2.6三角函数在电工学中的应用

1、-PAGE . z.2.6 三角函数在电工学中的应用旧课复习：正弦定理、余弦定理:.;新课引入：1.分析正弦交流电流的变化规律举例我们知道,正弦交流电的电流强度随时间变化的规律为.其中电流强度的最大值,称为幅值(或峰值); SHAPE * MERGEFORMAT 称为角频率(或圆频率),它表示电流变化的快慢,其单位是弧度/秒;称为初相位(或初位相或初相);称为时刻的相位(或位相),它是发电机转子的绕组面在时刻所在位置与定子磁场方向所成的角(图2-12).这里,关于是正弦型函数,因此我们可以利用正弦型函数的图象(正弦波形)和性质来具体分析正弦交流电流随时 间的变化情况.例1 图2-13画出了两种

2、正弦交流电的电流强度随时间变化在一个周期里的图象,其中横坐标表示.根据图2-13,答复以下问题:(1)与的幅值各为多少(2) 与的周期相等吗是多少(3) 与哪个先到达最大值 解: (1)从图2-13中可以看出, 的幅值为30,的幅值为20.(2) 图2-13中,横轴代表,从图中看出, 每增加(减少) , 与函数值都不变.因此与的周期一样,都等于.(3) 从图2-13中看出,当时,到达最大值; 当时, 到达最大值.因此先到达最大值.从图2-13中还可以看出, 的初相位是,的初相位是.根据上述分析,可以写出与的解析表达式如下:,(可以确定的值,这里从略)正弦交流电完成一次周期性变化所需的时间称为周

3、期(单位:秒,记作s),用表示,根据正弦型函数的周期性,:单位时间交流电完成周期性变化的次数称为频率(单位:赫兹,记作Hz),用表示.显然,从而.两个同频率的交流电的相位角或初相位角之差,称为相位差.以上电流与是两个同频正弦电流,它们的相位差是.我们称比的相位超前,或者说比的相位滞后.如上所说, 比先到达最大值.例2 正弦交流电流(安)与时间(秒)的函数关系为().试指出它的角频率、频率、周期、幅值及初相位各是多少设秒、秒时电流的瞬时值分别为、,试比拟与哪个较大试画出它在一个周期的简图,并指出电流在这个周期的变化情况.解:(1)角频率(rad/s),频率(Hz),周期(s),幅值(A),初相位

4、(rad).(2)当时,(-号表示流向),所以(安);当时, ,所以(安).因此, 比大.(3) 列表=*=()描点画图(图2-14)从图2-14看出,在前半个周期,当时间从0,0025秒连续变化到0.0075秒时,电流从0安逐渐增大到幅值30安; 当时间从0,0075秒连续变化到0.0125秒时,电流从30安逐渐减小到幅值0安. 在后半个周期,电流的变化规律与前半个周期的情形相似,但流向相反.例3 图2-15是一个正弦交流电流的图象,根据图象求出它的周期、频率、幅值和初相位，并写出电流关于时间的函数关系式.解: 根据图象可知, 电流的周期(s).所以 频率(Hz). 角频率(rad/s)由图

5、又知, 幅值(A),起点坐标为(-0.05,0).由正弦型函数起点坐标的求法,有 图2-15 于是, 初相(rad)因此,该正弦交流电的函数关系式为().正弦交流电的电压随时间变化的规律为，其中是电压的最大值,称为幅值(或峰值),同样,称为角频率(或圆频率),称为初相位(或初相),称为时刻的相位.类似地,正弦电压的周期(单位:s),频率(单位:Hz),(单位:rad/s)在电工学中, 正弦交流电的电流和电压都简称为正弦量.显然,正弦量由幅值、角频率和初相位唯一确定.课堂练习：习题2.6 的1、2、3题请学生答复2.求两个同频率的正弦交流电合成举例在电工学里,对交流电路的分析过程中,经常遇到对同

