用第六章第二部分

1、1962含有积分环节的开环系统根据幅角原理的要求，奈路径不应穿过辅助函数 F (s) 的极点，即要求系统开环传递函数的极点不应落于虚轴上。但 I 型以上的系统存在落于原点上的开环极点；为依旧应用幅角原理建立稳定性判据，需将奈路径调整为如图6-46 所示的四个部分：正虚轴 s j ， 从0 变化至 ；半径为无穷大的右半圆s R ej ， R ， 由 2 顺时针变化至 2 ；负虚轴 s j ， 从 变化至0 ；(4) 半径为无穷小的右半圆 s lim ej ， 0 ， 由 2 逆 0时针变化至 2 。调整后的路径也称为广义奈时，仍包围几乎整个右半 s 平面。将GH (s) 表示为式(6-17)的形

2、式，则在曲线 的第(4)部分，成立图 6-46 广义奈路径路径，其在绕过坐标原点的同 K e jv GH (s) (6-32)s lim ejs lim ejvs 0 0其中，v 为开环传递函数中串联积分环节的个数，即系统的型别。由式(6-32)知，当s 由 j0 沿 ej 的无穷小半圆逆时针变化至 j0 时， 角从90o 经0o 逆时针变化至90o ，相应地，在GH (s) 平面上的曲线将沿着半径为无穷大的圆弧按顺时针方向转过v180o 。当v 0正频率部分曲线的起点及其负频率部分镜像曲线的终点均在无穷远处；两点通过式(6-32)所述无穷大圆弧彼此衔接，进而形成封闭的曲线。如图 6-47(a

3、)、(b)、(c)所示的系统，其正负频率部分的奈曲线即由图中半径无穷大的虚线圆弧连接而成封闭曲线。ImIm 0-Im 0+GH平面GH平面GH平面 0+ ReReRe 0- 0- 0+KKK, (T , T 0), (T 0), (T 0)1 211s(T s 1)(T s 1)s2(T s 1)s(T s 1)1211(a)(b)(c)197ImImImGH平面GH平面GH平面 0+ 0+ Re00Re Re0 0+KKK, (T , T 0), (T 0), (T 0)1 21s(T s 1)(T s 1)s2 (T s 1)1s(T s 1)1111(d)(e)(f)图 6-47 含积分

4、环节系统的奈曲线与辅助线连接而成的封闭曲线由于奈曲线的正、负频率部分关于实轴互为镜像，故判断闭环系统稳定性时，通常只需要绘制 从0 到 时的部分曲线，并增加一条由坐标原点出发，包含实轴且在无穷远处顺时针绕原点v 4 周至 0 的辅助线，使这半边奈闭曲线的绘制方法。设正频率部分奈曲线形成封闭曲线。图 6-47(d)、(e)、(f)图示了这种封曲线与辅助线的封闭曲线包围(1, j0) 点的圈数为N ，则， N 2N 。此时，需将确定右半 s 平面闭环特征根个数的式(6-31)修改为Z 2N P(6-33)若 Z 0 ，则闭环系统稳定，否则闭环系统不稳定。例 6-8 设反馈系统开环传递函数为K (T

5、1s 1)G (s) Ls2 (T s 1)2其中，K 0， T1 T2 0 ，试用奈解：其正频率部分奈判据判断系统的稳定性。曲线的起点为 180o ，终点为 0180o 。由 T1 T2 0 得arctan(T1) arctan(T2) 0 ，这表明频率 从0 到 变化过程中，相角GL ( j) 先由180o 逐渐增大，后又逐渐减小为180o 。对应的正频率部分奈曲线及辅助线如图 6-48 所示。由图，N 0 ，又由GL (s) 知 P 0 ，故 Z 2N P 0 。根据奈判据可知，闭环系统稳定。奈曲线在GH 平面上围绕(1, j0) 点的圈数也可以用正频率部分奈曲线及对应辅助来说，这种线从

6、(1, j0) 点左侧正、负穿越负实轴的次数来表示。对于只给出了正频率特性的表示法方便了在上使用奈判据。曲线自上而下(逆时针)从(1, j0) 点左侧穿过负实轴，称随着 的增大，若正频率部分奈为正穿越；反之，若曲线自下而上(顺时针)从(1, j0) 点左侧穿过负实轴，则称为负穿越；可见，正、负穿越取决于穿越负实轴时相角的增减，相角增大为正穿越，反之为负穿越。图6-49 所示的正频率部分奈曲线，负穿越和正穿越各一次后进入圆，其后再次穿过负实轴，根据正、负穿越的定义，在(1, j0) 点右侧不计算穿越次数。、负穿越的概念，奈曲线在GH 平面上以顺198时针围绕(1, j0) 点的圈数为负、正穿越次

7、数之差。图 6-48 例 6-8 系统正频率部分奈曲线及辅助线图 6-49 正、负穿越的定义对于正频率部分奈曲线及对应辅助线不穿越负实轴的情况，还可进一步引入半次正、负穿越的概念来计算。正频率部分奈曲线及对应辅助线起始于(1, j0) 点左侧负实轴的算半次正穿越(如图6-45 和图6-47(f)所示的情况)，反之，终止于(1, j0) 点左侧负实轴的算半次负穿越，分别如图6-50(a)和(b)所示。如果用 N 和 N 分别表示正穿越和负穿越各自次数的和，则奈包围(1, j0) 点的圈数为N 2N 2(N N ) 2(N N )曲线顺时针(6-34)其中，N N N 为正频率部分奈曲线及对应辅助

