高级微观经济学课件最优化

1、A2微积分与最优化2022/8/91A2.1微积分2022/8/92设D是一个非退化的实值区间在此区间上,f是二次可微的.如下的1至3阐述是等价的:1.f是凹的.2.f(x)0,xD.3.对于一切x0D,f(x)f(x0)+ f(x0)(x-x0)4.如果f(x)0 (P.1)xixftkxtkfxtxitxfxixitxtxftxfxiii=)()()()()(P.3)2022/8/922由于（P.1）是恒等式,（P.2）必定会等于(P.3),因此有:用t除两边得到:对于i=1,n,并且t0,证明完毕.2022/8/923定理A2.7 欧拉定理欧拉定理证明:定义t的函数是十分有用的,g(t)

2、f(tx),固定x ,对t微分,有xxxixfxkfkxfnii对所有次齐次性的：是，当且仅当如下式子成立,)()()(1=(p.2)在t=1时:(p.3)2022/8/924证明必要性设f(x)是k次齐次,使得对一切t0与任何x,f(tx)=tkf(x),由于(P.1),我们有g(t)= tkf(x),求微分,g(t)=ktk-1f(x),并且在t=1处取值.我们得到g(1)=kf(x).利用(P.3),得到(P.4)证明充分性为证明充分性,设(P.4)成立,在tx处取值得到:(P.5)给(P.2)式两边同乘t,同(P.5)相比较,发现tg(t)=kg(t)(P.6)2022/8/925考虑

3、函数t-kg(t).如果对此求关于t的微分,得到:从(p.6)来看,它的导数必为零,因此,我们可以得出这样结论,即对于一些常数c,t-kg(t)=c.为找到c,在t=1处求值并注意到g(1)=c.利用定义( P.1),得到c=f(x).我们知道,g(t)=tkf(x).再次把( P.1)代入,我们得到,对于所有x,则有f(tx)=tkf(x).2022/8/926A2.2 最优化2022/8/927设f(x)是一个二次可微的单变量函数,那么f(x)将会获得一个局部内点最优值.1.在 x*处有最大值f(x)=0(FONC) f(x)0(SONC)2.在 x*处有最小值f(x)=0(FONC) f

4、(x)0(SONC)定理A2.8 单变量情形中局部内点最优化的必要条件2022/8/928定理2.9 实值函数局部内点最优化的一阶必要条件如果可微函数f(x)在点x*处达到了一个局部内点极大值或极小值,那么,x*为如下联立方程组的解:2022/8/929证明:证明思路:我们设f(x)在x*处获得了一个局部内部极值,并设法证明f(x*)=0.证明:选择任意向量zRn,那么,对于任意标量t,我们有: g(t)=f(x*+tz) (P.1)从(P.1)我们知道,g(t)不过是f(x)的另一种表现形式.t0时, x*+tz正好是不同于x*的向量,故g(t)正好同f的一些值相同.t=0,x*+tz等于x

5、*,因此,g(0)正好是f在x* 处的值.已经假设 f在x*处取得极值,那么g(t)必定在t=0处获得一个局部极值.那么,g(0)=02022/8/9302022/8/931A2.2.2 二阶条件实值函数局部内点最优化的二阶必要条件设f(x)是二次连续可微的.1.如果在点x*处f(x)达到了一个局部内点极大值,那么,H(X*)是负半定的.2.如果f(x)在点x处达到了一个局部内点极小值,那么,H(X)是负正定的.定理A2.102022/8/932或者H(X*)0,由于z是任意取的,这以为着H(X*)是负半定的.同理,如果在点x=x处f被最小化,那么, g(0)0,使得,H(X)是半正定的.定理

6、A2.10证明设有(p.1)设f(x)在x=x*处取得最大值,根据定理A2.8 必定有g(0)0.在点x*处或者在t=0处给(p.1)取值,2022/8/933定理A2.11 海赛矩阵负定与正定的充分条件设f(x)是二次连续可微的,并设Di(x)是海赛矩阵H(x)的第i阶的主子式.1.如果(-1)iDi(x)0,i=1,n,那么,H(x)是负定的.2.如果Di(x)0,i=1,n,那么,H(x)是正定的.如果在定义域内,对所有x,条件1成立,那么f是严格凹的.如果在定义域内,对所有x,条件2成立,那么f是严格凸的.2022/8/934定理A2.11海赛矩阵负定与正定的充分条件证明证明思路:借助

7、定理A2.4的第四条(如果对于D中所有x,H(x)是负定的,那么,f是严格凹的.)将定理A2.12转化为矩阵的主子式改变符号是负定的,全为正为正定的.(P.2)2022/8/9352022/8/936定理A2.12 实值函数局部内点最优化的充分条件设f(x)是二次连续可微的,则:1.如果fi(x*)=0,(-1)iDi(x)0,i=1,n,那么, f(x)在x*处将会获得一个局部极大值2.如果fi(x)=0 并且Di(x)0,i=1,n,那么, f(x)在x处将会获得一个局部极小值2022/8/9372022/8/938定理A2.13 (无约束的)局部与全局最优化设f(x)是D上一个二次连续可

