数字图像处理第5章

1、5.1 退化模型5.2 常见退化函数模型及辨识方法（不讲）5.3 图像的无约束恢复5.4 图像的有约束最小二乘恢复第五章 图像恢复基本概念 降质举例：宇航、卫星、航空测绘、遥感、天文学中所得照片，由于大气湍流，光学系统的相差及摄像机与物体之间的相对运动等，会使图像降质。 退化图像：由于各种原因，使得原清晰图像变模糊，或者原图像没有达到应有的质量而形成的降质图像。 图像恢复（复原）： 使退化图像恢复本来面目。 图像恢复过程及其关键：根据图像降质过程的某些先验知识，建立“退化（降质）模型”，运用和退化相反的过程，将退化图像恢复。 图像恢复准则：要用某一客观标准来度量，则为某种准则下的最优估计。概

2、述（c） （d） （e） （f） （a）、（c）和（e）分别为原图像、线性运动模糊图像和散焦模糊图像；（b）、（d）和（f）分别为相应的频率幅度图。散焦退化示例 （a） （b） 概 述概 述图像恢复与图像增强的异同点相同点：图像增强与图像恢复都是改善给定图像的质量。不同点：（1）图像恢复是利用退化过程的先验知识，来建立图像的退化模型，再采用与退化相反的过程来恢复图像，而图像增强一般无需对图像降质过程建立模型。 （2）图像恢复是针对图像整体，以改善图像的整体质量。而图像增强是针对图像的局部，以改善图像的局部特性，如图像的平滑和锐化。（3）图像恢复主要是利用图像退化过程来恢复图像的本来面目，它是一

3、个客观过程，最终的结果必须要有一个客观的评价准则。而图像增强主要是用各种技术来改善图像的视觉效果，以适应人的心理、生理需要，而不考虑处理后图像是否与原图像相符，也就很少涉及统一的客观评价准则。 图像退化的一般模型 图像的退化过程一般都看作是噪声的污染过程，而且假定噪声是加性白噪声，这时退化后的图像为 可理解为综合所有退化因素的函数。此时图像的退化模型如图5.1.1所示。 5.1 退化模型f (x,y)H (x, y) g (x,y)图5.1.1 图像退化的一般模型 实际的成像系统在一定条件下可以近似地看作是线性移不变系统，所以图像恢复过程中往往使用线性移不变的系统模型。 离散退化模型 对图像及

4、其点扩散函数进行均匀采样就可以得到离散退化模型，由于退化过程是卷积过程，线性卷积后点数变长，为了方便计算，需要将各函数进行延拓，具体如下所示：5.1 退化模型所以线性时不变系统的离散退化模型为：该退化模型也称为变形退化模型，见图5.1.3所示，其中 表示循环卷积。 5.1 退化模型图5.1.3 离散退化模型还可以用矩阵描述 其中，f 、g和 表示MN1维的列向量，分别是由MN维的矩阵 、 和 的各行堆积而成，如下所示 ：5.1 退化模型H为MN*MN的矩阵，对于线性移不变系统具有如下特殊结构： 可以看出H是一个分块循环矩阵，而其中Hi也是右移循环阵。这是由于在卷积时利用了 矩阵的周期延拓性。

5、5.1 退化模型循环矩阵H的对角化 根据Hunt的结果，可以对H进行对角化，即 W是一个大小为MNMN维的矩阵，由MM个大小为NN的子块构成： 5.1 退化模型从而D是一个对角矩阵由以上各式并结合：5.1 退化模型式中 表示对 取整，k mod N表示对N除k取余数。 若 ， 和 分别是 ， 和 的二维傅立叶变换。则有 这样整个的求解过程就得到了简化。如果系统是线性移不变的，在空间域中建立的退化模型可通过分块循环矩阵对角化导出频域中的恢复滤波器，将庞大的空域运算转化为相对较少的频域运算。上式对应我们即将讨论的频域退化模型。5.1 退化模型频域退化模型 相对于空域退化模型，在频域可利用DFT的快

6、速算法FFT计算，以加速求解。5.1 退化模型图5.1.4 图像恢复的最终结果是要获取未退化图像的最佳估计，而这种最佳估计是建立在某种客观准则下的。 无约束复原 由退化模型 ， 可得噪声为 在对噪声项没有先验知识的情况下，寻找1个f 的估计 ，使得 在最小均方误差准则下最接近于g，即需要使 的范数最小，也就是使下式达到最小： 5.3 图像的无约束恢复-反向滤波法即目标函数为： 由极值条件：求出 ： 在M=N的情况下，假设H-1存在，则上式变为： 就是无约束情况下的图像恢复结果。 反向滤波法1.反向滤波法 由无约束复原法，得： 对.中各元素进行DFT（FFT），即 则上式变为（其中 ） 由于上式

7、是（正向）滤波公式 的逆（反）过程，故此法称为反（逆）向滤波法。 5.3 图像的无约束恢复-反向滤波法则恢复后的图像为：2.逆滤波法的特点 将频域退化模型 代入逆滤波器， 有 上式包含了我们希望得到的 F(u,v) ，但同时又加上一项由噪声带来的项 N(u,v)/H(u,v) ，当 H(u,v)为0或较小时，该项具有噪声放大作用，有时会造成恢复出的图像面目全非,使用时要特别注意。 5.3 图像的无约束恢复-反向滤波法使用逆滤波时的注意事项： （1）在 H(u,v)=0 的点不做计算。 此时的反向滤波器为:（2）当H(u,v)非常小时，N(u,v)/H(u,v) 对复原结果起主导作用，而多数实际