8、线顺时针包围(1, j0) 点的次数， N 0 表示奈曲线逆时针包围(1, j0) 点| N | 圈。图 6-50 半次穿越的示意图例 6-9 已知统的稳定性。解：作出其奈反馈系统的开环幅相频率特性如图 6-49 所示，其中， P 0 ， v 1 ，试判断系负频率部分的曲线，并用半径为无穷大的右半圆将 0 和 0 处的特性曲线连接起来，形成如图6-51 所示的闭合曲线。该曲线并未包围(1, j0) 点。因此，闭环系统稳定。下面通过正、负穿越次数来判断。由图6-51 可知其正频率部分曲线与负实轴有三个交点，从左至199右分别记为 P3 、 P2 和 P1 。，点 P3 和点 P2 处各负穿越和正

9、穿越一次，即 N N 1 。故N 2(N N ) 0 ，闭环系统稳定。图 6-51 例 6-9 系统的奈曲线若将例 6-9 中的系统开环传递函数表示为GL (s) KG0 (s) s ，则改变传递系数 K 时，交点 P1 P3的位置将发生变化。当 K 缩小到一定范围时， (1, j0) 将落于点 P3 和 P2 之间，而当 K 增大到一定范围时， (1, j0) 将落于点 P1 和原点之间。这两种情况系统的奈曲线均包围(1, j0) 点，因而系统不稳定。这种参数 K 无论增大还是减小都可能不稳定的系统称为条件稳定系统。上面介绍了开环系统具有积分环节 非零极点的情况，只要建立合适的广义奈6.5.

10、4基于对数频率特性的奈稳定判据的应用。对于开环传递函数在虚轴上具有路径，其分析过程与本节内容类似。稳定判据在工应用广泛，因此利用判断闭环系统稳定性也是奈稳定判据的一种常用形式。由图6-52 可见极坐标与相应的对数坐标之间具有以下对应关系：(1) GH 平面上的圆对应上的0 分贝线；在GH 平面上圆内、外区域分别对应0 分贝线以下和以上的区域，即 L() 0 和 L() 0 的部分。(2) GH 平面上的负实轴对应根据上述对应关系就可以在上的180o 线。上判断正频率部分奈曲线及对应辅助线从(1, j0) 点左侧对负实轴的正、负穿越情况。例如，在 L() 0 的区间内，() 曲线自下而上通过18

11、0o 线为正穿越，而() 曲线自上而下通过180o 线为负穿越。200图 6-52上的正、负穿越示意图只包含了 从0 到 的正频率部分的奈曲线，判断正负穿越情况时，还需要在对数相频特性曲线上补画 由 0 变化至 0+的辅助线。如图6-53所示，在该辅助线上，相角随 增大迅速减小（顺时针方向），且变化量为v 90o 。计算正、负穿越次数时，应将补上的辅助线看成对数相频特性曲线的一部分。若辅助线穿过180o 线后变化量达到360o 以上则视为再次穿越。这样，在开环对数幅频特性 L() 0 的所有频率范围内，对数相频特性曲线对180o 线的正、负穿越次数之差就等于正频率部分奈曲线及对应辅助线从(1,

12、 j0) 点左侧正、负穿越负实轴的次数之差 N N 。图 6-53 在相频特性曲线 0 处添加辅助线综上所述，基的奈稳定判据可表述如下：设开环传递函数GL (s) 在右半s 平面的极点数为 P ，且在开环对数幅频特性 L() 0 的所有频率范围内，相频特性曲线及对应辅助线对180o 线的正、负穿越次数之差为 N N 。若2(N N ) P ，则闭环系统稳定；否则，闭环系统不稳定，并有 Z 2N P 个特征根落于右半 s 平面。例 6-10 已知一负反馈系统的开环传递函数在右半s 平面无极点，其开环对数频率特性曲线201如图6-53 所示，其中， v 2 ，试判断其稳定性。解：由题意知P 0 。

13、开环传递函数有两个积分环节，故应在( 0 , 180o ) 处由下向上补画一条辅助线，其中 为无穷小的正数。该辅助线相角总变化量为v 90o 180o 。因此， 沿对数相频特性曲线及对应辅助线增大的过程中，相角( ) 的变化范围为0o 180o 180o ，即负穿越一次，而 0 后无穿越， 2N 2 P ，因此闭环系统不稳定，且在右半 s 平面有两个极点。6.6稳定实际系统的模型一般总存在不确定性，测量误差、环境变化、器件老化等各种均会引起参数变化，甚至可能改变系统的动态特性。此外，建模过程中的模型简化也往往会忽略一些次要，比如某些小惯性环节或者高频振荡环节。因此，根据奈稳定判据所得的绝对稳定

14、性结果，对于实际系统来说可能存在偏差。同时，人们也无法一一检验各种可能的变化或者被忽略的环节以及各种组合对系统稳定性有何影响。工往往希望一个已经判明为稳定的系统本身具有在这些不确定性影响下仍能保持稳定的性质，此即为相对稳定性的概念，也称为“ 稳定” 。换句话说，工可用的系统不仅要求稳定，还应具有相当的稳定。6.6.1幅稳定和相稳定在第 3 章，稳定采用闭环系统左半s 平面极点与虚轴的最短距离来衡量，即包含相对稳定性的概念。当虚部大小不变，该距离越短，则阻尼系数 越小，超调量 % 越大，因此阻尼系数和超调量的大小在一定程度上反映了闭环系统的稳定。与此对应，在频域中对于一个开环传递函数不包含右半

