3.1.1 平均变化率1

1、课题：平均变化率江阴市华士高级中学 孟勇教学目标： 知识与技能：1理解并掌握平均变化率的概念,会求函数在指定区间上的平均变化率,能利用平均变化率解决或说明生活中的实际问题；2理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景； 过程与方法：通过从实际生活背景中引出数学模型的过程来引入平均变化率，学会数学抽象思维，注重数形结合的思想方法；情感意志和价值观：1.培养学生分析问题、归纳综合的能力； 2.通过数学文化的渗透，激发学习热情，培养优秀的数学学习品质.教学重点：平均变化率的概念、平均变化率的实际意义和数学意义.教学难点：理解平均变化率的概念及其实际意义.教学过程：一、引

2、言只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅仅表明状态，而且也表明过程：运动。 -恩格斯二、情景引入1、江阴近两周(11月份)日最高气温如下表t(d) 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 T() 20 20 CBA21 17 17 18 20 21 18 18 11 5 8 11 江阴10月17日至10月30日两周日最高气温如下表t(d) 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 T() 24 24 23 21 22 22 21 22 20 19 19 17 15 18 问题1：10月24日，11月22日

3、最高气温分别是_. 设计意图：引导学生读懂表格信息，为下面的问题做准备。问题2：A、B、C三段气温变化有什么共同特点？问题3：A、B、C三轮降温哪一轮更容易感冒？问题4：A、C比较呢？设计意图：通过问题串，引导学生从时间增量、温度增量两个方面比较三段降温人体的感觉，认识eq f(T,t)的实际意义：单位时间内温度的变化量。CABOxy2、过山车是一项富有刺激性的娱乐工具。那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷。问题5：从视觉角度，AB，BC两段曲线有什么区别？ 问题6：如何量化陡峭程度呢？数学思想方法总结：(1)直线斜率近似量化曲线的陡峭程度 -以直代曲(2)平均变化率是曲线的陡峭程度的“数

4、量化”， 曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”-数形结合数学文化链接：(1) 割圆术-刘徽、祖冲之. (2) “数缺形时少直观，形离数时难入微” -华罗庚.设计意图： （1）两个引例都来自于生活，分别代表了函数的两种表现形式：列表法、图像法。（2）让学生理解平均变化率的实际意义，平均变化率是从具体的模型中抽象出来的一个概念，在具体的问题中它的意义会更具体化，比如引例1中即为：“单位时间内的温度变化量”，引例2中即为：“单位长度内高度的变化量”，还有在平均速率中为“单位时间内路程的变化量”.三、构建新知：从“单位时间内的温度变化量”， “单位长度内高度的变化量”， “单位时间内路程的变化量”这些

5、概念，抽象出“平均变化率”的概念.四、数学应用118.66.53.536912W(千克)0例1、某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月以及第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率.设计意图：让学生了解比较变化的过程可以从两个方面，“数”与“形”例2、已知函数f(x)=2x+1, 分别计算f(x)在区间 -3 , -1 , 0 , 5上的平均变化率. 口答：(1)已知函数 g(x)=-2x ,分别计算g(x)在区间 -3 , -1 , 0 , 5上的平均变化率. (2)已知函数f(x)=2x+1, g(x)=-2x，计算在区间m , n上 f(x)及g(x) 的

6、平均变化率. 思考：y=kx+b在区间m，n上的平均变化率有什么特点？结论:一次函数y=kx+b在区间m,n上的平均变化率为斜率k. 设计意图：巩固平均变化率的公式，提炼数学思想：特殊到一般.数学文化链接：哥德巴赫猜想.例3、已知函数 f(x)=x2,分别计算f(x)在下列区间上的平均变化率： （1）1，3；（2）1，2；（3）1，1.1；（4）1，1.001. 变式：（5）0.9，1；（6）0.99，1；（7）0.999，1.设计意图：深化平均变化率公式的运用，引导学生发现规律，为下一节课瞬时变化率、导数的学习做好铺垫.五、深化理解思考：平均变化率相等，曲线陡峭程度一定相同吗？结论：用平均变化率来量化曲线的陡峭程度是“粗糙不精确”的。设计意图：深化平均变化率概念的理解，为下一节课瞬时变化率、导数的学习做好铺垫.六、课堂小结1、平均变化率的定义：一般地，函数f(x)在区间x1,x2上的平均变化率为：eq f(f(x2) - f(x1),x2 - x1).2、平均变化率的意义:将“变化的过程”数量化.3、数学思