不等式-算术平均数与几何平均数（一）

1、PAGE PAGE 14第六章不等式第四课时6.2.1算术平均数与几何平均数（一）教学目标（一）教学知识点1重要不等式：若a，bR，那么a2b22ab（当且仅当ab时取“”号）2算术平均数、几何平均数及它们的关系（二）能力训练要求1学会推导并掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”这个重要定理2理解这个定理的几何意义，并掌握定理中的不等号“”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等3强化训练探究性学习（三）德育渗透目标通过掌握公式的结构特点，运用公式的适当变形，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的创新精神，进一步加强学生的实践能力渗透数学思想方法，激励学生去取得成功教学重点1重要

2、不等式：如果a、bR，那么a2b22ab（当且仅当ab时取“”号）2如果a、b是正数，则为a、b的算术平均数，是a、b的几何平均数，且有“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”即定理：如果a、b是正数，那么（当且仅当ab时取“”号）3上面两个公式都带有等号的不等式，其中的“当且仅当时取号”的含义是：当ab时取等号，即ab；仅当ab时取等号，即ab综合起来，就是ab是的充要条件教学难点1a2b22ab和成立的条件不相同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数2这两个公式还可以变形用来解决有关问题教学方法1启发式教学法2激励探索讨论发现教具准备幻灯片两张第一张：记作621A1差值

3、比较法：（1）依据：abab0；abab0；abab0（2）步骤：作差变形判断差值符号得出结论（3）用途：比较两个实数的大小；证明不等式的性质；证明不等式和解不等式第二张：记作621B1不等式的基本性质：（1）反对称性：abba；（2）传递性：ab，bcac；（3）可加性：abacbc；（4）可积性：ab，c0acbc， ab，c0acbc；（5）加法法则： ab，cdacbd；（6）乘法法则：ab0，cd0acbd；（7）乘方法则： ab0anbn(nN)；（8）开方法则： ab0(nN)；2应用：已知a、b为正实数，m、nN且mn，求证：ambmamnbnanbmn教学过程课题导入不等式在

4、生产实践和相关的学科中应用非常广泛，又是学习高等数学的重要工具，所以不等式是高考数学命题的重点我们有必要重新回顾“差值”比较法、不等式的基本性质，以便在今后学习中得以巩固和灵活运用（一）打出幻灯片621A，请同学们回答：师“差值”比较法解决问题的一般步骤是什么？主要解决哪些问题？通过师生积极对话，简要作一下概括，打出幻灯片621A，使学生明确：“差值”比较法的三个重要方面，即依据是：abab0；abab0；abab0；一般步骤是：作差变形判断差值符号得出结论；主要用途：两个实数大小的比较；不等式性质的证明；证明不等式及解不等式（二）不等式性质巩固及应用（幻灯片621B）课堂上，充分发挥师生的双

5、边活动，共同复习不等式的基本性质，共同归纳，打出幻灯片621B，使学生掌握下列不等式的基本性质；（1）反对称性abba；（2）传递性ab，bcac；（3）可加性abacbc；（4）可积性ab，c0acbc；ab，c0acbc；（5）加法法则ab，cdacbd；（6）乘法法则ab0，cd0acbd；（7）乘方法则ab0anbn(nN)；（8）开方法则ab0(nN)为更好地巩固不等式的性质，在教师引导下让学生做如下练习：已知a、b为正实数，m、nN*且mn，求证：ambmamnbnanbmn师本题考查同学们正确地理解和运用不等式的性质在运用不等式的性质时，多观察、多思考，考虑问题一定要全面细致请同

