第三二课时矩形、菱形、正方形

1、第32课时 矩形、菱形、正方形本课时复习主要解决下列问题.1.菱形的概念、性质及判定 此内容为重点1.为此设计了归类探究中的例1,例2； 限时集训中的第1，2，8，12，14题.2.矩形的概念、性质及判定 此内容为重点2.为此设计了归类探究中的例3； 限时集训中的第5，6，7，9，10，13题.3.正方形的概念、性质及判定 此内容为重点3.为此设计了归类探究中的例4；限时集训中的第3，11，15题.4.特殊平行四边形的综合运用 此内容为难点.为此设计了归类探究中的例5；限时集训中的第4，16题及预测变形14.1.2011衢州衢州市新农村建设推动了农村住宅旧貌变新颜，如图32-1为一农村民居侧面

2、截图，屋坡AF、AG分别架在墙体的点B、点C处，且AB=AC,侧面四边形BDEC为矩形，若测得FAG=110，则FBD=( )A.35B.40C.55D.70C2.2011温州如图32-2，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O 已知AOB= 60，AC16，则图中长度为8的线段有( ) A.2条 B.4条 C.5条 D.6条3.2011襄阳顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD一定是( ) A.菱形 B.对角线互相垂直的四边形 C.矩形 D.对角线相等的四边形DD4.2011烟台已知：如图32-3，在四边形ABCD中，ABC90， CDAD，AD2CD22AB

3、2 （1）求证：ABBC； （2）当BEAD于E时，试证明：BEAECD解：1.矩形定义：有一个角是 的平行四边形叫做矩形.性质：（1）矩形的四个角是 ； （2）矩形的对角线 .注意：（1）矩形的定义可作为性质； （2）平行四边形的所有性质矩形都具备.判定：（1）有三个角是直角的四边形是 ； （2）对角线相等的平行四边形是 .注意：矩形的定义可作为判定.证明方法：（1）先证明一个四边形是平行四边形，再证明它有一个角是直角； （2）先证明一个四边形是平行四边形，再证明它的对角线相等.直角直角相等且互相平分矩形矩形2.菱形定义:有一组邻边 的平行四边形是菱形.性质: （1）菱形的四条边 ； （2）

4、菱形的对角线 ，并且每一条对角线 .注意：（1）菱形的定义可作为性质； （2）平行四边形的所有性质菱形都具备； （3）菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，有 条对称轴.判定：（1）四条边都相等的四边形是 ； （2）对角线互相垂直的平行四边形是 .相等相等互相垂直平分平分一组对角两菱形菱形注意：（1）菱形的定义可作为判定； （2）对角线平分一组对角的平行四边形是菱形.证明方法：（1）先证明一个四边形是平行四边形，再证明它的一组邻边相等或者对 角线互相垂直； （2）可以证明一个四边形的四条边相等.面积：（1）可用平行四边形的面积计算公式，即底高； （2）两条对角线乘积的一半，即若菱形的两条对角线

5、长为a和b，则3.正方形定义：有一组邻边 且有一个角是 的平行四边形叫做正方形.注意：（1）正方形既是有一组邻边相等的 ，又是有一个角是直角的 ； （2）正方形不仅是特殊的平行四边形，又是特殊的矩形、菱形.正方形、矩形、 菱形都是特殊的平行四边形，它们的包含关系如下：性质：（1）正方形的四条边都 ，四个角都是 ； （2）正方形的对角线 ，并且互相 ，每一条对角线 .注意：（1）平行四边形、矩形和菱形的所有性质正方形都具备； （2）正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，有四条对称轴，对称中心是 对角线的交点.相等直角矩形菱形相等直角相等垂直平分平分一组对角判定：（1）有一组邻边相等的矩形是正方

6、形； （2）有一个角是直角的菱形是正方形； （3）四条边都相等，四个角都相等的四边形是正方形； （4）对角线互相垂直的矩形是正方形； （5）对角线相等的菱形是正方形； （6）对角线相等，且互相垂直平分的四边形是正方形.注意：正方形的定义可作为判定.证明方法：判定一个四边形是正方形可以先判定它是一个平行四边形，再判定它是矩 形或是菱形，然后再证明它是正方形. 类型之一 菱形的性质与判定 2010益阳如图32-4，在菱形ABCD中，A=60,AB=4,O为对角线BD 的中点，过O点作OEAB，垂足为E求ABD 的度数； (2)求线段BE的长 【点悟】菱形的四条边相等，有一个角是60的菱形可以被一条

7、对角线分成两个 等边三角形.【解析】（1）由菱形四条边相等可得等边三角形ABD； （2）由（1）知EB= 解：（1）在菱形ABCD中,AB=AD，A=60,ABD为等边三角形,ABD=60. （2）由（1）可知BD=AB=4.又O为BD的中点,OB=2. 又OEAB,ABD=60，BOE=30,BE= 2011济宁如图32-5，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作直线EFBD，分别交AD、BC于点E和点F，求证：四边形BEDF是菱形.证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，OB=OD， EDO=FBO，OED=OFB，OEDOFB，DE=BF，又DEBF， 四边形B

