等差与等比数列专题复习

1、第 页共17页第 页共17页等差与等比数列专题复习等差与等比数列是最重要且应用广泛的有通项公式的数列，在高考中占有重要地位，成为 每年必考的重点内容，这部分内容的基础知识有：等差、等比数列的定义及通项公式，前几项 和公式以及等差、等比数列的性质，在解决有关等差，等比数列问题时，要注意运用方程的思 想和函数思想以及整体的观点，培养分析问题与解决问题的能力。一、知识结构与要点：等差、等比数列的性质推广基本概念-等比数列-基本性质-二、典型例题L定义:且an通项例1 在等差数列中a6 a9解法an a1a6 a9 a122(2ai 19d)a15202ai 19d 10解法二：由m n_q!n2前n

2、项和Snan 1an 1 an1等比中项:qnmaw(q 1)E1 q)L与首末两端等距离的两项之积相等a1anSn当a1aia2an 1ai an i 1am an a p aq(n l)da be成等比数列成等比，若n成,nk成等差 贝V ai,an2,.ank。或ai qb2 ac成等比a1 。时 an为递增数列 0q 1或.。时an为递减数列0q 1q0时q=1时Sl2 S155d) (ai那么S20q am an a p aq an为摆动数 列 an为常数数 列20 求 S2o8d) (ai 11d) (ai 14d)10(2ai 19d)100ae a9 ai2 ai5 2(ae

3、ai5)2(ai a2o)20点评：在等差数列中，由条件不能具体求出ai和d，但可以求出ai与d的组合式.，而所求的量往往可以用这个组合式表示，那么用“整体代值”的方法将值求出(2)利用：m n p q am an ap aq将所求量化为已知量也是“整体代值”的思想，它比用ai和d表示更简捷。例2 .等差数列前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为 解法一用方程的思想，由条件知./a1 amm 302(ai am)m 60 a2m)2m wo(ai a2m)m 100 2am a2m a3m也成等数列3m .3S3my叫 a3m)尹2a2m ag)由，2.得m(ai a2m am

4、)140代人-1402102解：在等差数列中由性质知 SmS2m Sm S3m S2m成等差数列S3m S2m 2( S2m Sm SmS3m 3(S2m Sm) 210解法三等差数列an中Sn a cnn(n 1)d俎a(n 1) 2n2即屋斗为以ai为首项公差为一的等差数列依题意条件知 n 122 Em S2m ,巾m 2m 3mS3m 3(S2m Sm)2m 3m m210点评：三种解法从不同角度反映等差数列所具有的特性，运用方程的方法、性质或构造新的等差数列都 是数列中解决问题的常用方法且有价值，对解决某些问题极为方便。例3在等比数列中Ss 93 a2例a4 as ci6 186求例其

5、中首项5元比是关键,分析：在等比数列中对于a (q n an Sn五个量一般“知三求二” 因此解法32 S3a4 a5a 6186s5 ae ai186a6ai 93ai q5ai 93又S5ai aiq593a (a ( 93 c93 q 2ai 3则asai q7 384解法S5 93 而a2 a3a4 a5a6 (ai a2 as a4 as) q 1862 代入a1(1q5) 931 q故 as ai q7384点评：根据等比数列定义运用方程的方法解决数列问题常用解法二更为简捷。例4 在等差数列 an 中 S936 Sn104等比数列bn中b5解:S13之 d= 2 aia5b7S94

6、。再求出a5a7但计算较繁，运用aia7贝廿b6ai a 9X42 9)as9 36as 4an计算较为方便。a13132a713104a736 S13104列方程，联立解bsb7as a7 32b)2 324.3S912S120 S13 o点评：此题也可以把 ai和d看成两个未知数，通过 例5 设等差数列an前n项和为Sn已知a3(1)求公差d的范围(2)指出S1S2S12中哪一个值最大，并说明理由解：（1）由题义有12ai 12S12S132d12ai13a11211211d0213(131)d 0则代入上式有247d 0(2 Sna(n1 n(12 2d) 2n(n1)d12(5d0 a

7、 1数列an是首项5元比都为a的等比数歹U,bn an lg an (n N)如果数列bn中每一项总小于它后面的项,求 a的取值范围解：由已知有an a an 1所以 bn an Igann . n a Igan .na Ig因此由题意对任意nbn bn 1成立即nana /lg (n1)an1 aig即 an lga(n1)an对任 N总成立,知an1)an1)n即(i)由i知a1一为递增的函数n 1所以）min故a的取值范围为1a 或 a1点评：这是道数列与不等式综合的题目，既含有字母分类讨论又要运用极限的思想和函数最值的观点来解决问题，同时还要判断函数的单调性，具有一定的综合 性。的基本