6、学们自己完成本题证明过程生(ambm)(amnbnanbmn) (amamnbn)(bmanbmn) amn(anbn)bmn(bnan) (amnbmn)(anbn)，mn1，a0，b0，当ab0时，则amnbmn，anbn，(amnbmn)(anbn)0，当ab0时，则(amnbmn)(anbn)0，当ba0时，则bmnamn，bnan，(amnbmn)(anbn)0综合上所述，当a、b为正实数，m、nN且mn时，（amnbmn）(anbn)0，即ambmamnbnanbmn下面，我们利用不等式的性质，研究推导下列重要的不等式讲授新课重要不等式：如果a，bR，那么a2b22ab（当且仅当a

7、b时取“”号）师请同学们利用我们已学过不等式性质的基础上，来证明这个重要不等式生a2b22aba22abb2(ab)2，a，bR，当ab时，ab0，即a2b22ab当ab时，ab0，(ab)20即a2b22ab综合上所述，若a，bR，则a2b22ab（当且仅当ab时取“”号）师生共析很明显，在此不等式中：aba2b22ab即当ab时取等号，其含义是aba2b22ab；仅当ab时取等号，其含义是a2b22abab定理如果a，b是正数，那么（当且仅当ab时取“”号）师本定理既可运用不等式性质完成证明，又可运用上述重要不等式：“若a，bR，则a2b22ab（当且仅当ab时取“”号）“为依据完成证明（

8、把同学们分成两组，分别从两种思路中完成证题过程）生甲a，b为正数，a0，b0a，b，当ab即时，0，有，当ab即时，0，有，综上所述，当a、b为正数时，有（当且仅当ab时取“”号）生乙a，b是正数，2，ab2显然，当且仅当ab时，即评述：1如果把看作是正数a、b的等差中顶，看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项2在数学中，我们称为a、b的算术平均数，称为a、b的几何平均数本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数下面，我们给出定理：“如果a、b是正数，那么（当且仅当ab时取“”号）”的一种几何解释（如图所示）以ab长的线段为

9、直径作圆，在直径AB上取点C，使ACa，CBb过点C作垂直于直径AB的弦DD，连接AD、DB，易证RtACDRtDCB，那么CD2CACB即CD这个圆的半径为，显然，它大于或等于CD即，其中当且仅当点C与圆心重合，即ab时，等号成立例题已知(ab)(xy)2(aybx)，求证：2师本题结论中，注意与互为倒数，它们的积为1，可利用公式ab2，但要注意条件a、b为正数故此题应从已知条件出发，经过变形，说明与为正数开始证题（在教师引导，学生积极参与下完成证题过程）生（ab）(xy)2(aybx)，axaybxby2ay2bx，axaybybx0，(axbx)(ayby)0，(ab)(xy)0，即ab

10、与xy同号与均为正数，22（当且仅当时取“”号），2师生共析我们在运用重要不等式a2b22ab时，只要求a、b为实数就可以了，而运用定理：时，必须使a、b满足同为正数本题通过对已知条件变形（恰当地因式分解），从讨论因式乘积的符号来判断与是正还是负，是我们今后解题中常用的方法课堂练习1已知a、b、c都是正数，求证：(ab)(bc)(ca)8abc分析：地于此类题目，选择定理：（a0，b0）灵活变形，可求得结果：答案：a，b，c都是正数，ab20，bc20，ca20，(ab)(bc)(ca)222=8abc(ab)(bc)(ca)8abc2已知x、y都是正数，求证：（1）2；（2）（xy）(x2y

11、2)(x3y3)8x3y3分析：对运用理：时，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质（把握好每条性质成立的条件），进行变形答案：x，y都是正数，0，0，x20，y20，x30，y30（1）22即2（2）xy20，x2y220 x3y320，（xy）(x2y2)(x3y3)2228x3y3即（xy）(x2y2)(x3y3)8x3y33求证：（）2分析：利用完全平方公式，结合重要不等式a2b22ab，恰当变形，是证明本题的关键答案：a2b22ab，2（a2b2）a2b22ab(ab)2，2（a2b2）（ab）2，不等式两边同除以4，得()2，即()2探究性学习点击高考（本部分的设计坚持从“算术平