15、s 平面零、极点的最小相位系统而言， GL ( j) GH ( j) 与临界点(1, j0) 间的距离往往决定了闭环控制系统的超调量和调节时间。一般而言，奈曲线距离(1, j0) 点越近，闭环系统响应振荡就越激烈，稳定也就越低。换句话说，位于临界点附近的奈曲线对系统稳定性影响很大，故可用曲线靠近(1, j0) 点的程度表征系统的相对稳定性。此外，很显然对于不稳定的系统谈稳定是没有意义的。在频率法中，稳定是一种基于开环频率特性的指标，包括幅稳定和相稳定，它们既可以在奈幅值图中表示，也可以在中表示，两种表示方式的对应关系如图6-54 所示。幅值是指系统开环频率特性相位为 180o 时，其幅值的倒数

16、，即KGMGH ( jg )或 LGM 20lg KGM 20 lg GH ( jg ) dB ，其中，满足GH ( jg ) 180o 的频率 1KGM g 称为相位穿越频率。幅值KGM 的物理意义是：对于闭环稳定的系统，如果系统的开环传递系数再增大 KGM 倍，则系统将处于临界稳定状态，即 KGMGH ( jg ) 1 。若增大 KGM 倍以上，则闭环系统不稳定。显然，幅值KGM 只对高于二阶的系统才有意义；对于二阶以下的系统， KGM 为无穷大。相位相位 是指系统开环频率特性的幅值为 1 时，其相位与180o 之和， 即 180o GH ( jc ) ，其中，频率c 满足| GH ( j

17、c ) | 1 ，因 L(c ) 20lg | GH ( jc ) | 0 且一般对于202 c 有 L( ) 20 lg | GH ( j ) | 0 ，故称其为截止频率，也称幅值穿越频率或简称穿越频率。图 6-54 幅值和相位的表示相位 的物理意义是：对于闭环稳定的系统，如果系统开环相频特性再滞后 ，则系统将处于临界稳定状态。若相位滞后增加量超过 ，则闭环系统不稳定。对于最小相位系统，欲使系统稳定需保证 0 或KGM 1 。当然，为保证在许多不确定作用下系统仍能保持稳定，应使幅值和相位都足够大。但是，稳定过大往往会影响系统的其他性能，比如系统响应的快速性。工一般选择幅值LGM 为 620

18、dB，相位 为30o 60o 。例 6-11 某反馈系统开环传递函数为GH (s) Kg (s 2)s(s 1)(s 20)试分别求 Kg 100 和 Kg 1000 时，系统的幅值和相位。解：先将系统开环传递函数转换为时间常数表示的形式：0.1Kg (0.5s 1)GH (s) s(s 1)(0.05s 1)(1) 当 Kg 100 时，系统的如图6-55 所示。无论Kg 如何增大，开环系统相位GH ( j) 始终大于180o ，因此幅值 。按渐近特LGM性有20 lg(0.1Kg ) 40 lg(2 1) 20 lg(c 2) 0 ，可求得c 5 rad / s ，并易得相位GH ( jc

19、 ) 115o 。因此，相位 65o 。此时，闭环系统稳定。(2) 当 Kg 1000 时，系统的如图6-56 所示。同理，幅值 。按渐近特性易得c 31.6 rad / s ，相应相位约为150o 。因此，相位LGM 30o 。此时，闭环系统依然稳定。开环增益增大了 10 倍系统稳定依然满足工对相位的一般要求，这在很大程度上得益于零点s 2 抵消了其都很平缓。极点s 1滞后相位对系统稳定性的影响，使得相位在相当宽的频段内下降203令GH ( j) 的虚部为0 ，求出相位穿越频率 g ，即可按定义计算幅值。相对于截止频率和相位，相位穿越频率和幅值的计算稍显麻烦，因而在数字计算机尚未普及时，工采

20、取相位值来衡量闭环系统的性能。不过，现在已有很多现成的计算机辅助，相位穿越频率和幅的计算其实也很方便，详见 6.9 节。图 6-55 例 6-11 中 Kg 100 时系统的图 6-56 例 6-11 中 Kg 1000 时系统的例 6-12 设两个反馈系统的开环传递函数分别为10G (s) 1s(s 1)和10G (s) 2s(s 1)(0.1s 1)试求两系统的幅值和相位。解：图6-57 所示为利用得到的，可计算其幅值和相位分别为：LGM 1 ，1 18o ； LGM 2 1.1 ， 2 1.58o 。两个闭环系统均稳定，但前者的幅值和相位远大于后者。204图 6-57 例 6-12 系统

21、的例 6-12 说明忽略开环小惯性环节即便不一定导致系统稳定性的误判，在相对稳定性的分析过程中，也容易得到错误的结果。另外，若添加延迟环节，则其所引入的相位滞后 将随频率增大而迅速增大，也会大大削弱闭环系统的相对稳定性，甚至使相位为负值( 0 )从而导致不稳定。由图6-57 还可以看出，由于相位通常随频率增加而减小，故往往可通过减小开环传递系数，使对数幅频特性下移，降低截止频率c 而得到更高的相位。需要的是，稳定一般适用于以下两类系统：开环系统是最小相位的系统；含有纯时延且不含右半 s 平面零点的开环稳定系统。对于开环不稳定的非最小相位系统和 6.5.3 节提到的条件稳定系统，简单的稳定不再适

22、用。例如，图 6-58(a)所示的两个系统的开环幅相频率虽然具有相同的幅值，但是曲线G2 ( j) 显然离临界点(1, j0) 更远，因而相应的闭环系统也就比曲线G1( j) 对应的闭环系统稳定程度要高。同理，图6-58(b)给出的两个系统相位相同，但G1( j) 更为远离(1, j0) ，因而相对稳定性更优。注意到，只要添加适当的纯时延环节，图6-58(a)和(b)中的G1( j) 均可变为条件稳定系统。此时不能用简单的稳定来估计系统动态性能，而需结合仿真或实验等其他方法检验分析结果的有效性。图 6-58 稳定的局限性6.6.2稳定与时域性能指标的关系开环频域指标稳定与闭环系统时域性能指标之

