初二讲义：勾股定理

1、 有志者事竟成！ 勤奋努力+坚持不懈+沉着自信=成功！ PAGE 6“千里之行，始于足下”今日事今日毕，努力从现在开始！初二数学讲义勾股定理一知识归纳勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为，斜边为，那么勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图

2、的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：，化简可证（方法一）（方法二）（方法三）方法二： 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为大正方形面积为 所以方法三：，化简得证.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形.勾股定理的应用已知直角三角形的任意两边长

3、，求第三边在中，则，知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系可运用勾股定理解决一些实际问题5.勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，为正整数时，称，为一组勾股数记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；等用含字母的代数式表示组勾股数：（为正整数）；（为正整数）（，为正整数）例题解析题型一：直接考查勾股定理例.在中，已知，求的长 已知，求的长分析：直接应用勾股定理考点一、已知两边求第三边例已知，如图在ABC中，AB=BC=CA=2cm，AD是边BC上的高求 AD的长；ABC的面积BCA30练习一1已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长_2.（2009年滨州）某楼梯

4、的侧面视图如图4所示，其中米，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为 3在数轴上作出表示的点4三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC边上的高线AD=8,求BC题型二：应用勾股定理建立方程例.在中，于，已知直角三角形的两直角边长之比为，斜边长为，则这个三角形的面积为已知直角三角形的周长为，斜边长为，则这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积有时可根据勾股定理列方程求解例.如图中，求的长例4.如图，,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积考点二、利用列方程求线段的长例如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两

5、村庄，DAAB于A，CBAB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？ADEBC练习二如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，长BC为10cm当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）想一想，此时EC有多长？题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了题型四：与展开图有关的计算例4、如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要

6、爬行 cm题型五：勾股定理的实际应用用勾股定理求两点之间的距离问题 例、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60方向走了到达B点，然后再沿北偏西30方向走了500m到达目的地C点。 （1）求A、C两点之间的距离。 （2）确定目的地C在营地A的什么方向。练习.如图8，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且QPN=300，点A处有一所中学，AP=160米，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否回受到噪声的影响？说明理由如果受影响，已知拖拉机的速度为18千米/时，那么学校受影响的时间为多少秒？图8 勾股定理提高训练（一）

7、1、在RtABC中,若直角边的长分别为1cm，2cm ，则斜边长为_2、已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是_3在一个直角三角形中，若斜边长为5cm，直角边的长为3cm，则另一条直角边的长为( ). A4cm B4cm或 C D不存在4、在直角三角形ABC中，斜边AB=1，则AB的值是（ ） A.2 B.4 C.6 D.85、直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_6、如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，第9题ABCDE第7题 在花铺内走出了一条“路”他们仅仅少走了 步路第6题图 （假设2步为1米），却踩伤了花草 7、如图，在ABC中，ABAC

8、13，BC10，D是AB的中点，过点D作DEAC于点E，则DE的长是_.8、把一根长为10的铁丝弯成一个直角三角形的两条直角边，如果要使三角形的面积是92，那么还要准备一根长为_的铁丝才能把三角形做好9如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD折叠，使C 点与 A点重合，则EB的长是（ ）A3B4 C D5 BA6cm3cm1cm第10题图10、如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm，高为6cm如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要_cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕3圈到达点B，那么所用细线最短需要_cm11、在数轴上作出表示的点12、如图，某学校（A点）与公路（直线L）的距离为300米，又与公路车站（D点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C点），使之与该校 A及车站D的距离相等，求商店与车站之间的距离13、