12、均数与几何平均数”这一聚焦性的问题出发，通过对给定题目题设条件的不断变化，创设新的问题情境，引导学生自主思考、自主探究、自主创新，充分发挥学生的主体性，充分激发学生探究问题的动机和兴趣，在探究过程中系统地掌握知识、开发智力、培养能力和挖掘潜能以便适应将来高考中以数学思想方法考查考生的数学素养、聪明程度、素质和潜能（注：为节省时间，本部分可借助多媒体讲件完成）题目：某校办工厂有毁坏的房屋一幢，留有一面14m的旧墙，现准备利用这面墙的一段为面墙，建造平面图形为矩形且面积为126m2的厂房（不管墙高），工程造价是：（1）修1m旧墙费用是造1m新墙费用的25%；（2）拆去1m旧墙用所得材料来建1m新墙

13、的费用是建1m新墙费用的50%问如何利用旧墙才能使建墙费用最低？师看上面的问题，同学们如何解决？（学生探索讨论分析归纳）生从题设计条件中抽象出数量关系，建立解题的目标函数（即建立数学模型），然后用二元均值不等式求得最小值师同学们分析得很好！哪位同学能勇敢地在黑板上写出解答过程呢？（问题激励，语言激励，生解答，师欣赏）生甲设保留旧墙x(m)，即拆去旧墙14x(m)修新墙若设建1m新墙费用为a元，则修旧墙的费用为y125%axax，拆旧墙建新墙的费用为y2(14x)50%aa(14x)；建新墙的费用为：y3(2x14)a于是，所需要的总费用为yy1y2y3(x)7a2a35a，当且仅当x，即x12

14、时上式中“”成立故保留12m旧墙时总费用为最低师很好!我们学习公式的目的是应用它能解决问题本题中我们巧用了“ab2（a0，b0）”达到解题目的请同学们想一想：“ab2（a0，b0）”还有些什么变形形式呢？生乙针对二元均值不等式，还有如下变形值得我们学习：ab2(a0，b0)；（a0，b0）；ab()2(a0，b0)；a2b22ab(a，bR)；ab(a，bR)(以上公式变形对比记忆，区别异同)2（a0，b0）师棒极了！上述不等式及其变形，在解答最值型实际应用题中有着十分广泛的应用同学们能编几道运用上述不等式及其变形求解实际应用题的例子吗？生（齐）能，我们自己编！师好！我相信同学们一定会做得很出

15、色！问题再次激励同学们去积极探索、发现、讨论、归纳，师巡视、欣赏，在启发、鼓励下帮助个别学生解决问题经同学们积极探索、讨论后，把具有代表性的问题（学生的创新思维进一步得到升华）摘录下来供大家在交流中得到解决生内我编的题目如下：某种商品分两次提价，有三种提价方案方案甲：第一次提价p%，第二次提价q%，(其中p0，q0)；方案乙：第一次提价q%，第二次提价p%；方案丙：第一次提价%，第二次提价%，试比较三种提价方案中，哪一种提价多，哪一种提价少，并请A小组同学说明理由（经全班同学积极探究，A小组同学信心百倍，做出解答）生（A小组）设某种商品提价前的人格为a，则两次提价后的价格分别为：方案甲：a(1

16、p%)(1q%)；方案乙：a(1q%)(1p%)；方案丙：a(1%)2当pq时，三种方案提价一样多；当pq时，由二元均值不等式，得（1p%）(1q%)1%)2所以，方案丙提价多，甲、乙提价一样多，都比丙小生（B小组）我们组编的题目是：某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每m长造价为40元，两侧墙砌砖，每m长造价为45元，顶部每m2造价为20元，试求：（1）仓库底面积S的最大允许值是多少？（2）为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？我们B组同学邀请E同学回答生E设铁栅长为xm，一堵砖墙长为ym，则有Sxy由题意可

