全等三角形典型例题培优版(含详解)绝对经典

1、6全等三角形典型例题培优版-I【例题精选】例1：已知：如图，过AABC的顶点A,作AF丄AB且AF=AB,作AH丄AC，使AH=AC,连结BH、CF,且BH与CF交于D点。求证：（1）BH=CF（2）BH丄CF分析：从图中可观察分析，若证BH=CF，显然，若能证出AABHAAFC，问题就能解决。从已知看，已经知道AF=AB，AC=AH。这两个三角形已经具备两条边对应相等了。还要证明第三条边相等，显然不可能用“边边边”公理了。只能寻求两对应边的夹角了。从已知看,ZBAF和ZHAC都是直角。而图中的ZBAC显然是公共角，根据等式性质，问题可以顺利解决。证明:（1）VAFAB，AHAC:.ZBAF=

2、ZHAC=90AZBAF+ZBAC=ZHAC+ZBAC.即ZFAC=ZBAH在AABH和AAFC中/AB=AF（已知）vZBAH=ZFAC（已证）AH=AC（已知）:.AABHAAFC（边角边）:.BH=FC（全等三角形对应边相等）（2）设AC与BH交于点P在AAPH中?ZHAP=90.Z2+Z3=90。（直角三角形中两个锐角互余）使BP=AC，CQ=AB。不难发现，已经有BP=AC、CQ=AB，也就是这两个三角形中VZ1=Z2（全等三角形对应角相等）Z3=Z4AZ1+Z4=Z2+Z3=90在APDC中VZ1+Z4=90AZHDC=90.BH丄CF例2：已知，如图：BD、CE是AABC的高，分

3、别在高上取点P与Q,求证：AQ=AP分析：从要证的结论AQ=AP，只有在AABP和AQCA中找对应原素,已经有两条对应边相等。也只有找到其中夹角相等，全等就可以了，问题的关键在于如何找出Z1=Z2?再分析已知条件，不难看出，既然BD、CE都是高，就有ZBDA=ZCEA=90，这样就可看出Z1和Z2都是ZBAC的余角了。根据同角的余角相等这条性质得到Z1=Z2,这样问题就可以迎刃而解了。证明：VBDXAC于DCE丄AB于E:.ZBDA=ZCEA=90AZ1+ZBAC=Z2+ZBAC=90AZ1=Z2在AABP和APCA中/AB=CQ（已知）Z1=Z2（已证）BP=AC（已知）:.AABPAQCA

4、（边角边）:.AQ=AP（全等三角形对应边相等）例3：已知：如图，OA=OB、OC=OD求证：AE=BE分析：从要证明的结论AE=EB看，我们不难看出，应当在AADE和KBCE中去寻找答案，而要证明AADEABCE，比较明显的有一组对顶角相等，即ZAED=ZBEC,另外可以通过等式性质得到，OAOD=OBOC，即AD=BC，那么这两个三角的全等条件仍然差一个，从证明的结论AE=BE上分析，不可能再寻找边的对应相等了，那么只有找一组对应角是否相等就可以了，如能否证出ZA=ZB（或ZADE=ZBCE），ZA=ZB除了是AADE和ABCE的对应角外，它们还是AAOC和ABOD的对应角，只要AAOC竺

5、ABOD，那么就可以推出ZA=ZB，这样问题便迎刃而解了，同学们自己分析一下AAOC和ABOD全等条件够吗？证明：在AAOC和ABOD中0A=OB（已知）ZO=ZO（公共角）OC=OD（已知）:.AAOCABOD（边角边）AZA=ZB（全等三角形的对应角相等）：OA=OB（已知）OC=OD（已知）:.AD=BC（等式性质）在AADE和ABCE中ZA=ZB（已证）ZAED=ZBECG寸顶角相等）AD=BC（已证）:.AADEABCE（角角边）:.AE=BE（全等三角形对应边相等）同学们自己动手试一试，可不可通过证明ZADE=ZBCE来证明AADEABCE呢？例4：已知：如图，ADBC，AE、BE

6、分别平分ZDAB和ZCBA,DC过点E。求证:AB=AD+BC分析：从要证明的结论AB=AD+BC上看，显然是两条线段的和与另外一条线段相等,可以考虑，能否在长的AB边上截一段等于AD（或BC），利用角平分线的条件证全等。证明（一）：在AB上截AF=AD，连结EF在AADE和AAFE中/AD=AF（已作）ZDAE=ZFAE（已知）AE=AE（公共边）:.AADEAAFE:.ZD=ZAFE（全等三角形对应角相等）：ADBC（已知）AZD+ZC=180（两直线平行，同旁内角互补）又.ZD=ZAFE（已证）:./BFE=/C（等角的补角相等）在ABFE和NBCE中ZBFE=ZC（已证）ZFBE=ZC