8、微的实值凹函数.这里,点x*是D的一个内部点,那么如下三个命题等价:1.f(x*)=02.在x*处f获得一个局部极大值.3.在x*处f获得一个全局极大值.证明:显然,32,并依A2.9,21,因此,只需证明13由1.假设,f(x*)=0,由于f是凹的,定理A2.4蕴涵对于定义域的所有x, f(x)f(x*)+ f(x*)(x-x*)结合假设: f(x)f(x*)所以,f在x*处达到全局最大值.2022/8/939定理A2.14 严格凹性/凸性与全局最优化的唯一性1.如果x*最大化了严格凹函数f,那么,x*是唯一全局最大化值点.例如,设f(x*)f(x),xD,xx*.2.如果x最小化了严格凹函

9、数f,那么,x是唯一全局最小化值点.例如,设f(x)tf(x)+(1-t)f(x*),t(0,1) 由于, f(x)=f(x*), f(xt)tf(x)+(1-t)f(x),即f(xt)f(x),这与假设x是f的一个全局最大值的假设矛盾,因此,严格凹函数的任何全局最大值必是唯一的.2022/8/940定理A2.15 唯一全局最优化的充分条件设f(x)是D上一个二次连续可微的.1.如果f(x)是严格凹的,并且fi(x*)=0,i=1,n;那么,x*是f(x)的唯一全局最大化值点.2.如果f(x)是严格凸的,并且fi(x)=0,i=1,n;那么,x是f(x)的唯一全局最小化值点.2022/8/94

10、1A2.3 约束最优化Maxf(x1,x2),受约束于 g(x1,x2)=0 x1,x2目标函数选择变量约束集或者可行集求解方法:代入法1.x2=g(x1)2.Maxf(x1,g(x1)2022/8/942A2.4 拉格朗日方法x1,x2Maxf(x1,x2),受约束于 g(x1,x2)=0L(x1,x2,)f(x1,x2)+ g(x1,x2)定理A2.16 拉格朗日定理2022/8/943A2.3.6 库恩塔克条件x1,x2Maxf(x1,x2),受约束于 g(x1,x2)0L(x1,x2,)f(x1,x2)+ g(x1,x2)非线性规划问题库恩塔克条件:f1+ g1=0f2+ g2=0g(

11、x1,x2)=0g0,g(x1,x2)02022/8/944A2.20 受不等式条件约束的实值函数最优化的(库恩塔克)必要条件2022/8/945A2.4 值函数xMaxf(x1,x2),受约束于 g(x,a)=0,且x0M(a)=maxf(x,a), 受约束于g(x,a)=0, x0 x2(a)x1(a)x2x1L(y*):y*=f(x(a)a)图A2.10:在约束条件g(x,a)=0限定下的f(x,a)的最大值2022/8/946A2.21 包络定理2022/8/947集合论的基本概念和基本结论定义域：凸集连续函数 f关系二元关系完备性传递性D是开集， f-1(B)是开集偏好关系拓扑空间度

12、量空间欧氏空间值域：逆象f-1(S)开集闭集紧集紧集的象是紧集Brouwer fixed point TheoremsS是紧切且凸，f 连续，则 f(x*)=x*A是一个凸集 拟凹函数 f是凹函数 2022/8/948微积分与最优化单变量函数凹性与一、二阶导数等价命题：f是凹的f(x) 0f(x) f(x0)+f(x0 )(x-x0)若f是严格凹的严格不等式成立多变量函数偏导数函数梯度f(x)=(f1(x),fn(x) f11(x),f1n(x) f21(x),f2n(x) . fn1(x),fnn(x)H(x)=海赛矩阵对称性Young Theorem2f(x)/ xi xj = 2f(x)

13、 / xj xi海赛矩阵齐次函数凸集、斜率与凹性的等价命题D是凸的H(x)是半负定的f(x) f(x0)+f(x0 )(x-x0)欧拉定理Kf(x)= f(x)*xi / xi2022/8/949X*=f(x*1,x *2,x *n)是一个稳定点一阶条件X*是一个相对极大值X*是一个绝对极大值d2 x在x*为负定二阶充分条件d2 x在x*为负定二阶必要条件X*是唯一的绝对极大值f是凹的f是严格凹的d2 x在x*为半负定d2 x处处为负定2022/8/950最优化无约束最优化有约束最优化单变量X*处最大值 f(x)=0 (FONC) f (x) 0(SONC)多变量一阶条件X*处最大值 f(x*

14、)=0(FONC)二阶条件必要条件：X*处局部最大值 H(x)是半负定的。充分条件：f(X)是二次可微，1、若fi(X * )=0,且（-1）nD(X *)0,那么，f(x)在 X * 处局部极大。若f(X)是严格凹的，则fi(X * )f(x),对于任意 Xx *.2022/8/951有约束最优化等式约束Maxf(x1,x2)S.t g(x1,x2)=0Maxf(x1, g(x1) )x2 =g(x1)转化成非约束问题Lagrange方法不等式约束Maxf(x) ， x 0必要条件：F连续可微，若x 0，x最大化f，那么， x*满足1） f(x*)/ xi 02） xi *f(x*)=03） xi * 0。库恩-塔克条件2022/8/952微积分与最优化单变量函数凹性与一、二阶导数等价命题：f是凹的f(x) 0f(x) f(x0)+f(x0 )(x-x0)若f是严格