高考总复习理科数学配北师版(老高考旧教材)-课后习题及答案-第8章　立体几何课时规范练43　空间向量及其运算

1、课时规范练43空间向量及其运算基础巩固组1.设p:a,b,c是三个非零向量;q:a,b,c为空间的一个基底,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案:B解析:当非零向量a,b,c共面时,a,b,c不能是空间的一个基底;若a,b,c为空间的一个基底,则a,b,c一定不共面,所以a,b,c一定是非零向量.因此p是q的必要不充分条件.2.已知a=(1,0,1),b=(x,1,2),且ab=3,则向量a与b的夹角为()A.56B.23C.3D.6答案:D解析:ab=x+2=3,x=1,b=(1,1,2),cos=ab|a|b|=326=32.又0,a与

2、b的夹角为6.3.(2021陕西宝鸡渭滨模拟)已知P为空间中任意一点,A,B,C,D四点满足任意三点均不共线,但四点共面,且PA=23PB-xPC+16BD,则实数x的值为()A.13B.-13C.16D.-16答案:B解析:PA=23PB-xPC+16BD=23PB-xPC+16(PDPB)=12PB-xPC+16PD,由题意,需12-x+16=1,解得x=-13.4.(2021天津西青模拟)设x,yR,向量a=(x,1,1),b=(1,y,1),c=(3,-6,3),且ac,bc,则|a+b|=()A.10B.3C.4D.22答案:B解析:因为ac,所以3x-6+3=0,解得x=1,所以a

3、=(1,1,1).因为bc,所以13=y-6=13,解得y=-2,所以b=(1,-2,1),所以a+b=(2,-1,2),所以|a+b|=22+(-1)2+22=3.5.(2021安徽六安一中月考)已知空间向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=1,|b|=2,|c|=7,则a与b的夹角为()A.6B.4C.3D.2答案:C解析:设a与b的夹角为.由a+b+c=0,得a+b=-c,两边平方,得a2+2ab+b2=c2,所以1+212cos +4=7,解得cos =12,又0,所以=3.6.已知空间四边形ABCD的每条棱和对角线的长都等于a,E,F分别是BC,AD的中点,则AEAF的值为()A

4、.a2B.12a2C.14a2D.34a2答案:C解析: 此空间四边形是一个正四面体,所以AEAF=12(AB+AC)12AD=14(ABAD+ACAD)=14(a2cos 60+a2cos 60)=14a2.故选C.7.(2021浙江镇海中学模拟)已知空间三点A(-2,0,8),P(m,m,m),B(4,-4,6),若向量PA与PB的夹角为60,则实数m的值是()A.1B.2C.-1D.-2答案:B解析:A(-2,0,8),P(m,m,m),B(4,-4,6),PA=(-2-m,-m,8-m),PB=(4-m,-4-m,6-m),由题意有cos 60=PAPB|PA|PB|=3m2-12m+

5、403m2-12m+683m2-12m+68,即3m2-12m+682=3m2-12m+40,整理得m2-4m+4=0,解得m=2.8.(2021山东菏泽一中月考)已知空间四边形OABC各边及其对角线OB,AC的长都是6,AM=2MB,MG=GC,OG=xOA+yOB+zOC,则x+y+z=,OG的长为.答案:15解析:空间四边形OABC为正四面体,OG=OM+MG=OA+23AB+12MC=OA+23AB+12(MA+AC)=OA+23AB+1223BA+12AC=OA+13AB+12AC=OA+13(OBOA)+12(OCOA)=OA13OA12OA+13OB+12OC=16OA+13OB

6、+12OC,x+y+z=1.又OAOB=OAOC=OBOC=66cos 60=18,|OG|2=OG2=16OA+13OB+12OC2=136OA2+19OB2+14OC2+19OAOB+16OAOC+13OBOC=13636+1936+1436+1918+1618+1318=25.所以|OG|=5.9.如图,已知O,A,B,C,D,E,F,G,H为空间的9个点,且OE=kOA,OF=kOB,OH=kOD,AC=AD+mAB,EG=EH+mEF,k0,m0,求证:(1)A,B,C,D四点共面,E,F,G,H四点共面;(2)ACEG;(3)OG=kOC.证明:(1)AC=AD+mAB,m0,A,

