1 0 ( mR 过)椭圆C 的右焦点 F ，且交椭圆C 于 A ， B 两点2（）求椭圆C 的标准方程；（）过点 A 作垂直于 y 轴的直线l1 ，设直线l1 与定直线l2：x 4 交于点 P ，试探索当m 变化时，直线BP 是否过定点？【命题意图】本题考查直线与椭圆位置关系的位置关系等知识 ，意在考查学生的运算求解能力，数学综合论证能力. c 1， c 1，【】（）由题设，得 c 1 解得从而b2 a2 c2 3 ，,a 2,2 ax2y2 1 所以椭圆C 的标准方程为4 分438（）令m

17、 0 ，则 A(1 3) ， B(1， 3) 或者 A(1， 3) ， B(1 3) ，2222当 A(1 3) ， B(1， 3) 时， P(43) ；直线 BP : y x 5，2222当 A(1， 3) ， B(13) 时， P(4， 3) ，直线 BP : y x+ 5，22225所以，满足题意的定点只能是( , 0) 设为 D 点6 分2下面证明 P,B,D 三点共线设 A(x1 ，y1) ，B(x2 ，y2 ) ，由于 PA 垂直于 y 轴，所以点 P 的纵坐标为 y1 ，从而只要证明 P(4 ，y1) 在直线BD上8 分x my 1 0 ，得(4 3m2 ) y2 6my 9 0

18、 ，由 x2y2 1， 43 144(1 m2 ) 0 ，6m9 y y ， y y 10 分121 24 3m24 3m23 y y (my 3)y2 0 y1 0 y2 y1 21222k kDBDP5553233x2 24 2my2 1 2(my )222y +y 2 my y121 23，13 分 3my22式代入上式，得kDB kDP 0 ，kDB =kDP所以15 分点 P(4 ，y1) 恒在直线 BD 上，从而 P,B,D 三点共线5即直线 BP 恒过定点( 2 , 0) 16 分 19（本题满分 16 分）数列a 满足： a1, a1 a (a1), (n * ) n1n1nn

19、（）求证：数列an 1 一定不是等比数列；111（）若+ 2 ，求a2015 4a1 最小值aaa122014【命题意图】本题考查等比数列定义，裂项相消求和等基础知识 ，意在考查学生的运算求解能力，运用转9化与化归综合分析问题解决问题的能力.【】证明：（）假设数列an 1 是等比数列，公比为 an1 1 an (an 1), ， 0) ，an1 1 a ,na 1n an q q 1, a q 1a 1,从而即与q 11假设不成立，所以数列an 1 一定不是等比数列（）因为a1 1 an1 1 an (an 1) 0 an 16 分1111111而 a1 a (a 1) =n1nna1a(a

20、1)a 1aaa 1a1n1nnnnnnn111111111111+ 11 分a1 1a2 1a2 1a3 1a2014 1a2015 1a1 1a2015 1a1a2a2015a 211113=2，a 2 0 得1 a1. 所以2即，且由2015a 1a12a 3a1a 1112015120151a1 2 4a 11 1 2(3 2a ) 11 +21 2(3 2a ) 7a 4a 201512a 3122(3 2a )12(3 2a )12211115472 2(3 2a ), a a 4a当且仅当时取等号，即最小值为16 分2(3 2a )1120151120（本小题满分 16 分）已知

21、函数 f (x) a1.（）当a 1时，求 f (x) 的单调区间；121a (1 ) e nn a n N*都成立.（）求证：当时，对任意的【命题意图】本题考查导数的运算，利用导数求函数的单调区间，利用导数（构造函数）证明不等式等知识 ，意在考查学生的运算求解能力，综合论证能力.10 x 1，f (x) ln x，【】（）当a 1时， f (由 f (x) 0 得 x 1 ；由 f (x) 0 得0 x 1；因此 f (x) 的单调增区间为(1, ), 单调减区间为(0,1)4 分1 e (n a) ln(1 1 ) 1 a 1(1 )nna nln(1 1 )（）nn1)21) ，则 g

22、(0令 g( 1)2x x 1)在(1, ) 上单调递增，从而 g(x) g(1) 0因此 g( 12(1 1 1)1)11，令 x 1 ，则ln(1 ) 2n即ln，1 1 1 12n 1nnn1 2n 1 n 11 n 12所以ln(1 1 )2 ， ln(1 1 )2nn1a n1因此当a 时，1恒成立，命题得证16 分ln(1 )n2数学附加题部分21.【选做题】（本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）【选做题】（在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题）A【选修 41 几何证

