2023届高三数学单元卷五《平面向量、复数》能力提升卷（及答案）

1、单元卷五平面向量、复数(能力提升卷)题号123456789101112答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.2021北京四中期末已知复数z满足z(1i)|22i|(其中i为虚数单位)，则复数z的虚部为()A.eq r(2) B.eq r(2) C.eq r(2)i D.eq r(2)i2.2022山东济南模拟已知单位向量a，b，c满足abc0，则a与b的夹角为()A.eq f(,6) B.eq f(,3) C.eq f(2,3) D.eq f(5,6)3.2021福建福州模拟在ABC中，E为AB边的中点，D为AC边上的点

2、，BD，CE交于点F.若eq o(AF,sup6()eq f(3,7)eq o(AB,sup6()eq f(1,7)eq o(AC,sup6()，则eq f(AC,AD)的值为()A.2 B.3 C.4 D.54.2021重庆一中月考在代数史上，代数基本定理是数学中最重要的定理之一，它说的是：任何一元n次复系数多项式f(x)在复数集中有n个复数根(重根按重数计)，那么f(x)x31在复平面内使f(x)0除了1和eq f(1,2)eq f(r(3),2)i这两个根外，还有一个复数根为()A.eq f(1,2)eq f(r(3),2)i B.eq f(1,2)eq f(r(3),2)iC.eq f

3、(1,2)eq f(r(3),2)i D.eq f(1,2)eq f(r(5),2)i5.2022山东青岛模拟在如图所示的图形中，圆的半径均为1，且相邻的圆都相切，A，B，C，D是其中四个圆的圆心，则|eq o(AB,sup6()eq o(CD,sup6()|()A.eq r(19) B.19 C.2eq r(7) D.2eq r(3)6.2021吉林大学附中模拟一副三角板有两种规格，一种是等腰直角三角形，另一种是有一个锐角是30的直角三角形，如图两个三角板斜边之比为eq r(3)2.四边形ABCD就是由三角板拼成的，|AB|2，ABC60，则eq o(AB,sup6()eq o(CD,sup

4、6()eq o(AC,sup6()eq o(DB,sup6()的值为()A.2eq r(3) B.6 C.62eq r(3) D.2eq r(3)7.2021云南昆明一模已知点P是ABC所在平面内一点，且eq o(PA,sup6()eq o(PB,sup6()eq o(PC,sup6()0，则()A.eq o(PA,sup6()eq f(1,3)eq o(BA,sup6()eq f(2,3)eq o(BC,sup6() B.eq o(PA,sup6()eq f(2,3)eq o(BA,sup6()eq f(1,3)eq o(BC,sup6()C.eq o(PA,sup6()eq f(1,3)e

5、q o(BA,sup6()eq f(2,3)eq o(BC,sup6()D.eq o(PA,sup6()eq f(2,3)eq o(BA,sup6()eq f(1,3)eq o(BC,sup6()8.2022河北衡水中学期末窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一.每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望.图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图2中正六边形ABCDEF的边长为4，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则eq o(PM,s

6、up6()eq o(PN,sup6()的取值范围是()A.6，12 B.6，16C.8，12 D.8，16二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.2021陕西西安模拟如果平面向量a(2，4)，b(6，12)，那么下列结论中正确的是()A.|b|3|a|B.abC.a，b的夹角为180D.向量a在b方向上的投影为2eq r(5)10.2021湖南名校第五次联考已知复数z122i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P1，复数z2满足|z2i|1，则下列结论正确的有()A.点P1的坐标为

7、(2，2)B. eq o(z,sup6(-)122iC.|z2z1|的最大值为eq r(13)1D.|z2z1|的最小值为2eq r(2)11.2022河北联考已知四边形ABCD是边长为2的正方形，P为平面ABCD内一点，则(eq o(PA,sup6()eq o(PB,sup6()(eq o(PC,sup6()eq o(PD,sup6()()A.有最小值4 B.有最大值4C.无最小值 D.无最大值12.2021新高考八省联考设z1，z2，z3为复数，z10，下列说法中正确的有()A.若|z2|z3|，则z2z3B.若z1z2z1z3，则z2z3C.若eq o(z,sup6(-)2z3，则|z1

8、z2|z1z3|D.若z1z2|z1|2，则z1z2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.2021上海交大附中模拟已知复数z11eq r(3)i，|z2|1，z1z2是正实数，则复数z2_.14.2021山西晋南名校联考已知向量a，b满足：|a|b|1，ab.若eq r(2)ab与xab的夹角为45，则实数x_.15.2021上海崇明中学模拟在四边形ABCD中，eq o(AC,sup6()(3，1)，eq o(BD,sup6()(2，m)，eq o(AC,sup6()eq o(BD,sup6()，则该四边形的面积是_.16.2021天津联考如图，在ABC中，eq o(BD,su