7、B,C,D四点共面.EG=EH+mEF,m0,E,F,G,H四点共面.(2)EG=EH+mEF=OHOE+m(OFOE)=k(ODOA)+km(OBOA)=kAD+kmAB=k(AD+mAB)=kAC,ACEG. (3)OG=OE+EG=kOA+kAC=k(OA+AC)=kOC.综合提升组10.已知点A(1,2,1),B(-1,3,4),D(1,1,1),若AP=2PB,则|PD|的值是.答案:773解析:设P(x,y,z),则AP=(x-1,y-2,z-1),PB=(-1-x,3-y,4-z).由AP=2PB,得点P坐标为-13,83,3.又D(1,1,1),|PD|=773.11.(202

8、1浙江宁波镇海中学月考)已知空间四边形ABCD的对角线为AC与BD,M,N分别为线段AB,CD上的点,满足AM=13AB,DN=14DC,点G在线段MN上,且满足MG=2GN,若AG=xAB+yAC+zAD,则x+y+z=.答案:79解析:AG=AM+MG=13AB+23MN,又MN=ANAM=AN13AB,故AG=AM+MG=13AB+23AN13AB=19AB+23AN,而AN=AD+DN=AD+14DC=AD+14(ACAD)=14AC+34AD,所以AG=19AB+2314AC+34AD=19AB+16AC+12AD.因为AB,AC,AD不共面,故x=19,y=16,z=12,所以x+

9、y+z=79.12.(2021山东临沂模拟)已知a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b的夹角为钝角,则实数k的取值范围为.答案:(-,-2)-2,75解析:由a=(1,1,0),b=(-1,0,2),ka+b=(k-1,k,2),2a-b=(3,2,-2),所以(ka+b)(2a-b)=3(k-1)+2k-40,解得k75.若ka+b与2a-b反向,则ka+b=(2a-b),0,则k=2,1=-,所以k=-2.所以若ka+b与2a-b的夹角为钝角,则k75且k-2.综上,k的取值范围是(-,-2)-2,75.13.已知正四面体A-BCD的外接球半径为3,MN为其外接球的

10、一条直径,P为正四面体A-BCD表面上任意一点,则PMPN的最小值为.答案:-8解析:设正四面体外接球球心为O,正四面体A-BCD的外接球半径为3,设正四面体A-BCD内切球半径为r,一个面的面积为S,高为h,则VA-BCD=413Sr=13Sh,所以h=4r,显然r+3=h=4r,所以r=1,即|PO|min=1.PMPN=(PO+OM)(PO+ON)=PO2+OMON=PO2-91-9=-8.创新应用组14.(2021湖南师大二附中高三月考)给定两个不共线的空间向量a与b,定义叉乘运算:ab.规定:ab为同时与a,b垂直的向量;a,b,ab三个向量构成右手系(如图甲);|ab|=|a|b|

11、sin.如图乙,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,AA1=4,则下列结论不正确的是()图甲图乙A.ABAD=AA1B.ABAD=ADABC.(AB+AD)AA1=ABAA1+ADAA1D.长方体ABCD-A1B1C1D1的体积V=(ABAD)CC1答案:B解析:|ABAD|=|AB|AD|sin 90=221=4,且AA1分别与AB,AD垂直,ABAD=AA1,故A正确;由题意,ABAD=AA1,ADAB=A1A,故B错误;AB+AD=AC,|(AB+AD)AA1|=|ACAA1|=2241=82,且(AB+AD)AA1与DB共线同向.|ABAA1|=241=8,ABAA1与DA共线同向,|ADAA1|=241=8,ADAA1与AB共线同向,|ABAA1+ADAA1|=82,且ABAA1+ADAA1与DB共线同向,故C正确;(ABAD)CC1=AA1CC1=44cos 0=16,故D正确.15.如图所示,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB=2,E为PB的中点,cos=33,若以DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则点E的坐标为.