八年级数学直角三角形教师讲义带答案资料

1、直角三角形一、直角三角形的性质 重点：直角三角形的性质定理及其推论：直角三角形的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半;推论：1在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半;2在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30.难点：1.性质定理的证明方法.2.性质定理及其推论在解题中的应用.二、直角三角形全等的判断重点：掌握直角三角形全等的判定定理：斜边、直角边公理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等难点：创立全等条件及三角形中各定理联系解综合问题。三、角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 定理的数

2、学表示：如图4， 是的平分线，F是上一点，且于点C，于点D， . 定理的作用：证明两条线段相等；用于几何作图问题；角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.2.关于三角形三条角平分线的定理：1关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.定理的数学表示：如图6，如果、分别是的内角、 、的平分线，那么： 、相交于一点I； 假设、分别垂直于、于点D、E、F，那么. 定理的作用：用于证明三角形内的线段相等；用于实际中的几何作图问题.2三角形三条角平分线的交点位置及三角形形状的关系：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.这个交点叫做三角

3、形的内心即内切圆的圆心.3.关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：1会作线段的垂直平分线； 2会作角的角平分线；3会作及线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.四、勾股定理的证明及应用勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为，斜边为，那么勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方勾股定理的

4、证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：，化简可证方法二：四个直角三角形的面积及小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直角三角形的面积及小正方形面积的和为大正方形面积为 所以方法三：，化简得证勾股定理的适用范围勾股定理提醒了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形勾股定理的应用直角三角形的任意两边长，求第三边在中

5、，那么，知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系可运用勾股定理解决一些实际问题如果三角形三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和及较长边的平方作比拟，假设它们相等时，以，为三边的三角形是直角三角形；假设，时，以，为三边的三角形是钝角三角形；假设，时，以，为三边的三角形是锐角三角形；定理中，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如假设三角形三边长，满足，那么以，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成

6、：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，为正整数时，称，为一组勾股数记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；等用含字母的代数式表示组勾股数：为正整数；为正整数，为正整数勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进展计算，应设法添加辅助线通常作垂线，构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进展求解勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量

7、关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和及最长边的平方进展比拟，切不可不加思考的用两边的平方和及第三边的平方比拟而得到错误的结论勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决常见图形：10、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。勾股定理的作用： 1直角三角形的两边求第三边。 2直角三角形的一边，求另

8、两边的关系。3用于证明线段平方关系的问题。4利用勾股定理，作出长为的线段勾股定理经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法 1、在中，90 (1)6， 10，求b， (2)40，9，求c； (3)25，15，求a. 思路点拨: 写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。 解析：(1) 在中，90，6，10 (2) 在中，90，40，9 (3) 在中，90，25，15 举一反三 【变式】:如图90, 1312, 3,那么的长是多少 【答案】90 13, 12 2 22 =132122 =25 5 又90且3 由勾股定理可得 222 =5232 =16 4 的长是4.类型二

9、：勾股定理的构造应用 2、如图，：在中，. 求：的长. 思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，那么有，再由勾股定理计算出、的长，进而求出的长. 解析：作于D，那么因， 的两个锐角互余 在中，如果一个锐角等于， 那么它所对的直角边等于斜边的一半. 根据勾股定理，在中， . 根据勾股定理，在中， . . 举一反三【变式1】如图，：，于P. 求证：. 解析：连结，根据勾股定理，在中， . 而在中，那么根据勾股定理有 . 又 ， . 在中，根据勾股定理有 ， . 【变式2】：如图，90，60，4，2。求：四边形的面积。 分析：如何构造直角三角形是解此题的关键，可以连结，或延长、交于F

10、，或延长、交于点E，根据此题给定的角应选后两种，进一步根据此题给定的边选第三种较为简单。 解析：延长、交于E。 60，90，30。 28，24， 222=82-42=48，。 2= 22=42-22=12，。 S四边形类型三：勾股定理的实际应用 一用勾股定理求两点之间的距离问题 3、如下图，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60方向走了到达B点，然后再沿北偏西30方向走了500m到达目的地C点。 1求A、C两点之间的距离。 2确定目的地C在营地A的什么方向。 解析：1过B点作 60 30+180 90 即为直角三角形 由可得：500m， 由勾股定理可得： 所以 2在中， 500m

11、，1000m 30 60 30 即点C在点A的北偏东30的方向 举一反三 【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门 【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于如下图，点D在离厂门中线0.8米处，且， 及地面交于H 解：1米 (大门宽度一半)， 0.8米 卡车宽度一半 在中，由勾股定理得： .米， C.米.米 因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门 二用勾股定理求最短问题 4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进展电网改造，某地有四个村庄A、B

12、、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现方案在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线局部请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线 思路点拨：解答此题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进展比拟，得出结论 解析：设正方形的边长为1，那么图1、图2中的总线路长分别为 3，3 图3中，在中 同理 图3中的路线长为 图4中，延长交于H，那么， 由 及勾股定理得： 121 此图中总线路的长为4 32.8282.732 图4的连接线路最短，即图4的架设方案最省电线 举一反三 【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20，高为4，是上底面的直径一只蚂蚁从点A出发