9、p6()eq f(1,3)eq o(BC,sup6()，点E在线段AD上移动(不含端点)，若eq o(AE,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()，则eq f(,)_，2的最小值是_.四、解答题：本题共2小题，每题10分，共20分.17.(10分)2021江苏省新海高级中学高三期末已知向量aeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(r(3),2)，b(2cos ，2sin )，0.(1)若ab，求cos 的值；(2)若|ab|b|，求sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)的值.18.(10分)2021江苏南京模拟在ABC中，角

10、A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos Ceq f(3,5).(1)若eq o(CB,sup6()eq o(CA,sup6()eq f(9,2)，求ABC的面积；(2)设向量xeq blc(rc)(avs4alco1(2sin f(B,2)，r(3)，yeq blc(rc)(avs4alco1(cos B，cos f(B,2)，且xy，b5eq r(3)，求a的值.单元卷五平面向量、复数(能力提升卷)1.B由复数的模的定义知|22i|eq r(2222)2eq r(2)，所以z(1i)2eq r(2)，zeq f(2r(2),1i)eq f(2r(2)（1i）,（1i）（1i）)eq r

11、(2)(1i)eq r(2)eq r(2)i，则复数z的虚部为eq r(2).故选B.2.C因为abc0，所以abc，所以(ab)2(c)2，即a2b22abc2，即11211cosa，b1，所以cosa，beq f(1,2)，因为a，b0，所以a，beq f(2,3)，故选C.3.C设eq o(AC,sup6()eq o(AD,sup6()(1)，则eq o(AF,sup6()eq f(3,7)eq o(AB,sup6()eq f(1,7)eq o(AC,sup6()eq f(3,7)eq o(AB,sup6()eq f(,7)eq o(AD,sup6()，因为B，F，D三点共线，所以eq

12、f(3,7)eq f(,7)1，得4.所以eq f(AC,AD)4，故选C.4.B令f(x)x310，则(x1)(x2x1)0，故方程根为x1或xeq f(1r(3)i,2)，故另外一个根是eq f(1,2)eq f(r(3),2)i.故选B.5.C由图可得eq o(CD,sup6()eq o(BC,sup6()，所以eq o(AB,sup6()eq o(CD,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(AC,sup6()，ACD中，ACeq r(AD2DC22ADCDcos f(,3)eq r(6222262f(1,2)2eq r(7).故选C.6.C建立如

13、图所示直角坐标系：因为|AB|2，ABC60，所以|AC|2eq r(3)，|AD|eq r(6)，则B(2，0)，C(0，2eq r(3)，D(eq r(3)，eq r(3)，所以eq o(AB,sup6()(2，0)，eq o(AC,sup6()(0，2eq r(3)，eq o(CD,sup6()(eq r(3)，eq r(3)，eq o(DB,sup6()(2eq r(3)，eq r(3)，所以eq o(AB,sup6()eq o(CD,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(DB,sup6()62eq r(3)，故选C.7.D取BC边的中点为D，连接PD，则eq o(PB,s

14、up6()eq o(PC,sup6()2eq o(PD,sup6()，又eq o(PA,sup6()eq o(PB,sup6()eq o(PC,sup6()0，所以eq o(PA,sup6()(eq o(PB,sup6()eq o(PC,sup6()2eq o(PD,sup6()，所以eq o(PA,sup6()eq o(PD,sup6()，eq o(PA,sup6()eq f(2,3)eq o(AD,sup6()eq f(2,3)(eq o(BD,sup6()eq o(BA,sup6()eq f(2,3)eq o(BA,sup6()eq f(1,3)eq o(BC,sup6()，故选D.8.

15、C如图所示，由正六边形的几何性质可知，OAB、OBC、OCD、ODE、OEF、OFA均为边长为4的等边三角形，当点P位于正六边形ABCDEF的顶点时，|eq o(PO,sup6()|取最大值4，当点P为正六边形各边的中点，|eq o(PO,sup6()|取最小值，即|eq o(PO,sup6()|min4sin eq f(,3)2eq r(3)，所以|eq o(PO,sup6()|2eq r(3)，4.所以eq o(PM,sup6()eq o(PN,sup6()(eq o(PO,sup6()eq o(OM,sup6()(eq o(PO,sup6()eq o(ON,sup6()(eq o(PO,

16、sup6()eq o(OM,sup6()(eq o(PO,sup6()eq o(OM,sup6()eq o(PO,sup6()248，12.故选C.9.ABC因为a(2，4)，b(6，12)，所以b3a，对于A，因为b3a，所以|b|3|a|，故A正确；对于B，因为b3a，故ab，故B正确；对于C，因为b3a，所以b与a的夹角为180，故C正确；对于D，a在b方向上的投影为：|a|cosa，beq r(22（4）2)2eq r(5)，故D错误.故选ABC.10.ABC复数z122i在复平面内对应的点为P1(2，2)，故A正确；复数z122i，其共轭复数z122i，故B正确；设z2xyi(x，y

17、R)，则|z2i|xyii|eq r(x2（y1）2)1，即x2(y1)21，所以复数z2在复平面内对应的点P2在圆x2(y1)21上，其圆心为C(0，1)，半径r1，|z2z1|表示的是复数z1和z2在复平面内对应的两点之间的距离，即|P1P2|，|P1P2|的最大值是|P1C|req r(（20）2（21）2)1eq r(13)1，|P1P2|的最小值是|P1C|req r(13)1，所以|z2z1|的最大值为eq r(13)1，最小值为eq r(13)1，故C正确，D错误.故选ABC.11.AD建立如图所示的平面直角坐标系.则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2).设P(

