不等式常见考试题型总结

1、不等式常见考试题型总结一、高考与不等式高考试题，有关不等式的试题约占总分的 12% 左右，主要考查不等式的基本知识，基本技能，以及学生的运算能力， 逻辑思维能力， 分析问题和解决问题的能力 选择题和填空题主要考查不等式的性质、比较大小和解简单不等式，还可能与函数、方程等内容相结合的小综合解答题主要是解不等式或证明不等式或以其他知识为载体的综合题。不等式常与下列知识相结合考查：不等式的性质的考查常与指数函数、对数函数、三角函数的性质的考查相结合，一般多以选择题的形式出现，有时也与充要条件、函数单调性等知识结合，且试题难度不大；解不等式的试题主要在解答中出现，常常是解含参不等式较多，且多与二次函数

2、、指数、对数、可 能还会出现导数相结合命题；证明不等式是理科考查的重点，经常同一次函数、二次函数、数列、解析几何，甚至还可能与平面 向量等结合起来考查二、常见考试题型（ 1）求解不等式解集的题型（ 分式不等式的解法，根式不等式的解法，绝对值不等式的解法，含参不等式的解法，简单的一元高次不等式的解法）不等式的恒成立问题（不等式恒成立问题的常规处理方式常应用函数方程思想，分离变量法，数形结合法）不等式大小比较常用方法：1作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；2作商（常用于分数指数幂的代数式） ；3分析法；4平方法；5分子（或分母）有理化；6利用函数的单调性；7寻找中间量或放缩法

3、；8图象法。2（4）不等式求函数最值技巧一：凑项5例：已知x -,求函数y4y4x21 的最大值。4x 5技巧二：凑系数例.当口 4时，求yx(82x）的最大值。技巧三：分离例.求yx2 7x 10, (x1）的值域。技巧四：换元例.求y2x2 7x 10(x1）的值域。技巧五：函数的单调性（注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f (x)x q的单调性。）x例：求函数yx 5的值域。x2 4技巧六：整体代换（多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。例：（1）已知x 0, y0,且1 1,求x y的最小值。 x y(2)若 x, y R且2x

4、 y 1,求二二的最小值已知 a,b, x, yy的最小值技巧七、利用sin2cos21转换式子技巧八、2已知x, y为正实数，且x 2 + y-=1，x11 + y 2的最大值.分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab0, b0, ab (a+b) = 1,求 a+b 的最小值。2.若直角三角形周长为 1,求它的面积最大值。技巧十：取平方例、已知x, y为正实数，3x+2y=10,求函数 W弧 +叵 的最值.(5)证明不等式常用方法：比较法、分析法、综合法和放缩法。基本不等式一最值求法的题型基础题型一：指数类最值的求法1.已知a b 3,求3a 3b的最小值。变式1.已知a 2b

5、3,求3a 9b的最小值。变式2.已知x y 2 ,求3x 4的最小值。3y变式3.已知x 2y 3 ,求2x工的最小值。4y变式4.已知点(x, y)在直线y 1 x 1上，求3x -1的最小值。 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark57 o Current Document 9y基础题型二：对数类最值的求法2.已知x 0, y 0 ,且2x y 4 ,求log2x log2 y的最大值。变式1.已知x 0, y 0 ,且x 2y 4 ,求log x log 13y的最小值。 HYPERLINK l bookmark86 o Current Document

6、22变式2.已知点(x, y)是圆x2 y2 6在第一象限内白任一点，求log- x logy3y的最大值。能力题型一：常数变形(加或减去某个常数使两个因式的积为常数)一一11.已知x 2,求f(x) x 1的最小值。x 2变式1.已知x 3,求f(x) 2x 3的最小值。 x 24变式2.已知x 1,求f(x) 2x 的最大值。x 1能力题型二：代换变形(把整式乘到分式中去以便于用基本不等式)2 1.已知x 0,y 0,且x 2y 1,求 的最小值。x y2 3.变式1.已知x 0,y 0,且2x y 3,求2 3的最小值。x y12 一一.变式2.已知x 0,y 0,且x 3y 2,求的最