13、，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程 解： 如图，在中，底面周长的一半， 根据勾股定理得 提问：勾股定理 勾股定理 答：最短路程约为类型四：利用勾股定理作长为的线段 5、作长为、的线段。 思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和1的直角三角形斜边长就是，类似地可作。 作法：如下图 1作直角边为1单位长的等腰直角，使为斜边； 2以为一条直角边，作另一直角边为1的直角。斜边为； 3顺次这样做下去，最后做到直角三角形，这样斜边、的长度就是 、。 举一反三 【变式】在数轴上表示的点。 解析：可以把看作是直角三角形的斜边， 为了有利于画图让其他两边的长为整

14、数， 而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。 作法：如下图在数轴上找到A点，使3，作且截取1，以为半径， 以O为圆心做弧，弧及数轴的交点B即为。类型五：逆命题及勾股定理逆定理 6、写出以下原命题的逆命题并判断是否正确 1原命题：猫有四只脚正确 2原命题：对顶角相等正确 3原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等正确 4原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等正确 思路点拨：掌握原命题及逆命题的关系。 解析：1. 逆命题：有四只脚的是猫不正确 2. 逆命题：相等的角是对顶角不正确 3. 逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上正确 4.

15、逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上正确 总结升华：此题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。 7、如果的三边分别为a、b、c，且满足a222+50=6810c，判断的形状。 思路点拨：要判断的形状，需要找到a、b、c的关系，而题目中只有条件a222+50=6810c，故只有从该条件入手，解决问题。 解析：由a222+50=6810c，得 ： a2-692-8162-1025=0, (3)2+(4)2+(5)2=0。 (3)20, (4)20, (5)20。 3，4，5。 32+42=52, a222。 由勾股定理的逆定理，得是直角三角形。 总结升华：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研

16、究图形的位置关系的,在证明中也常要用到。 举一反三【变式1】四边形中，90，3，4，12，13，求四边形的面积。 【答案】：连结 90，3，4 222=25勾股定理 5 22=169，2=169 222 90勾股定理逆定理 【变式2】:的三边分别为m2n2,222(为正整数,且mn),判断是否为直角三角形. 分析:此题是利用勾股定理的的逆定理， 只要证明222即可 证明： 所以是直角三角形. 【变式3】如图正方形，E为中点，F为上一点，且。 请问及是否垂直请说明。 【答案】答：。 证明：设，那么2a, 3a，4a, 2222+4a2=5a2； 222=4a2+16a2=20a2。 连接如图 2

17、22=9a2+16a2=25a2。 222, 。勾股定理经典例题精析类型一：勾股定理及其逆定理的根本用法 1、假设直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。 思路点拨：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再根据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积。 解析：设此直角三角形两直角边分别是3x，4x，根据题意得： 3x2+4x2202 化简得x216； 直角三角形的面积3x4x6x296 总结升华：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程组求解。 举一反三 【变式1】等边三角形的边长为2，求它的面积。 【答

18、案】如图，等边，作于D 那么：等腰三角形底边上的高及底边上的中线互相重合 2等边三角形各边都相等 1 在直角三角形中，222，即：222413 S 注：等边三角形面积公式：假设等边三角形边长为a，那么其面积为a。【变式2】直角三角形周长为12，斜边长为5，求直角三角形的面积。 【答案】设此直角三角形两直角边长分别是x，y，根据题意得： 由1得：7， 249，x2+2249 (3) (3)(2)，得：12 直角三角形的面积是1262 【变式3】假设直角三角形的三边长分别是1，2，3，求n。 思路点拨：首先要确定斜边最长的边长3，然后利用勾股定理列方程求解。 解：此直角三角形的斜边长为3，由勾股定

19、理可得： 12+2232 化简得：n24 n2，但当n2时，1190，、分别为、上的高，F为的中点，求证：。分析：因为、分别为、上的高，所以90。在中为斜边上中线，所以。同理在中，所以，所以。例7：2021 年上海市中考题：如图6，在中，是高，是中线。，G为垂足。求证：1G是的中点；22。分析：1E是斜边上中点，连，那么，所以。又因为，所以G为的中点。2因为，所以1=2。因为1+2，所以22。由性质拓展知：，所以22，即2。例8：2021 年呼和浩特市中考如图7，在中，2B，D是上的一点，且，点E是的中点，连。求证：1C；2求证：2。分析：1因为是斜边上中线，由性质拓展可知：2B。又因为2B，

20、所以C。2由1C，所以，是斜边上中线。由性质可得：，所以，故2。例9：第四届“祖冲之杯初二竞赛如图8，在梯形中，90，E、F分别是、的中点。求证：。分析：延长、交于G，连、。由于90，所以90。E、F分别为、中点。由性质可得：。由性质拓展可得：，。因为，所以，所以，所以G、E、F三点在同一直线上，所以。例10：如图9，在四边形中，且，M、N分别是、边上的中点。求证：。分析：M是及斜边上中点，连、，由性质可得：，所以为等腰三角形。又因为N为的中点，所以。经典习题精讲1、如下图，垂足分别为E，F，O是及的交点且是的中点，求证。2、如下图，是中的平分线，2C，求证：。CABDE3、如下图，在中，90，和的平分线相交于D，求D的度数。ABCFD4、如下图，在中，90，D为的中点，于E，求证A。6、如下图，2，求证。7、在等腰三角形中，腰上的高等于腰长的一半，求等腰三角形的顶角的度数。8、如下图，在中，120，求证。C9、如下图，在四边形中，90，求的度数。10、如下图，D是的边的中点，垂足分别为,且,求证平分。11、如下图，是的平分线，分别是, 的高，求证垂直平分。12、如下图，90,求证.13、如下图，平分，且点E是的中点，那么及之间有何数量关