23、间的定量关系是要研究的一个重要内容。由于最小相位系统的对数幅频特性与相频特性存在唯一确定关系，而纯时延环节仅影响开环系统的相位，因此，关于稳定与闭环系统时域性能指标之间的联系，通常以研究相位 与时域性能指标之间的量化关系为主。如第四章所述，工一般可将系统的动态行为降阶近似为典型二阶系统来处理，因此可基于典型二阶系统来建立时、频域性能指标之间的经验关系。2051典型二阶系统典型二阶系统的闭环传递函数为n2T (s) (6-35)2 s 2s 2nn其对应的反馈开环频率特性为n2j( j 2n )n2G( j) 90 arctan(6-36)2n 2 4 2n2n2由于 满足 A( 1 ，可求得截

24、止频率为c ) cc c2 4 2n2c n4 4 1 2 2(6-37)故系统的相位为c2 arctan 2 180o G( j ) 180o 90o arctan(6-38)c4 1 242n式(6-38)表明，典型二阶系统的相位 和阻尼比 存在一一对应关系。由相位 即可求出对应的阻尼比 ，进而求出超调量 % e 1 2 、衰减比nd e21 2 以及最大偏差等时域性能指标。图6-59 给出了根据式(6-38)绘制的 曲线，为了便于比较，图中还包括了时域指标超调量 %与阻尼系数 的关系曲线。由图示曲线可知，相位 越小，则阻尼系数 越小，超调量 % 越大。为了使系统具有良好的动态性能，一般取

25、 30o 。若调节时间取为ts 3 (n ) (取 0.05 )，与式(6-37)相乘得 3t 4 4 1 2 2(6-39)s c再将式(6-38)代入式(6-39)，6tan t (6-40)s c将式(6-40)的函数关系绘成曲线如图6-60 所示。可见，调节时间ts 与相位 和截止频率c 都有关。当 一定时，ts 与c 成反比。因此，若两系统相位等，且c 较大的系统因响应更快而调节时间较短。相等，而c 不同，则两者闭环系统的超调量相206图 6-59典型二阶系统 % 、 与 的关系图 6-60 典型二阶系统的 tsc 曲线例 6-13 某随动系统的开环传递函数为KG (s) ,K 0L

26、s(Ts 1)试判断 K 0.4 T 时，系统阶跃响应最大超调量是否小于5，并估计调节时间ts 。解：该系统开环对数幅频渐近特性曲线如图6-61 所示。改变 K 值不会影响相频特性，但会使对数幅频特性曲线上下移动，从而改变截止频率c 的大小，导致相位图 6-61 例 6-13 系统的和闭环系统阶跃响应超调量发生变化。为此可通过c 的取值间接判断。查图 6-59 知，为使阶跃响应的最大超调量 % 5% ，需 65o 。由定义 180o (90oc tan 25o T 0.4663 T 。根据其对数幅频渐近特性，若c 落于1 T 之前， arctan(cT ) 65o则有 L() 20lg K 2

27、0 lg ，解 L(c ) 0 得c K 。因 K 0.4 T 时， c K 必小于0.4663 T ，故系统阶跃响应最大超调量小于 5%。由图 6-60 可知，此时的阶跃响应调节时间ts 7T。2高阶系统对于一般的三阶或三阶以上的高阶系统，要准确推导开环频域指标与时域指标之间的关系难度较大，即便得到这样的关系式，使用起来也不方便。此时，可考虑采用下述经验公式： % 0.16 0.41 100%1(6-41) sin 和2 1 1ts 2 1.5 sin 1 2.5 sin 1 (6-42)c 图 6-62 高阶系统时域与频域性能指标关系207其中，90 35 。图6-62 给出了按上述两式绘

28、出的曲线，可见随着 值的增加，系统超调量 % 和调节时间ts 都会明显下降。应的是，按式（6-41）和（6-42）所作的性能估计往往过于保守。在控制系统的分析与设计中，通常依旧按典型二阶系统来近似处理，并留有一定的的有效性。，同时通过仿真等来检验分析结果6.7基于开环对数频率特性的系统性能分析尽管控制系统分析和设计均以满足闭环性能指标为最终目标，但当发现所设计的系统的性能指标不满足要求时，改进设计的方式往往是从开环系统入手，这也是基于开环频率特性的分析和设计方法被广泛采用的重要原因。对于 6.6.1 节所的、稳定分析。设开环最小相位系统的频率特性为m1所适用的两类系统，通常采用进行m1(mm1

29、 ) 2( ji 1)(1 22 2 j )ii iG ( j) GH ( j) KLi1im1 1(6-43)Ls vn1vn1(nvn1 ) 2( jTl 1)(1 Tl22 2 j lTl)l v1lvn11其中， KL 0 为开环传递系数，也简称放大系数， 0 i 1 、0 l 1 、i 0 和Tl 0 为常数。对于开环系统(6-43)中添加了延迟环节的情况，因不影响幅频特性，只需相应考虑延迟环节所引起的附加相位滞后即可。本节利用开环系统(6-43)的对数幅频特性，分别在低频、中频和高频三个频段分析开环对数幅频特性与闭环系统性能指标的关系。6.7.1低频段特性与系统稳态误差的关系由于系