17、知：40 x245y20 xy3200， 320040 x90y20 xy应用二元均值不等式，得3200220 xy12020 xy12020SS6160即（16）（10）0，160，100，从而S100因而S的最大允许值是100m2，取得此最大值的条件是40 x90y，而xy100，由此解得x15，即铁栅的长应是15m师同学们回答得非常好！从你们举的例子来看，注重了数学的现实性与时代性（积极培养同学们学数学、用数学的思想意识），关注社会，从平时生活做起，加强实践能力培养，建立数学模型，进而解决实际生活问题（这种数学思想方法的探究，正是近年来高考中的热点话题）（同学们创设的其他问题，可作为课后

18、作业再次激励学生去探索）课时小结本节课，我们学习了重要不等式a2b22ab；两正数a、b的算术平均数（），几何平均数（）及它们的关系（）它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具（下一节我们将学习它们的应用）我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab，ab()2课后作业（一）课本P11习题622、3（二）1预习内容：课本P1011例1，例22预习提纲：通过预习例1、例2，使学生明确基本不等式a2b22ab； (a0，b0)的应用主要体现在两个方面：其一，是用于证明不等式其二，是用于求一些函数的最值：设x、y都

19、是正数，（1）若xyp是一个定值，当且仅当“xy”时，xy有最小值2；（2）若xyS是一个定值，当且仅当“xy”时，xy有最大值S2板书设计621算术平均数与几何平均数（一）一、重要不等式课堂练习课时小结a2b22ab二、定理若a0，b0，课后作业则例题备课资料一、参考例题例1若ab0，试比较a，b的大小，并利用不等号将它们连接起来分析：为了探索上述各式之间的大小关系，我们先用特殊值来进行分析和猜想，在此基础上再进行一般性的证明观察与猜想：令a4，b3，则a4；当ab时，上述各式都相等，故有猜想：ab解：ab0（1）a；（2）；（3）；（4），（）2（）2ab0即（5）b0即b综上所述，ab评

20、述：1对事物的观察和猜想是一种探索问题及找到方向的有效方法，本题为了分析各个式子的大小关系，通过特殊值的代入进行观察，从而发现一般性的结论，这样为进一步论证提供了方向2对于（4）也可以从基本不等式进行推导：这里，经历了一次利用基本不等式进行论证的过程3本题所涉及到的一组不等式是重要不等式，除去我们已知的两个正数a、b的算术平均数（）和几何平均数（）外，这里，和分别叫正数a、b的平方平均数和调和平均数对于这四种平均数有如下定理：两个正数的平方平均数不小于它们的算术平均数，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，它们的几何平均数不小于它们的调和平均数，即若a0，b0，则有（当且仅当ab时取“”号）

21、例2已知a0，b0，c0，且abc1，求证：（1）（；（2）a2b2c2；（3）；（4）分析：在不等式证明中，n个正数的和为1，常常作为条件出现在题设，这时用好这个“1”常常成为解题的关键证明：（1）abc1且a0，b0，c0，；三式相乘，得(即（8（2）a0，b0，c0且abc1，1（abc）2a2b2c22ab2bc2aca2b2c2(a2b2)(b2c2)(a2c2)3(a2b2c2)，a2b2c2（3）a0，b0，c0且abc1，=(a+b+c)2()=2727（4）a0，b0，c0且abc1，(1 即评述：（1）这是一类条件不等式的证明，显然，巧妙地利用已知条件是证明此类题的关键（2）以上各小题在证题过程中，或是将分子的1看作abc，然后拆项，或是将原代数式乘以一个值为1的因式（abc），以利于进一步整理变形，这些常用的“1”的变换技巧很重要（3）本节定理：“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”，可以进一步引申出定理：“n个（n是大于1的整数）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”（见课本P24“阅读材料”）即一般地，对于n个正数a1，a2，an(n2且nN)，则有时取“”号）显然有：若a，b，c为正数，则二、参考练习题1选择题（1）“ab2”是“a0，b0”的（）A充分不必要条