8、应用系统中，|H(u,v)|离开原点衰减很快，故复原应局限于离原点不太远的有限区域进行。（3）为避免振铃影响，一种改进的方法是取恢复的反向滤波器P(u,v)为: 其中k和d均为小于1的常数，且d选得较小为好。 5.3 图像的无约束恢复-反向滤波法H1(u,v)表示理想低通滤波器,缺点是会出现振铃效应。 5.3 图像的无约束恢复-反向滤波法（a） （d） （c） （b） 不同滤波半径下反向滤波的结果比较（a）直接由反向滤波恢复的图像； （b）、（c）、（d）分别为半径30、50、70的二阶Butterworth滤波器（代替理想低通滤波器）作用后的结果。 对于加入运动模糊和噪声的退化图像直接应用逆

9、滤波的结果显然不能令人满意。基本原理 令Q为 的线性算子，有约束最小二乘恢复就是要使得 最小。这类最小化问题，可用Lagrange算子来处理，设 为拉格朗日乘子，寻找使下面的准则函数最小的 ： 由极值条件 可得： 上式中 ，适当选择这一常数，使约束条件满足，便能求得最佳估计。不同的Q有不同的恢复方法。 5.4 图像的有约束最小二乘恢复维纳滤波法 设Rf和Rn分别为原始图像f和噪声n的相关矩阵，即 令Q为： 则原始图像f在最小均方误差准则下的最佳复原解为： Rf可用循环块矩阵R表示为： 5.4 图像的有约束最小二乘恢复同理： 5.4 图像的有约束最小二乘恢复 利用R的特征向量组成一个W矩阵对其进

10、行对角化，其中对角矩阵A中的元素为相关矩阵Rf中各元素的傅立叶变换。得： B中的元素为 中各元素的傅立叶变换。 代入复原公式可得：整理得到： 用 和 功率谱密度 和 表示A和B矩阵的元素：结果分析（1）r=1时，该滤波器称为标准维纳滤波器，但不能说可以利用上式在约束条件下得到最佳估计；r=变量时，称为变参数维纳滤波器。（2）无噪声时，即 ，即变为逆滤波器，即 因此，反向滤波器可看作是维纳滤波器的一种特殊情况。 （3）在有噪声存在的情况下，相比于反向滤波器来说，维纳滤波器中由于存在 项，会对噪声的放大具有自动抑制作用，同时也不会在H(u,v)为0时出现被0除的情形。 5.4 图像的有约束最小二乘

11、恢复则f的频域最佳估计值表示为（设M=N）：（4)在实际应用中， 和 经常是未知的，因此我们可用一常数k来表示噪声和信号的功率谱密度比，则： 5.4 图像的有约束最小二乘恢复 该式可以使退化图像得到一定程度的恢复，但不一定是最佳恢复。实际应用中，k可通过已知的信噪比来获得。 图5.4.1将不同噪声水平下的反向滤波恢复图像与维纳滤波恢复图像进行比较。可以看出，在强噪声的情况下维纳滤波恢复图像效果明显优于反向滤波，即使在低噪声的情况下，反向滤波的结果也不能令人满意。5.4 图像的有约束最小二乘恢复 (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) （a）被高斯噪声污染的图像；（b）逆

12、滤波恢复图像；（c）维纳滤波恢复的图像；（d）（f）为相应的由噪声方差比（a）小1个数量级的降质图像得到的结果；（g）（i）为相应的噪声方差小5个数量级的图像得到的结果。 图5.4.1 维纳滤波法和反向滤波法恢复图像的效果比较5.4 图像的有约束最小二乘恢复约束最小平方滤波法 由于反向滤波器的病态性质，会导致在H(u,v)的零值附近恢复滤波器 的数值变化剧烈，使恢复后的图像产生多余的噪声和虚假边缘。而这些噪声的强弱和虚假边缘的多少可用图像的二阶导数来表示。通过选择合理的Q，并对 进行优化，可将这些噪声和虚假边缘降至最小，也就是让该二阶导数降为最小，即使称为Laplacian算子。 在离散情况下

13、， 可用下面的差分运算来实现5.4 图像的有约束最小二乘恢复上述运算可用f(m,n)与下面的模板（掩模矩阵）进行卷积来求解。 在离散卷积的过程中，为避免交叠误差，可将p(m,n)延拓为pe(m,n)再卷积。若f(m,n)的大小为 ,则延拓后的M、N应为: 5.4 图像的有约束最小二乘恢复可以写成分块循环矩阵： C中的任一元素Cj是由pe(m,n)的第j行组成的 循环矩阵，即5.4 图像的有约束最小二乘恢复令Q=C,则有约束恢复的结果就变为: 同样可用W矩阵使C对角化，即:式中P(u,v)是pe(m,n)的傅立叶变换。则恢复结果变为：上式中的各元素可写成如下形式（设M=N）：该滤波器就称为约束最小平方滤波器 。5.4 图像的有约束最小二乘恢复约束最小平方滤波法与维纳滤波法比较 它与维纳滤波法相同的是，两者都属于约束恢复，频域的恢复公式类似，但也有本质区别。用约束最小平方滤波器恢复图像时，不需要知道图像和噪声的自相关矩阵Rf 和Rn 。 约束最小平方滤波法的恢复效果如下图5.4.2所示，将其与维纳滤波恢复法的结果相比较，可以看出，带有平滑约束的恢复法能得到更加符合人眼视觉效果的平滑图像，并且在噪声较大的情况下比维纳滤波法的效果明显要好。 5.4 图像的有约束最小二乘恢复（a）