7、BE（已知）BE=BE（公共边）:.ABFEABCE（角角边）：.BF=BC:.AB=AD+BC证明（二）：延长AE、BC交于点F。AE、BE分别是ZDAB和ZCBA的平分线。又VAD#BC：.Z1+Z2+Z3+Z4=18O。（两直线平等，同旁内角互补）：.Z2+Z3=90。：.ZAEB=90：.ZBEF=90。在AABE和AFBE中Z3=Z4（已知）BE=BE（公共边）ZAEB=ZBEF=90（已证）：.AABE竺AFBE（角边角）：.AB=BFAE=EF在AAED和AFEC中Z1=ZF（两直线平等，内错角相等）AE=EF（已证）ZAED=ZFEcG寸顶角相等）：.AAED竺AFEC：.AD

8、=FC：.AB=AD+BC（等量代换）a例5：已知：如图，在四边形ABCD中，AC平分ZBAD、CE丄AB于E,且ZB+ZD=180o求证：AE=AD+BE分析：从上面例题，可以看出，有时为了证明某两条线段和等于另一条线段，可以考虑“截长补短”的添加辅助线，本题是否仍可考虑这样“截长补短”的方法呢？由于AC是角平分线，所以在AE上截AF=AD，连结FC，可证出AADCAAFC，问题就可以得到解决。证明（一）：在AE上截取AF=AD，连结FCo在AAFC和AADC中/AF=AD（已作）Z1=Z2（已知）AC=AC（公共边）：.AAFC竺AADC（边角边）:.ZAFC=ZD（全等三角形对应角相等）

9、VZB+ZD=180（已知）./B=/EFC（等角的补角相等）在ACEB和ACEF中ZB=ZEFC（已证）ZCEB=ZCEF=90（已知）CE=CE（公共边）AACEBACEF（角角边）:.BE=EF.AE=AF+EF:.AE=AD+BE（等量代换）证明（二）：在线段EA上截EF=BE，连结FC（如右图）。同样也可以证明，同学们自己试一试，证明过程是怎样的，看一看，当推导过程不通时，想一想，还有哪些已知条件没有充分考虑到，或是还有哪些定理，性质用的不熟，自己找一找思维障碍是什么？小结：在几何证明过程中，如果现成的三角形不可以证明，则需要我们选出所需要的三角形，这就需要我们恰到好处的添加辅助线。

10、如例：已知：AABC中，AD是BC边上的中线分析：求证AD2（ab+AC），求证：AD2（ab+AC）即可变形为2ADAB+AC，其结构恰好为中线的2倍。小于原三角形的两边之和，如而另一边正好为AD的2倍，问题就迎刃而果添加辅助线，造出一个三角形，使其两边恰与AB、AC相等,解了。证明：延长AD至E，使DE=AD，连结BE。在AADC和AEDB中/AD=DE（所作）ZADC=ZEDbG寸顶角相等）CD=BD（中线定义）.AADC竺AEDB（边角边）.AC=BE（全等三角形对应边相等）在AABE中AEAB+BE（三角形中，两边之和大于第三边）.ADEF分析：从要证的结论BF+CEEF来看，它们没

11、构成一个三角形，不能利用我们学习过的三角形三边的关系加以证明，d是中点，可考虑延长，又考虑到ZEDF是直角，所以可以达到把EF用EG代换，而BF可以用CG代换，问题可以得到解决。证明：延长FD到G，使DG=FD，连结EG、CG。在AEFD和AEGD中FD=DG2ZEDF=ZEDG=90。ED=ED:.AEFDAEGD（边角边）：.EF=EG（全等三角形对应边相等）在ABDF和ACDG中BD=CD（已知）ZBDF=ZCDgG寸顶角相等）FD=GD（已作）AABDFACDG（边角边）CG=BF在CEG中CE+CGEG.BF+CEEF【专项训练】已知：1、2、已知:如图，AD/BC,AD=BC,3、

12、已知:如图，AC=BD,AE=DF,4、已知:如图，AB=AC,AD=AE,5、已知:6、已知:如图，AD/BC,AD=BC。求证：AB=DCAE=CF。求证:ZB=ZDZ1=Z2o求证：CE=BD如图，ZA=ZD,ZB=ZC,BE=CFo求证：AB=DCAEAD于A,DFAD于F求证:如图，ABBD于B,ED丄BD于D,AB=CD,BC=DEo求证：AC丄CE8、已知：如图，AC=BD,ZBAC=ZABD求证：AD=BC；ZCAD=ZDBC7、已知：如图，AE=AD,Z1=Z2o求证:ZB=ZC求证：BE=CF9、已知：如图，AB丄AC,ADLAE,AB=AC,AD=AEo求证：(1)BE=DC(2)BE丄DC10、已知：如图，AD是ABC的中线，BE丄AD交延长线于E,CFAD于F。11、已知：求证:如图，厶CE=