线性代数及其应用：第一章 矩阵

1、线性代数及其应用代数由费马和笛卡尔的工作产生于17世纪关孝和或莱布尼兹引入行列式,雅可比和范德蒙发展詹姆斯或凯莱引入矩阵克莱姆,高斯,若当引入方程组我国九章算术中有一章方程历史背景1859 (清朝)李善兰翻译成“代数学” 线性代数课程在高等工业学校的教学计划中是一门重要的基础理论课，也是考研究生的必考课程，尤其在计算机高速发展的今天，更显示出其重要性和应用性。矩 阵线性方程组行列式向量组一一对应一 一 对 应特征问题与二次型线性方程组求解为核心矩阵运算为主线核心第一节 矩阵第一章 矩阵1. 线性方程组的解取决于系数常数项一、矩阵概念的引入对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究.线性方程组的系

2、数与常数项按原位置可排为线性变换对应这是一个以原点为中心旋转 角的旋转变换.二、矩阵的定义 由 个数排成的 行 列的元数表称为 维矩阵.简称 矩阵.记作简记为元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵.例如是一个 实矩阵,是一个 复矩阵,是一个 矩阵,是一个 矩阵,是一个 矩阵.例如是一个3 阶方阵.几种特殊矩阵(2)只有一行元素的矩阵称为行矩阵(或行向量).方阵.也可记作主对角线副(反)对角线只有一列元素的矩阵称为列矩阵(或列向量).全为零的方阵称为上三角矩阵。 称为对角矩阵(或对角阵）.（4）形如 的方阵,全为零的方阵称为下三角矩阵。记作(5) 数(纯)量矩阵（标量矩阵）称为单

3、位矩阵（或单位阵）.有时也记作E.全为1为数量矩阵或标量阵。当 时，记作 （6）元素全为零的矩阵称为零矩阵， 零矩阵记作 或 .注意不同阶数的零矩阵是不“相等”的.例如 2.两个矩阵 为同维矩阵,并且对应元素相等,即则称矩阵 相等,记作例如为同维矩阵. 同维矩阵与矩阵相等的概念 1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同维矩阵.例1 设解三、小结(1)矩阵的概念(2) 特殊矩阵方阵上（下）三角阵单位矩阵;对角矩阵;零矩阵.行矩阵与列矩阵;思考题思考题解答矩阵 是对角阵。 答:错.矩阵棣属关系:单位阵数量阵对角阵三角阵方阵矩阵。 答:对.第二节 矩阵的运算第一章 矩阵、定义一、矩阵的加法设有两个

4、 矩阵 那末矩阵 与 的和记作 ，规定为说明 只有当两个矩阵是同维矩阵时，才能进行加法运算.例如2、 矩阵加法的运算规律1、定义二、数与矩阵相乘2、数乘矩阵的运算规律矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.（设 为 矩阵， 为数）注：三、矩阵与矩阵相乘商品名代理商、定义并把此乘积记作设 是一个 矩阵， 是一个 矩阵，那么规定矩阵 与矩阵 的乘积是一个 矩阵 ，其中例2设例3故解注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.例如不存在. 而、矩阵乘法的运算规律（其中 为数）; 若A是 阶矩阵，则 为A的 次幂，即 并且 注意矩阵一般不满足交换律，即：例4 设则但也有

5、例外，比如设则有注意矩阵乘法一般不满足消去律，亦即：例5 计算下列乘积：解解=(）解例6由此归纳出用数学归纳法证明当 时，显然成立.假设 时成立，则 时，所以对于任意的 都有定义 把矩阵 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作 .例、转置矩阵四、矩阵的转置运算转置矩阵的运算性质例7 已知解法1解法22、对称阵与反对称阵对称阵定义设 为 阶方阵，如果满足 ，即那末 称为对称阵.对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等。 说明例8 设列矩阵 满足 证明例9 证明任一 阶矩阵 都可表示成对称阵与反对称阵之和.证明 为对称矩阵. 为反对称矩阵. 命题得证.五、小结矩阵运算加法数与矩阵相乘

6、矩阵与矩阵相乘转置矩阵对称阵与反对称阵（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满足交换律,消去律.（1）只有当两个矩阵是同维矩阵时，才能进行加减，法运算.注意 （3）矩阵的数乘运算是该数乘以矩阵中每一个元素.思考题成立的充要条件是什么?思考题解答故 成立的充要条件为矩阵A、B可交换。即答思考题思考题解答答 例.已知， 求 第三节 逆矩阵第一章 矩阵则矩阵 称为 的逆矩阵或逆阵.一、概念的引入在数的运算中，当数 时，有其中 为 的倒数， （或称 的逆）； 在矩阵的运算中，单位阵 相当于数的乘法运算中 的1，那么，对于矩阵 ，如果存在一个矩阵 ,使得二、逆

7、矩阵的概念和性质 定义 对于 阶矩阵 ，如果有一个 阶矩阵 则说矩阵 是可逆的，并把矩阵 称为 的逆矩阵.使得例 设说明 若 是可逆矩阵，则 的逆矩阵是唯一的.若设 和 是 的可逆矩阵，则有可得所以 的逆矩阵是唯一的,即例如 设解则逆矩阵的运算性质证明证明例1三、逆矩阵的求法例2 设解设 是 的逆矩阵,则利用待定系数法又因为所以解例3四、小结1、逆矩阵的概念及运算性质.2、逆矩阵的计算方法：思考题思考题解答答思考题思考题解答第四节 分块矩阵第一章 矩阵一、矩阵的分块对于行数和列数较高的矩阵 ，为了简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算. 具体做法是：将矩阵 用若干条纵线和横线

8、分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为 的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.例即即二、分块矩阵的运算规则例1 设解则又于是例2 设解例3 设例4 (性质) 设三、小结 在矩阵理论的研究中,矩阵的分块是一种最基本,最重要的计算技巧与方法.(1) 加法(2) 数乘(3) 乘法 分块矩阵之间的运算分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似(4) 转置(5) 分块对角阵的逆阵思考题思考题解答证第五节 初等变换和初等矩阵第一章 矩阵引例一、初等变换的引入-方程组 的同解变换求解线性方程组我们来分析用消元法解下列方程组的过程小结：1上述解方程组的方法称为Gauss消元法 2（1）交换两个方程的次序；

9、（3）一个方程加上另一个方程的常数k倍（ 与 相互替换）（以替换）（2）以不等于的常数 乘上某个方程；（以替换）3上述三种变换都是可逆的由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是同解变换因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算若记则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵 (方程组（I）的增广矩阵）的变换定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换:二、矩阵的初等变换定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换 初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同 同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)逆变换逆变换逆变换等价关系的性质：具有上述三条性质的关系称为等价关系例如，两个线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价定义 由单位矩阵 经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.三种初等变换对应着三种初等方阵. 矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛.三、初等矩阵的概念第 i 列 定理1 设 是一个 矩阵，对 施行一次初等行变换，相当于在 的左边乘以相应的 阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于在 的右边乘以相应的 阶初等矩阵.初等变换初等矩阵初等逆变换初等逆矩阵四、初等矩阵的应用特点：例如，标准形 定理3 A为可逆方阵的充分必要条件是存在有限个初等方阵（