18、x，y)，则eq o(PA,sup6()(x，y)，eq o(PB,sup6()(2x，y)，eq o(PC,sup6()(2x，2y)，eq o(PD,sup6()(x，2y)，所以(eq o(PA,sup6()eq o(PB,sup6()(eq o(PC,sup6()eq o(PD,sup6()(22x，2y)(22x，42y)(22x)2(2y2)24，所以当x1，y1时，(eq o(PA,sup6()eq o(PB,sup6()(eq o(PC,sup6()eq o(PD,sup6()取得最小值4，无最大值.故选AD.12.BC设z1a1b1i(a10且b10，a1，b1R)，z2a2

19、b2i，z3a3b3i(a2，b2，a3，b3R).对于选项A：若z21i，z31i，则|z2|z3|，而z2z3，故A错误.对于选项B：由z1z2z1z3，得z1(z2z3)0，因为z10，所以z2z3，故B正确.对于选项C：因为|z1z2|z1|z2|，|z1z3|z1|z3|，若eq o(z,sup6(-)2z3，则|z2|z2|z3|，所以|z1z2|z1z3|，故C正确.对于选项D：当z2eq o(z,sup6(-)1时，z1z2|z1|2，故D错误.故选BC.13.eq f(1,2)eq f(r(3),2)i令z2xyi(x，yR)，z1z2(xyi)(1eq r(3)i)(xeq

20、 r(3)y)(eq r(3)xy)i为正实数，eq blc(avs4alco1(r(3)xy0，,xr(3)y0，)又x2y21，即eq blc(avs4alco1(xf(1,2)，,yf(r(3),2)或eq blc(avs4alco1(xf(1,2)，,yf(r(3),2)(舍)，z2eq f(1,2)eq f(r(3),2)i.14.32eq r(2)法一因为eq r(2)ab与xab的夹角为45，所以cos 45eq f(（r(2)ab）（xab）,|r(2)ab|xab|)eq f(r(2)x1,r(3（x21）)eq f(r(2),2)，即x24eq r(2)x10，解得x2eq

21、 r(2)3或x2eq r(2)3(舍去).法二因为a，b为单位向量，且ab，所以不妨令a(1，0)，b(0，1)，则eq r(2)ab(eq r(2)，1)，xab(x，1)，所以cos 45eq f(（r(2)ab）（xab）,|r(2)ab|xab|)eq f(r(2)x1,r(3（x21）)eq f(r(2),2)，即x24eq r(2)x10，解得x2eq r(2)3或x2eq r(2)3(舍去).15.10由题意，向量eq o(AC,sup6()(3，1)，eq o(BD,sup6()(2，m)，eq o(AC,sup6()eq o(BD,sup6()，可得eq o(AC,sup6

22、()eq o(BD,sup6()32(1)m0，解得m6，所以四边形的面积为eq f(1,2)|eq o(AC,sup6()|eq o(BD,sup6()|eq f(1,2)eq r(32（1）2)eq r(2262)10.16.2eq f(1,16)由题可知，eq o(BD,sup6()eq f(1,3)eq o(BC,sup6()，设eq o(AE,sup6()meq o(AD,sup6()(0m1)，则eq o(AE,sup6()meq blc(rc)(avs4alco1(o(AB,sup6()f(1,3)o(BC,sup6()meq blcrc(avs4alco1(o(AB,sup6(

23、)f(1,3)（o(BA,sup6()o(AC,sup6()）)，所以eq o(AE,sup6()eq f(2,3)meq o(AB,sup6()eq f(1,3)meq o(AC,sup6().又eq o(AE,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()，可得eq f(2,3)m，eq f(1,3)m，所以eq f(,)eq f(f(2,3)m,f(1,3)m)2.则2eq f(4,9)m2eq f(1,3)meq f(4,9)eq blc(rc)(avs4alco1(mf(3,8)eq sup12(2)eq f(1,16)，所以当meq f(3,8)时，2取得最小

24、值eq f(1,16).17.解(1)因为ab，所以eq f(1,2)2sin eq f(r(3),2)2cos ，即sin eq r(3)cos ，所以tan eq r(3)，又0，所以eq f(2,3)，所以cos eq f(1,2).(2)因为|ab|b|，所以|ab|2|b|2，化简得|a|22ab0，又aeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(r(3),2)，b(2cos ，2sin )，则|a|21，abcos eq r(3)sin ，所以eq r(3)sin cos eq f(1,2)，则sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)eq f(1,

25、4)0，又0，eq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)eq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)，f(5,6)，又sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)0，所以eq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)eq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)，0)，所以coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)eq r(1sin2blc(rc)(avs4alco1(f(,6)eq f(r(15),4)，所以sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)sineq blcrc(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(f(,6)f(,3)sineq blc(rc)