8、方法和技巧.求和的最基本最重要的方法1、等差数列求和公式：Snna2、等比数列求和公式：Sn d（1型）(q1)(q1)数列求和的基本方法和技巧数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础在高考和各种数学竞赛中都占有 重要的地位.数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部 分数列的求和都需要一定的技巧 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列n（n 1）d TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark233 o Current Document ) n An(n Sn k

9、21)1)(2n1k 14n、Sn k2 h(nk1 65 snxn的前n项和.123例1已知Iog3x，求XXxlog 23解：由 log 3 x 1log 3X log 3 2由等比数列求和公式得log 23Sn X X2 X3xn （利用常用公 式）1 1W户1 121二1 2n例 2设 S=1+2+3+,+n, n N,求 f(n)&1 2n2n 1 n 122第7页共17页1 2n2n 1 n 122第7页共17页解：由等差数列求和公式得_L n(n 1), 2Sn5 1）（n 2）（利用常用公式）2Snf(门)(n 32)Sm2n 34 n64 n64 二3450 50n= 8 时

10、,50二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列a n bn的前n项和,其中分别是等差数列和等比数列例3求和:Sn 13x5x2 7x3(2n 1)xn1解：由题可知,(2n1)xnD的通项是等差数列2n 1的通项与等比数列X的通项之积设 xSn1x3x2 5x3 7x4(2n1)xn.（设制错位）一得（1X)Sn 1 2x2x32x42xn1(2n1）Xn （错位相减）再利用等比数列的求和公式得:x)s(2n1)xnSn(2n 1)x(2n 1)xn(1 x)2X)例4求数列-2尹前n项的和.解：由题可知，军的通项是等差数列(2n)的通项与等比

11、数列2n）的通项之设Sn2n2n（设制错 位）一得(1；)Sn2 222222 23242n 2 il（错位相减）第 页共17页第 页共17页、反序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列(反序)，再把它与原数列相加，就可以得到n个(印an) .例5求 C3C： 5C：(2n 1)C： (n 1)2 n证：1)C；证明： 设 Sn c： 3C： 5Cn2 (2n 把式右边倒转过来得Sn (2n1)C；(2n 1)Cnn13C： Co (反序)又由 CmC 1m可得 Sn(2n1)C (2n1)C；+得2Sn (2n 2)(C： c：Sn(n 1) 2nc：

12、 1 C： )2(n 1)2n (反序相加)例6求sin21 sin 22 解：设 S sin21 sin22sin2 3 sin23sin2 88 sin 89 的值sin2 88 sin2 89 将式右边反序得22S sin 89 sin 88又因为 sin x cos(902222 S (sin 1 cos 1 ) (sin 2non、 ，sin 3 sin 2 sin 1 (反序)2 2x),sin x cos x 1+得(反序相加)2 小、22cos 2 ) (sin 89 COS 89 ) = 89 / S = 44.5四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将

13、这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可11 1例7求数列的前n项和：11,4 a a解:设Sn(11 11) (- 4)(飞 7)7,，十 3n 2,a1(F3n 2) a将其每一项拆开再重新组合11 1Sn (1 - -2 a a)(1 4 7 3n 2)(分组) an(3n 1)n _（3川（分组求和）2,、1 n a(3n1)n a (3n1)na 1例8求数列n(n+1)(2n+1)的前n项和.设 ak k(k 1)(2k1)2k3 3k2Snk(k1)(2k1)=k 1n（2 k3 3k2 k）k 1将其每一项拆开再重新组合得n2 k3 3

14、k2k 1332(1 2n3) 3(1222n2) (1 2n)n2(n 1)2n(n 1)(2n22n(n 1)2(n 2)五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的通项分解(裂项)如：o J cl(1)an f(n 1) f(n)2)tan(n 1) tan ncos n cos(n 1)an(4) an(2n)21 _L(_L_Ln(n 1) n n 1(2n 1)(2n 1)2 2n 1 2n 111n(n1)(n 2) 2n(n1)(n1)(n 2)(5) ann2ann(n 1)

15、2(n n(n1) n 1 1)21厕S“ 1儿 (n 1)2n例9解:Sn的前n项和.（裂 项）（裂项求 和）(2 .J)(.3,2)C. n n)二10在数列anbn的前n项的和.解：T an bn（裂 项）Sn 8(1数列bn）的前n项和11112）1）（1（裂项求 和）8(1冷8nn 1例11求证:cosO cos1cos1 cos2cos88 cos89cos1sin21解：设ScosO cos1cos1 cos 2cos88 cos89sin1cos n cos(ntan(n 1)tancosOcosI（裂 项）cos1 cos2cos88 cos89（裂项求 和）1(tan 1