30、统的稳态误差取决于静态误差系数，所以如何在上接近 0 处求取静态误差系数就成为确定系统稳态误差的关键。对于开环系统(6-43)，在低频段有L() 20 lg1 20lg KL 20v lg 20lg KL 20v lg由此低频段渐近线的斜率为(6-44)dL() 20v(6-45)d lg由式(6-45)可知，由低频段对数幅频特性曲线的斜率可 确 定 开 环 系 统 的 型 别 v 。 若 记 0 为 使 L(0 ) 20lg KL 20v lg0 0 的频率，则低频渐近线或其延长线与贝线的交点如图6-63 所示。根据系统的型别可确定系统的稳态误差如下：(1) 对于 0 型系统( v 0 )，

31、系统的静态位置误图 6-63 低频渐近线或其延长线与贝线的交点208差系数为K p lim GL (s) KL ，而静态速度误差系数 Kv 和静态加速度误差系数 Ka 均为0 。系统位s0置、速度和加速度响应的稳态误差分别为： essr 1 (1 Kp ) 、essr 1 Kv 和essr 1 Ka 。(2) 对于 型系统( v 1 )，系统的静态速度误差系数为 Kv lim sGL (s) KL 0 ，静态位置误差s0位置、速度和加速度响应的稳态误差分别系数为 Kp ，而静态加速度误差系数为 Ka 0 。系统为： essr 1 (1 Kp ) 0 、essr 1 Kv 1 0 和essr 1

32、 Ka 。(3) 对于系统，系统的静态加速度误差系数为 K lim s G (s) K ，而静态位( v 2 )22aLL0s0置误差系数 Kp 和静态速度误差系数 Kv 均为 。系统位置、速度和加速度响应的稳态误差分别为：。) 0 、e 1 K 0 和e 1 K 1 2e 1 (1 Kssrpssrvssra0结论：在低频段，开环对数幅频特性 L() 的斜率对应于系统的型别，据此可方便地确定系统的静态误差系数，一旦求出静态误差系数就可根据 4.6.2 节给出的表 4-3 迅速获得闭环系统相应的稳态误差。一般来说，反馈控制系统最常见的是要求对阶跃响应稳态误差为零(如恒值调节系统)或要求对速度响

33、应稳态误差为零(如随动系统)，因此，典型控制系统的 L() 在低频段常见的斜率为20或40，也就是具有一阶或二阶无差度(即v 1 或v 2 )。6.7.2中频段特性与系统瞬态性能的关系通常将截止频率c 附近的频段称为中频段，一般为 30 dB 到15 dB 之间的频段。根据截止频率c的定义，一般c 越大，系统的快速性越好，但对于确定的开环传递函数，截止频率c 与稳定密切相关，通常不能单独调整。因此，闭环系统的瞬态响应的好坏主要依赖于 L() 的中频段所确定的稳定，瞬态性能要求系统具有 定的相对稳定性来保证，而这正是采用稳定分析和设计控制系统的合理性所在。数学上可以证明，（前边已经提到过两者之间

34、存在一一对应关系，此处可不重复）对于最小相位系统，对数幅频特性与相频特性存在唯 的确定关系，并且两者之间存在严格的换算公式。当 L() 在某个频率a 附近前后相当宽的频段内斜率保持不变时，则在频率a 处的相位可近似为m ( ) 90 4.5 m (o )o(6-46)a20其中，m （建议用别的符号表示，因为m文已多次用于表示传递函数分子的阶次）为频率a 附近前后一段频段所保持的常斜率，为dB/dec 。需要注意的是，式(6-46)的准确度取决于a 附近前后常斜率保持的频段是否足够宽。一般情况下，截止频率c 处相位与整个对数幅频特性曲线各段斜率有关，除了L() 在中频段本身的斜率外，离截止频率

35、c 越近的频段斜率对相位影响越大。通常可基于式(6-46)给出的相位近似关系再结合 L() 的中频段宽度和中频段前后频段的斜率来估计相位 180o (c ) ，一旦获图 6-64 例 6-14 中的开环对数幅频渐近特性209得了相位下面举例 估计值，根据其与时域性能指标的关系，就可估算出确定系统瞬态性能的时域指标。中频段开环对数幅频特性 L() 与系统相位 的关系。例 6-14 设系统的开环频率特性为KL ( jT1 1)GH ( j) , T T （ T T 0 ）(6-47)1212( j)2 ( jT 1)2试分析相位 与系统结构参数的关系。解：首先，绘制出系统开环对数幅频渐近特性曲线如

36、图6-64 所示。(1) L() 的中频段斜率与相位 的关系。系统的相位为 180o (c ) 180o (180o arctan(T1c ) arctan(T2c ) arctan(T1c ) arctan(T2c )(6-48) arctan c arctan c12式中，1 1 T1 ，2 1 T2 。由式(6-48)可知：若c 不变，则1 增加和2 减小均使得 L() 的中频段斜率为20的区间减小。中频段宽度减小意味着前后频段的影响加大，而其前后频段的斜率均为40，这将导致相位大，从而相位 减小。同理可知，1 减小和2 增加都使 L() 的中频段斜率为20的区间宽度增 增加。(2) 开

37、环放大系数 KL 与相位 的关系。若改变开环放大系数 KL ，则整个对数幅频特性 L() 会相应上下平移，而对相频特性无影响。当 KL增加时， L() 上移，截止频率c 向右移而向2 靠近，此时斜率为40的高频段影响是使相位滞后增加，从而导致相位 减小。反之，当 KL 减小时， L() 下移，截止频率c 向而向1 靠近，此时斜率为40的低频段影响也是增加相位滞后，从而也导致相位 减小。由于中频段两端频段的斜率均为40，这种对称性意味着改变开环放大系数 KL 能使相位到最大值。例如，令达 arctan c arctan c ,h 2 1(6-49)1h11根据d d(c 1) 11 h 0(6-