8、EDF是平行四边形.EFBD，四边形BEDF是菱形.【解析】EFBD，只要能证明四边形BEDF是平行四边形即可. 2011宁波如图32-6，在ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作AGDB交CB的延长线于点G（1）求证：DEBF.（2）若G90，求证四边形DEBF是菱形【点悟】证明一个四边形是菱形的一般方法是： （1）四边相等；（2）首先证明是平行四边形，然后证明有一组邻边相等； （3）对角线互相垂直平分；（4）对角线垂直的平行四边形等.类型之二 矩形的性质与判定 2011南京如图32-7，将ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F（1）求证

9、CEFBAF；（2）若AFC=2D，连接AC、BE. 求证：四边形ABEC是矩形图32-7【解析】（1）由AB CE，依“角边角”或“角角边”可证BAFCEF. （2）先证ABEC，后证AE=BC或证ECA=90. 证明：（1）四边形ABCD是平行四边形， BACD，AB=CD.CE=CD， AB=CE.在BFA和CFE中， ABCD，ABF=ECF，BAF=CEF，AB=EC， BAFCEF（ASA）.（2）证法一：CE=BA，ECBA，四边形ABEC是平行四边形， BF=CF，AF=EF.四边形ABCD是平行四边形， ABC=D，又AFC=2D，AFC=2ABC， BAF=ABF，AF=B

10、F，AE=BC，ABEC是矩形. 证法二：AB CE，四边形ABEC是平行四边形. 四边形ABCD是平行四边形，ADBC，D=BCE， 又AFC=2D，AFC=2BCE，FEC=FCE， D=AEC，AD=AE，又EC=CD，CAED，即ACE=90. ABEC是矩形. 2011遵义把一张矩形ABCD纸片按如图32-8方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合（E、F两点均在BD上），折痕分别为BH、DG.（1）求证：BHEDGF；（2）若AB6 cm，BC8 cm，求线段FG的长.解：（1）在矩形ABCD中，AB=CD,ABCD，A=C=90，ABD=CDB,由翻折得，A=HEB, C=GF

11、D，ABD=2HBE=CDB=2GDF.在BHE和DGF中， （2）设FG=x，则CG=x，BG=8x， 在RtBCD中，C=90，BF=BDCD=106=4， 在RtBFG中，BFG=90，BG2=BF2+FG2， 则（8x）2=42+x2，解得x=3.答：线段FG的长为3 cm.【点悟】证明一个四边形是矩形，一般常用的方法是： （1）有三个角是直角的四边形； （2）有一个角是直角的平行四边形； （3）对角线相等的平行四边形等.类型之三 正方形的性质与判定 2012预测题如图32-9，四边形ABCD是正方形，点G是BC上任意一点，DEAG于E，BFDE，交AG于F.求证：AF-BF=EF.证

12、明：四边形ABCD是正方形， AD=AB，BAD=90， DEAG，DEG=AED=90,ADE+DAE=90, 又BAF+DAE=BAD=90，ADE=BAF. BFDE，AFB=DEG=AED=90， ABFDAE，BF=AE，故AF-BF=AF-AE=EF. 2011潍坊已知正方形ABCD的边长为a，两条对角线AC、BD相交于点O，P是射线AB上任意一点，过P点分别做直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F.（1）如图32-10（1）， 当P点在线段AB上时， 求PE+PF的值；（2）如图32-10（2）， 当P点在线段AB的延长线上时， 求PEPF的值.【预测理由】正方形含有很多相

13、等的边和角，从小学一直贯穿到现在，在题目的形式上 有更深更广地挖掘，属于中考必考内容.解：（1）四边形ABCD为正方形，ACBD. PFBD，PF/AC，同理PEBD.四边形PFOE为矩形，故PE=OF. 又PBF=45，PF=BF.PE+PF=OF+FB=OB=a cos45= （2）四边形ABCD为正方形，ACBD. PFBD，PF/AC，同理PE/BD.四边形PFOE为矩形，故PE=OF. 又PBF=45，PF=BF.PEPF=OFBF= OB=a cos45= . 【点悟】正方形中含有很多相等的边和角，这些相等的边和角是证明全等的有力工具. 类型之四 矩形、菱形、正方形等的综合运用 2

14、011肇庆如图32-11，矩形ABCD的对角线相交于点O，DEAC，CEBD.（1）求证：四边形OCED是菱形；（2）若ACB=30，菱形OCED的面积为83，求AC的长.【解析】解：（1）证明：DEOC，CEOD，四边形OCED是平行四边形.四边形ABCD是矩形，AO=OC=BO=OD，四边形OCED是菱形. （2）ACB=30，DCO=90-30=60. 又OD=OC，OCD是等边三角形.过D作OFOC于F，则CF= 设CF=x，则OC=2x，AC=4x.在RtDFC中，tan 60= ,DF=FCtan 60=3x.2011衢州如图32-12，ABC中，AD是BC边上的中线，过点A作AEBC，过点D作DEAB，DE与AC、AE分别交于点O、点E，连接EC.（1）求证：AD=EC;（2）当BAC=Rt时，求证：四边形ADCE是菱形. 证明：(1)解法1：因为DEAB,AEBC,所以四边形ABDE是平行四边形，所以AEBD且AE=BD，又因为AD是边BC上的中线，所以BD=CD，所以AE平行且等于CD，所以四边形ADCE是平行四边形，所以AD=EC.解法2：DEAB，AEBC，四边形ABDE是平行四边形，B=EDC，AB=DE，又AD是B边BC上的中线，BD=CD，ABDEDC（SAS）AD=EC.(2)方法1：证明：BAC