16、tan 0 ) (tan 2 sin1tan 1 ) (tan 3 tan 2 )tan 89 tan 88 第 页共17第 页共17原等式成立cosl (tan 89 tanO )= cotl =2sinsin 1sin 11六、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S.例 12求 cos1 + cos2 + cos3 + + cos178 + cos 179 的值.解:设 Sn= cos1 + cos2 + cos3 + + cos178 + cos179cosn cos(180 n)(找特殊性质项)

17、S= (cos1 +cos179 )+(cos2 +cos178 )+(cos3 +cos177。)+ + (cos89 +cos91 0) +cos90。(合并求和)二0例13数列： ai1, a23, as 2, a. 2 a. 1 a，求 S2002.解:设 S2002 =aia2a 2002a。可得由ai1, a23, a32, 3na41, as3, ae2,a71,as 3,a92, aw 1, an3, ai2a6k 1a6k23, a6k 3a6k4a6k53, a6k6a6k1 a6ka6k3a6k4a(5k 5 a6k6（找特殊性质项）Se002 =a2as=31999a6

18、k1=aia2asa6)(a7a2002（合并求和）96k 1a6k 2a6k6）(ai 993a2000a6k23199431998)32001 32002a 19993200032001 a 2002a6k3 a6k4例14在各项均为正数的等比数列中,若 aae9,求 log 3ai log3 a2log 3aio 的值.解：设 Sn log3 ailog 3a2log 3 a10由等比数列的性质m n p q aman apaq （找特殊性质项）1111第 页共17第 页共17页(log 3 a5 10g3 a6)（合并求和）和对数的运算性质loga M loga N log a M N

19、得Sn (log 3 ai log Q ain) (log 3 a2 log 3 a， J I u(log3 ai aio) Qog 3 a2 aJ (log 3 as a6) =log 3 9 log 3 9 log 3 9=10七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前例 15求 1 11n项和，是一个重要的方法111111 1之和.n个1解：由于111k个1999k个9 g(10k1)（找通项及特征）1 11 111111n个=1(101 1)9(1021) 91)1I. (10- 1)zO-T、（分组求9(1

20、01102 103n、10)1(11)1 10(10n 1) n10 19n)例16已知数列时：a(n1)( n 3),求(n n 11)(an3n 1 )的值.解: (n 1)(an3n 1)8(n1)( n 1)(n3)(n 2)( n 4)1（找通项及特征）81(n 2)(n4) (n(设制分组)3)( n 4)（裂项）(n 1)(an annimn2n4 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark402 o Current Document 11 、 c 113=4 (-)8 HYPERLINK l bookmark406 o Current Document

21、 3 443等差与等比数列1 （北京）已知数列an 中,a,n（n N），则 lim Sn 的值为（ n112，为数列的前n项和，且Sn与二的一个等比中项为/A332(A)( B) (C)422 (黄冈)在等差数列an中,ai + a2(D) 13+ aso= 200，asi + a52+ + aioo= 2700，贝 V ai 等于(+(A)1221(B)21.5(C) 20.5(D)- 202an (0 an )73（合肥）数列a n满足an ；an 1 ( an 1) TOC o 1-5 h z 、6、531(A)-(B)(C)3(D)-77774 （北京）在数列an中,ai1,aman

22、1，则此数列前4项之和为（）(A) o (B) 1。一（D）5 （天津）在等差数列an中，n ，公差dvO，前n项和是Sn，则有（）(A) nan Sn naj (B)najSn nan( C)Sn naj ( D)Snnan6（北京）等差数列an中，已知a1A、 4849C 501，a+ as=4, a n=33，贝 U n 为() 3D、517、如果数列满足比数列,则 二是首项为1，公比为一的等，则9、若数列满足，且，则8、已知数的值依次是的值为10 （天津）设数列是等差数列且 aa4+a4a6+a6a=1, aa4a6 .，则 aio= 3n6111、在等差数列 an中，ai=-,第10

23、项开始比1大，则公差d的取值范围是.-512、（本题满分14分）已知函数 f （x）= 3x+ 3, x , 1 3求f（x）的反函数y=g （x）；在数列an中，ai=1, a-=g （an, a3=g （a-）,-an=g （an 1） 3求证：数列an4是等比数列.解关于n的不等式：an -第 页共17页第 页共17页13、本小题满分12分）2已知数列an的首项aa （a是常数），an2an 1 n 4n 2（ n N,n 2）.an是否可能是等差数列若可能，求出an的通项公式；若不可能，说明理由；（n）设bb，bn an n2（ n N,n 2），&为数列bn的前n项和，且&是等比数列，求实数a、b满足的条件.等差与等比数列答案19.10210.5 TOC o 1-5 h z .D 2.C 3.B 4.A5.A 6.C7.8.183. V (75252、解：因为函数f(x)=.3x+3, xJ的值域