38、50)1 (c 1)21 (c h1)2由此解得h (c ) ，进一步得 h22 ，即21c11 2lg 1 (lg lg )(6-51)c122可见，此时截止频率c 落在对数坐标lg1和lg2 的几何中心，系统的相位达到最大值 max ，即210 arctan c arctan c arctan h arctan1h(6-52)maxh11式(6-52)也证实了 L() 的中频段越宽( h 越大)， max 越大。换句话说，L() 的中频段保持斜率为20不变的区段越宽，斜率20所对应的相位越有保证，即(c ) 越靠近90o ，而 max 越靠近90o 。结论：根据式(6-46)给出的近似关系

39、可以估算，具有合适相位的控制系统( 30o 60o )，其 L() 在中频段穿过数常常可获得最大相位影响。贝线的斜率应为20，并且具有足够的宽度。另外，调变开环放大系，也可以改变增加截止频率c ，但相位 与截止频率c 两者会互相6.7.3高频段特性与闭环频率特性的关系在中频段之后就是高频段。由于时间常数较大的环节在开环对数频率特性的中频段作用突出，故高频段对数幅频特性一般取决于小时间常数环节。又因小时间常数环节的转折频率均远离截止频率c ，所以通常可忽略其对稳定指标的作用。 L() 的高频段特性主要是影响系统的抗高频干扰的能力，这也是高频段对系统性能影响的实际意义所在。设系统的闭环频率特性为T

40、 ( j) G( j)(6-53)1 GH ( j)在高频段，一般 20lg GH ( j ) 0 ，即 GH ( j ) 1 ，由此得T ( j) G( j) G( j)(6-54)1 GH ( j)式(6-54)意味着一般在高频段闭环对数频率特性近似等于系统前向通道的对数频率特性；或者对于单位反馈系统( GH ( j) G( j) )，在高频段闭环频率特性近似等于开环频率特性。因此，系统前向通道在高频段的幅值直接地反映了闭环系统对高频输入信号的抑制能力，其高频段分贝值越小，抑制高频信号的衰减作用越大，系统抗高频干扰的能力就越强。应的是，为实现快速而准确的测量，传感器的带宽通常比前向通道的带

41、宽高得多，其幅值在相当宽的频段内近似保持恒定。在这些频段内，开环频率特性的幅值近似正比于前向通道频率特性的幅值。故此，开环频率特性在高频段的分贝值亦可反映系统的抗高频干扰能力，该值越小，闭环系统抑制高频噪声的能力越强。结论：在高频段，系统前向通道的对数幅频特性或者开环对数幅频特性(反馈时)与闭环对数幅频特性近似相等，因而决定了该高频段的闭环对数幅频特性。一般地说，反馈控制系统均有要求，这决定了 L() 在高频段通常呈现较大的负斜率。6.8闭环频率特性与系统性能指标反馈控制系统的性能也可以用闭环频率特性来分析，并采用闭环频率特性的综合设计方法。限于篇幅，关于闭环频率特性本节仅介绍两个方面的内容：

42、1）如何从开环频率特性求取闭环频率特性；2）闭环频率特性的特征量与系统时域性能指标之间的关系。2116.8.1闭环频率特性的求取1利用向量法求闭环频率特性考虑图 6-65 所示的反馈系统，其开环和闭环频率特性G( j) 和T ( j) G( j) 均为复数。1 G( j)在极坐标中可采用向量形式描述开环和闭环频率特性两者间的几何关系，如图 6-66(a)所示。图 6-65反馈系统图 6-66 利用向量法求闭环频率特性记G( j ) uuur uuuruur u urOA | OA | ej 和1 G( j ) PA | PA | ej 。系统的闭环频率特性可化为：11uuruuur G( j

43、) | OA | OA |j ) j1 e uuur eT ( juuur(6-55)11 G( j )| PA | PA |1即闭环频率特性的幅值等于向量 uuur 和uur 的幅值比，而相位等于 。根据式(6-55)就可以在OAPA (0, ) 范围内逐点图解计算出闭环频率特性曲线，如图 6-66(b)所示。若G( j) 在1 附近非常接近于(1, j0) 点， | T ( j1) | 会因| PA | 值过小而取一非常大的数值，表明闭环系统将会显著放大1 附近频段的信号，其阶跃响应亦将表现为该频率的振荡。这也解释了第 6.6 节中为什么以开环频率特性接近(1, j0) 点的程度来衡量系统

44、的相对稳定性。2利用等 M 圆图和等 N 圆图求闭环频率特性对于图 6-65 所示的反馈系统，记T ( j) M ()ej () ，其中， M () 和 () 分别为闭环幅频特性和相频特性，分别简记为 M 和 。若记G( j) P jQ ，则有G( j) 1 G( j)P2 Q2P jQM T ( j) (6-56)1 P jQ(1 P)2 Q2和G( j)P jQ T ( j) (6-57)1 G( j)(1 P) jQ1) 等 M 圆图212对式(6-56)进行开方并整理P2 (1 M 2 ) 2M 2P M 2 (1 M 2 )Q2 0(6-58)当 M 1 时，由式(6-58)P 1

45、0.5 ，即所有 M 1 的点在复平面上连接成一条通过2(0.5, j0) 点且平行于虚轴的直线。当 M 1 时，用1 M 2 除以式(6-58)各项并配方处理22M 2M Q2 P (6-59)1 M 2 1 M 2 故在复平面上，除了M 1 外，所有M 值相等的点一条圆心在 ，半径为M 2M的, j0 21 M1 M 2封闭圆周曲线，如图6-67 所示。2) 等 N 圆图Q1 P由式(6-57) arctan。若令 N tan ，则有PQ Q P 1 P QN tan arctan1P2 P Q2P 1 PP1即P2 P Q2 Q 0N对此式进行配方处理1 2 22111 P 2 Q 2N

