量子力学的基本概念

1、量子力學的基本概念Dept. of Physics, Tunghai Univ.C. T. Shih1Quantization of EnergyBlack body Radiation2Quantization of EnergyBlack body Radiation由古典熱力學導出的結果Whats wrong?3Ultraviolet CatastropheRayleigh-Jean所得到的結果顯示，當波長越短，能量密度越高：當波長趨近於零時，能量密度趨近無窮大，顯然是不可能的事古典力學或熱力學有重大缺陷！4Max Planck: Energy Quantum欲得到上圖中實驗所觀察到的能

2、譜，普朗克發現，輻射的能量必須是不連續的，E=hn，才能避免紫色大禍。h=6.62610-34Js，稱為Planck constant5Atomic StructureRutherford 的原子模型：類似行星繞太陽軌道半徑 r 可以是任意值，能量應為連續，但是原子光譜卻是一些不連續的亮線：（下圖為He光譜）能量是不連續的軌道半徑也是不連續的6電子軌道的崩潰圓周運動為加速度運動根據電磁學，加速度運動中之帶電粒子會放出能量電子逐漸失去能量，最後會掉進原子核裡面所有的物質都不可能存在7Bohr 的原子模型電子只能存在某些特殊的軌道上才是穩定的，在這些軌道上不會放射出電磁波，因此電子也不會損失能量在

3、這個假設下，原子的激發光譜自然而然也是不連續的Energy is quantized8Energy is Not Continuous!古典能量可以是任意實數普朗克的黑體輻射理論對光而言，能量只能是hn的整數倍，其他的值是不允許存在的量子力學所有的能量都是不連續的9Duality of Matter and Wave光具有粒子性：光電效應（photoelectric effect）Ek=hn - 10Duality of Matter and Wave粒子的波動性：de Broglies matter wave l=h/p電子繞射11什麼時候得用到量子力學？能量尺度很小的時候：決定能量不連續性

4、的常數h非常小，所以當討論的能量很高時，這麼小的不連續性大部分都可以忽略（黑體輻射問題顯然是一個例外）空間尺度很小的時候：測不準原理、物質波的特性，只在物體很小的時候才顯得重要通常在研究原子分子，或是更小的尺度時，必須使用量子力學12比較：運動學（Kinetics）運動學為描述物體運動情形的理論古典只要知道位置對時間的關係r(t)就可完全敘述物體的運動。速度即為位置對時間的微分v=dr/dt若知道物體的起始位置與速度，以及任何時間的加速度，可以完全預測物體未來的運動量子物體的運動只能以一波函數y(r,t)來表示其在時間t時出現在位置r時的機率（|y|2）速度無法與位置同時確定（測不準原理DpD

5、xh）只能以機率的方式預測物體未來的運動13比較：動力學（Dynamics）動力學探討物體為何會如此運動古典牛頓三定律力是改變物體運動狀態的原因（給出加速度）量子薛丁格方程式14比較：測量（Measurements）所有的物理量都是測量的結果，不能測量的量沒有意義古典都是純量或向量可由物體的本質（如質量）、運動狀態（位置、速度、加速度）以及與外界的交互作用決定測量本身不改變物體的運動狀態量子每個測量都對應一個算符（operator）例如：能量H，動量測量的期望值為測量的動作會改變物體的運動狀態15The Hydrogen AtomSchrdinger equation:Time-indepen

6、dent Schrdinger equation:16The Hydrogen Atom由於方程式具有球形對稱，其解的形式為：所解得之波函數，必須用一組數字來描述，稱為量子數（quantum numbers）這組量子數為主量子數n，角量子數l，磁量子數m17Wave Functions of Hydrogen Atom氫原子中的電子波函數之解：其中Rnl(r)稱為Laguerre associated polynomialsPlm(cos)稱為Legendre polynomialQlm(q)Fm(f)Ylm(q,f)稱為spherical harmonics18Quantum Numbers

7、n (principal quantum number) = 1,2,3l (orbital quantum number) = 0, 1, 2n-1 for a given nm (magnetic quantum number) = 0, 1, 2, , l for a given ll 代表的是總角動量，m 代表的是角動量在 Z 軸上的分量n,l,m 必須滿足上述條件，Schrdinger 方程式才有解另外還有一個量子數，與電子的自旋有關，為1/2對氫原子（或是單電子離子）而言，只要 n 相同的波函數，其能量都相同19Lower States of Hydrogen Atomn=1, l

8、=0, m=01s state2021222324多電子原子之結構Paulis exclusion principle: 任意兩個電子，不可能佔據完全相同的能態（或波函數），亦即四個量子數 n, l, m, s 不可能完全相同對應於每一組（n, l, m），可以有兩個電子（s=+1/2, -1/2）佔據多電子原子中，電子之間的庫侖排斥力的作用大部分被原子核正電荷的屏蔽效應所排除然而仍然必須考慮spin-orbital耦合等交互作用，會使原本簡併態（相同n，不同的l,m,s）的能量變得不同25多電子原子之電子組態根據Hunds rule將電子依序（能量由低至高）填入各能態中：若所填入的能態對氫原子而言是簡併的，則根據以下規則選擇，可得最低能量態First law: 可使總自旋最大者Sec