6、频率的正弦量求和的运算,称之为同频率正弦量的合成.例如:设有两个同频率的正弦电流(单位:A),把它们合成,即又称为电流与的总电流.例4 求两个同频率的正弦电流与相加的总电流.解: 设与的合成电流为,则,其中.因此合成电流也是正弦电流,且与、同频率.由上可见,用和角的正弦公式能求出两个同频率的正弦量的合成结果,但计算非常繁琐.下面将给出一种较简单的解法.根据2.3节讨论的结果可知,正弦量除了用正弦型函数或正弦波形表示之外,还可以用旋转向量来表示.画旋转向量来表示正弦量,是繁琐的.在电工学中,通常只用初始位置()的向量来表示一个正弦量,它的长度等于正弦量的幅值,它与横轴正方向间的夹角等于正弦量的初

7、相位.但是我们应该具有这样的概念:这个向量是以正弦量的角频率作逆时针方向旋转的,它在纵轴上的投影(纵坐标)表示正弦量的瞬时值.在实际问题中我们所涉及的往往是正弦量的有效值.因此为了方便起见,常使向量的长度等于正弦量的有效值.显然,这时它在纵轴上的投影就不能代表正弦量的瞬时值了. 由电工学可知,正弦电流和电压的有效值与幅值的换算关系为:,.为了与物理向量(例如电场力、电场强度等)区别,表示随时间而变化的正弦量的向量我们称为相量,并在所注文字上方打一. 例如电流和电压的幅值相量分别记作和,它们的有效值相量分别记作和.由于正弦量由幅值、角频率和初相位唯一确定,因此正弦电流相量. 对应正弦电压相量.

8、对应按照各个同频率的正弦量的幅值(或有效值)和初相位画出假设干个相量的图形称为相量图. 由2.3节讨论亦可知, 两个同频率的正弦量相加(一样物理量相加),其结果是一个同频率的正弦量,它们的相量之和,就是它们的和的相量.因此,我们可以利用两个同频率的正弦量(一样物理量)的相量图,采用平行四边形法则求它们的和相量, 再通过解三角形便可求得这两个同频率的正弦量之和的幅值和初相位,从而得出两个同频率的正弦量的合成结果.例5 两同频率的正弦电流()安和()安,求.解: 先作和的幅值相量和,以 该两相量为邻边作一平行四边形, 平行四边形的对角线即为两正弦电流之和的幅值相量(图2-16).因为和的相位差恰为

9、,所以的幅值 而的初相位 , 所以 ()安. 例6 在图2-17的电路中,设 ()=()安, ()=()安, 试求总电流. 解: 根据表示正弦量的几种方法对此题分 别进展计算如下: (1)用三角函数式求解 ()+() ()+() =()+()设 ()=, ,因此总电流的幅值为,电流的初相位为.将此题中的安、安、代入，则得安，.故得 ()安.(2)用正弦波形求解先作出表示电流和的正弦波形,而后将两波形的纵坐标相加,即得总电流的正弦波形,从此波形上便可量出的幅值和初相位(图2-18).(3)用相量图求解 先作出表示电流和的幅值相量和,而后以和为邻边作一平行四 边形,其对角线即为总电流的幅值相量,

10、它的长度即为幅值,它与横轴正的夹角即为初相位(图2-19或图2-18缩小版).从向量图上可以量出的幅值和初相.4用相量图通过解三角形求解 先作出表示电流和的幅值相量和,而后以和为邻边作一平行四边形,其对角线即为总电流的幅值相量,它的长度即为幅值,它与横轴正方向间的夹角即为初相位(图2-19).因为与的相位差(-)= 所以,由余弦定理得(),因此, 的幅值安;又根据正弦定理,有()=,所以的初相位.于是 ()安. 最后指出,如果用相量表示正弦交流电,则正弦交流电路中的希尔荷夫定律具有相量形式.本堂课作业：习题2.6 的4、5题本堂课归纳小结：正弦交流电的电流强度及电压对时间的函数关系分别为:() ();() (),它们都是正弦型函数.掌握了正弦型函数图象和性质,也就掌握了正弦交流电随时间变化的 在电工学中, 正弦交流电的电流和电压都简称为正弦量, 正弦量可以用相量来表示.有正弦电流幅值相量. 对应