46、 42N(6-60)式(6-60) 表明，在复平面上，所有 N tan 值相等的点均在圆心为 1 ,j ，而半径为12N 2211的圆周上，如图6-68 所示。 42N213图 6-67 等 M 圆图图 6-68 等 N 圆图3) 求闭环频率特性在绘有等 M 圆图和等 N 圆图的图纸上，以相同比例绘出开环系统的正频率部分奈曲线G( j) ，如图 6-69(a)和(b)所示。由G( j) 曲线与等M 圆和等 N 圆的交点可读出频率值 以及在此频率下闭环频率特性的幅值 M () 和相位 () 。用光滑曲线描点即到闭环频率特性曲线。3利用图求闭环频率特性对于图 6-65 所示的反馈系统，将等M 图(

47、一般以 dB 为，即20 lg M )和以角度为的等 图合并绘制在同一张采用对数幅相特性曲线坐标系 20 lg A() ( ) 的图纸上，则出两簇以频率 为参变量的20 lg M () 和 () 曲线，分别用实线和虚线表示，如图 6-70 所示的图线。由于采用对数刻度，此时的等M 曲线发生变形不再是圆周。由图6-70 可见，图线对称于180o 轴线。临界点(1, j0到点(0dB, 180o ) 周围。图线上就是点(0 dB, 180o ) ，等M 轨迹环绕在临界214图 6-69 利用等 M 和等 N 圆图绘制闭环频率特性采用图线，由开环频率特性确定闭环系统频率特性时，可以相同比例尺先在一张

48、透明的纸上绘制出开环系统的对数幅相特性曲线，即 6.3.3 节介绍的曲线，然后将其在图上，开环对数幅相特性曲线与等M 曲线和等 曲线的交点，就给出了该频率点上闭环系统频率特性的幅值M 和相角 的数值。若开环对数幅相特性曲线与等M 轨迹相切，则切点就是闭环频率响应的谐振峰值 Mr ，切点处频率就是谐振频率r 。215图 6-70图线例 6-15 设反馈控制系统的开环频率特性为Kj( j 1)(0.5 j 1)G( j) 若 K 1 ，试用图线绘制闭环系统频率特性；若 K 增大，试分析对闭环系统性能的影响。解：首先，绘制出开环对数幅相特性曲线，并将其于图上，如图6-71(a)中粗实线所示；然后，由

49、开环对数幅相特性曲线与图上等M 轨迹和等 轨迹的交点，分别求出各频率下闭环对数幅值M 和相角 的数值，并分别绘制闭环对数幅频特性曲线M () 和闭环对数相频特性曲线 () ，如图 6-71(b)所示。最后，读图r 0.8 rad / s 。谐振峰值为 20 lg Mr 5 dB ，对应的谐振频率为当 K 增大时， L( ) 20lg A( ) 也增大，但相角() 不变，在图 6-71 中表现为开环幅相特性曲线向上平移。由图可知，此时开环对数幅相特性曲线与等M 轨迹相切点的M 值增大，即M r 值增大，闭环系统阶跃响应的超调量增大。216图 6-71 利用图绘制闭环4非反馈控制系统的闭环频率特性

50、注意到前面考虑的均为反馈情况，对于非反馈控制系统可按图6-72 进行结构图变换。图 6-72 非反馈系统变换为反馈系统即将闭环系统的频率特性写成T ( j) G( j)H ( j) 1(6-61)1 G( j)H ( j) H ( j)可见，非反馈控制系统的闭环频率特性就是G( j)H ( j) 1 G( j)H ( j) 和1 H ( j) 的积。因此，可按通常的方法对两者分别处理，然后再将两者的对数频率特性叠加即可。闭环频域指标与时域性能指标的关系可用若干特征量来描述闭环幅频特性曲线的特点，这些特征量在很大程度上能间接地反映闭环系统时域响应的品质，故也称为闭环频域性能指标。现根据图6-7

51、所示的反馈控制系统典型幅频特性，详细说明如下。零频振幅比M (0) ：指在 0 时闭环幅频特性的数值。若闭环系统稳定，则系统阶跃响应的稳态值与输入成比例。稳态误差为零意味着输出稳态值应等于输入，即M (0) 1 。因此， M (0) 的大小直接反映了系统的稳态精度， M (0) 越接近于 1，系统的稳态精度越高。谐振峰值M r ：指闭环系统幅频特性的最大值，表明系统对频率为r 处的输入信号具有最大增益。通常，M r 的值越大，系统阻尼系数越小，阶跃响应的超调量 % 越大，因而系统的相对稳定性也越差。(3) 谐振频率r ：指闭环系统幅频特性出现谐振峰值时所对应的频率，为rad / s ，它在一定

52、程度上反映了系统瞬态响应的速度。一般而言， r 值越大，系统瞬态响应越快。(4) 带宽频率b ：当闭环系统频率特性的幅值由初始值M (0) 减小到 0.707 M (0) (或零频率分贝值以下 3 dB)时，所对应的频率b 称为带宽频率，为rad / s 。而 0b 的频率范围称为系统的带宽或通频带。系统的带宽反映了系统对噪声的滤波特性，同时也反映了系统的响应速度。一般情况下，带宽越大，瞬态响应速度越快，但对高频噪声的抑制能力也越差。与开环频域性能指标一样，闭环频域性能指标与时域性能指标之间的经验关系通常也是基于典型二阶系统而建立的。2171典型二阶系统典型二阶闭环系统的频率特性为2T ( j