23、明选讲】（本小题满分 10 分）如图，以 ABC 的边 AB 为直径作圆,分别交 AC, BC 于 D, E, ，过点 E 作 EF AB 交 AB 于 F ，且 3，设 BD, AE 交于点 N ，A求证： CNE CDE.11CDENABF【命题意图】本题考查四点共圆等知识 ，意在考查学生的推理论证能力.】因为 AB 为圆的直径，所以AEB 900.【 3，所以 EF 2 A因为 EF AB 3FB2 3，A在EFB 中， tan EBF 600又 A, B, E, D 四点共圆，所以CDE ABE 600又因为CDB CEA 900 ，所以C, D, N, E 四点共圆所以CNE CDE

24、.10 分B【选修 42：矩阵与变换】（本小题满分 10 分）已知矩阵 M a 0 ，若直线3x y 1 在矩阵 M 对应的变换作用下得到直线 x y 5 ，求矩阵 M 的特0 b征值【命题意图】本题考查矩阵变换、特征值等知识 ，意在考查运算求解能力.y 是直线3x y 1 上任一点，在矩阵 M 对应的变换作用下得到对应的点为 P x ,y ，】设 P x,【ax x ,a 0 x x 0 b y y ，即则by y , 又 x y 5 ，所以ax by 5 ，也就是直线3x y 1 ，所以 a b 5 , a 15,b 5311 1500 5 0 15或 5 10 分因此C.【选修 44：坐

25、标系与参数方程】（本小题满分 10 分）已知极坐标系中， 曲线 C 的极坐标方程为 2 2(cos sin ) 1 0 ， 直线 l 的参数方程为x 2 t cos , (t为参数，且 0, ) ，直线 l 与曲线 C 交于两点 A, B, ，求弦长 AB 取值范围 y 2 t sin412【命题意图】本题考查圆的极坐标方程及直线与圆的位置关系等知识 ，意在考查转化解决问题的能力.【】曲线 C 的普通方程是 x2 y2 2x 2 y 1 (x 1)2 ( y 1)2 3 直线 l 的普通方程是 x sin y cos 2sin 2cos 0 圆心 C 到直线 l 的距离是d sin cos1弦

26、长 AB 2 3 d 2 2 3 sin cos 2 2 2 sin 2 0 , ) 2 0 ,) , si n 2，因0此, 1弦) 长 AB 取值范围为22, 2 3).10 分42D【选修 45：不等式选讲】（本小题满分 10 分）已知函数： f (x) | x a | | x 2| ，若不等式 f (x) | a 2 | 的解集为 R ，求实数a 的取值范围【命题意图】本题考查含绝对值不等式等知识 ，意在考查运算求解能力.】因为 f (x) | x a | | x 2| | ( x a) ( x 2)|=| a 2 | 8 分【所以|a 2 | a 2 | 故 a 0 ，实数a 的取值

27、范围为0, ). .10 分【必做题】（第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共 20 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）22.（本小题满分 10 分）如图，直四棱柱 ABCD A1B1C1D1 ，底面为正方形，侧棱长与底边边长比为 2，点 P 为侧棱CC1 上一点，求直线 AP 与面 A1BC 所成角的正弦值的取值范围.13 sin cosD1C1A1PCAB【命题意图】本题主要考查利用空间向量求线面角，意在考查运算求解能力.【】设底边边长为 1，侧棱长为2 ，以 A 为坐标原点， AB 所在直线为 x 轴， AD 所在直线为 y 轴 AA1 所在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系，则 P(1,1,t),t 0, 2 ， A1(0, 0, 2), B(1, 0, 0),C(1,1, 0),一个法向量为n (x, y, z),设面 0y 0n (2, 0,1),n BC 得x 2z 0 ，令 z 1, 则 x 2,则由n BA1 0 所成角的正弦值等于| cos n, AP |(t 2)22 t55|= |所以直线 AP 与面t 222 t2 52(t 2)(t2 2) 2(t 2)2 t(t 2)2(t 2)2 0 得t 1 ，（负根舍去），所以当t 0,1 时， y 令