53、) n(6-62)( j) 22 ( j) 2nn则其幅频特性为2M () T ( j) n(6-63)(2 2 )2 (2 )2nn令d(M () d 0 求得M1r2 1 2(6-64) 1 2 2rn式(6-64)表明，谐振峰值M r 和谐振频率r 均与阻尼系数 存在对应关系。阻尼系数 越小， Mr 越大，谐振峰形状越尖，而谐振频率r 越高，振荡越激烈。当 0.707 时，不出现谐振峰值M r 。当M r较高时，系统的超调量往往较大，收敛慢，平稳性和快速性都较差。一般常用值为M r 1.2 1.8，对应的阶跃响应最大超调量 % 20% 40%，此时系统动态过程振荡幅度适度，平稳性和快速性

54、较好。按定义，令 M () 0.707M (0) 0.707 可求得带宽为b n 1 2 2 2 4 2 4 4若取ts 3 (n ) (取 0.05 )，则根据式(6-64)和式(6-65)分别得(6-65) 3 t1 2 2(6-66)r s 和 3 t1 2 2 2 4 2 4 4(6-67)b s 由式(6-64)式(6-67)可知，对于二阶系统，给定谐振峰值M r ，则阻尼系数 确定，调节时间ts 与谐振频率r 和带宽b 均成反比，即带宽越大，谐振频率r 越高，调节时间越短。2高阶系统对于高阶系统，很难找出频域性能指标与时域指标之间的一般性关系式，常用下列两个经验公式进行估算： %

55、0.16 0.4(M r 1)100%(6-68)和t 2 1.5(M 1) 2.5(M 1)2 (6-69)srrc式中，1.8 Mr 1，c 为截止频率。以上两式表明，M r 增大，则超调量 % 和调节时间ts 都会增加，218因此M r 在很大程度上决定了系统的动态性能。应说明的是，按式(6-68)和式(6-69)估算高阶系统的时域指标一般偏于保守，实际性能往往会比估算结果要好。工按典型二阶系统来估算。更为常用的方法还是预留足够的，频域指标和时域指标之间的关系通常不是精确的，根据这些频域指标估算的系统性能还应通过仿真等方式加以检验。6.9利用进行控制系统的频率特性分析6.9.1绘制奈给定

56、传递函数，借助图和可以迅速绘出系统的奈图和，并可确定相位、幅值等性能指标。例 6-16 已知一负反馈系统的开环传递函数为10G(s) s(s 1)试绘制其奈图和，并确定系统的稳定。解：编写 M 文件 ex6_16 m 如下：clear clc K=10; z=;p=-1, 0;sys=zpk(z, p, K); figure(1) nyquist(sys);axis(-10,1,-10,10);%清空工作空间(变量)%清屏幕%开环零点%开环极点%建立开环传递函数%绘制系统奈曲线title( Nyquist Diagram of G(s)=10/s(s+1); figure(2)%在对数空间定义

57、频率范围：0.1100w=logspace(-1,2); bode(sys, w); grid on;%绘制系统曲线title( Bode Diagram of G(s)=10/s(s+1);Lg,Y,Wg,Wc=margin(sys) %Lg 幅值在命令窗口中输入： ex6_16 (按回车键)命令窗口将输出：Lg = InfY =17.9642、Y 相位、Wg 相位穿越频率、%Wc 截止频率219Wg = InfWc =3.0842生成的曲线分别如图6-73 和图6-74 所示。分析控制系统的性能单回路系统例 6-17 考虑一个结构图如图6-75 所示的小功率角度随动系统，忽略电的电磁惯性、

58、功率放大器的惯性。设各环节传递函数分别为电压放大器G1(s) K ，功率放大器G2 (s) 2 ，传载G3 (s) 0.5 s(s 1) ，角度传感器与滤波电路 H (s) 1 (T1s 1) 。(1) 忽略传感器与滤波电路惯性，即令T1 0 。设 K 10 ，试判断系统是否稳定。构及负(2) 令T1 0 ，试判断是否可通过调整 K 值，使系统相位 30 。(3) 若滤波电路惯性、电电磁惯性和功率放大器惯性的总效应不能忽略，可将其影响合并等效为一个一阶惯性环节1 (0.2s 1) ，此时开环传递函数为 K s(s 1)(0.2s 1) 。试判断是否可通过调整K 值，使系统相位 30 。图 6-

59、73 例 6-16 的奈曲线图 6-74 例 6-16 的曲线220图 6-75 角度随动系统的结构图解：分步求解如下。(1) 由于开环传递函数为GH (s) G1 (s)G2 (s)G3 (s) 10 s(s 1) ，其奈其中，点(1, j0) 以符号“ +” 标出，由于曲线不包围该点，因此闭环系统稳定。曲线如图6-73 所示，(2) 绘制曲线需要给定 K 。由于 K 的取值不会影响相频特性，因此可先令 K 10 。如图 6-74 所示，相位约为18o ，不满足要求。减小 K 可以使对数幅频特性下降，截止频率c，从而增大相位。以鼠标单击对数相频特性曲线，即显示相应点频率和相位；在其相频特性曲

60、线上按下鼠标左键，并沿曲线移动，找到相位为150o 的点，其对应频率约为1.7 rad/s 。该频率下幅值约为9.4 dB ，故应将 20lg K 减小9.4 dB ，此时 K 3.3 ，则截止频率落于1.7 rad/s 左方，相位大于30o 。将文件 ex6_16 m 中 K 10 改为 K 3.3 ，重新执行，(3) 编写 M 文件 ex6_17_3.m 如下：clear clc K=3.3;Kg=K/0.2;%Kg 为零、极点形式时的放大系数z=;p=-1, 0, -1/0.2;sys=zpk(z, p, Kg); w=logspace(-2,1); bode(sys,w);grid o