7、大值。x y能力题型三：指数与系数的变形(调整字母的系数和指数)1.已知x 0, y 0,且2x2 y2 1 ,求x小2y2的最大值。变式1.已知x 0, y 0,且x2 2y2 3,求2x1 y2的最大值。变式2.已知a 0,b 0,且a2 b2 3,求a，1 2b2的最小。能力题型四：对勾函数及其应用 TOC o 1-5 h z 1.1 一【对勾函数】y x 1,由x 得顶点的横坐标为x 1。 xxy ax b,由ax b得顶点的横坐标为x 他。 xxay ax a(x 1) a,由a(x 1) J 得顶点的横坐标为 x 1 加x 1x 1x 1. a2例1.求y x - (x 1,4)的

8、值域。x2 变式1.求y x - (x 2, 1)的值域。x2 变式2.求y 3x - (x 2,4)的值域。x例2.求y x 4 (x 2)的值域。 x 1、.-1变式1.求y 2x(x 3)的值域。x 2、.2变式2.求y x(x 2)的值域。x 1例3.求ysin x - (0 xsin x）的值域。2变式1.求sin xsin x 1(0 x）的值域。变式2.求cosxcosx 1(0 x）的值域。基本不等式例题例1.已知尸0,且g=工求 五一，的最小值及相应的 凡下值.篦尸二三度二，-27 +玄=6匕2.宓的最小值为(次+5)工热尻成等差数列,& *成等比数列，则 cd的最小值是4,

9、函数y三awl）的图象恒过定点乂 ,若点工在直线熠工+-1二口（.上，则冕的最小值为例5.若1g工+lg/=2,则的最小值是（）例6.卜列各函数中，最小值为的是（）二 B.例7 （1）已知x（2）求函数篡+2C. 口4x 21 ，一一的最大值.4x 54x2 1的最小值求y 4y=3-3x-工的最大值为2，一.的最大值.2,且兔+” = 12.求加升+加尸的最大值及相应的心厂的值21c 1c例9若x, y是正数，则（x ）2 （y 一）2的最小值是 2y2x练习：已知实数x, y满足x+y1=0,贝Ux (1)若a,b R*,则ab 疝 (2) 若a,bR*,则a b 2藐(当且仅当a b时取

10、二”)+y2的最小值例10.若实数a、b满足a+b=2,是3a+3b的最小值是基本不等式证明例已知a, b为正数，求证：旦巴n右 Jb .,b .a实际应用：某单位用木材制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x y（单位：m）的矩形，上部是等腰直角三角形，要使框架围成的总面积为8m2,问x y分别为多少时用料最省基本不等式应用.基本不等式221.(1)若 a,b R,则 a2 b2 2ab (2)若 a,b R ,则 abb_ (当且仅当 a b 时取“二”)2若a,b R*,则aba_b（当且仅当a b时取=”）2 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark38

11、 o Current Document 1 一 13.若x 0,则x 2 （当且仅当x 1时取“=”）；若x 0,则x 2 （当且仅当x 1时取“=”） HYPERLINK l bookmark16 o Current Document xx若x 0,则x 1 2即x 1 2或x 1 -2 （当且仅当a b时取=） xxx3.若ab 0,则a b 2 （当且仅当a b时取“二”）b a若ab 0,则ab2即ab2或ab-2 （当且仅当a b时取“=”） HYPERLINK l bookmark124 o Current Document ba ba ba.2.24.若 a,b R,则（_a_b

12、）2 a_b_ （当且仅当 a b时取“=”） HYPERLINK l bookmark169 o Current Document 22注：(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用.应用一：求最值 例1 :求下列函数的值域211 y= 3x +京 y=x+x解：（1） y= 3x 2 +当x 0 时,值域为#,+OO）1x，值域为(一8, 2 U 2 , +8)解题技巧：技巧

13、一：凑项5例1 ：已知x ,求函数y 4x 2 的取大值。 TOC o 1-5 h z 4x 5解：因4x 5 0,所以首先要“调整”符号，又(4x 2)g- 不是常数，所以对4x 2要进行拆、凑项,4x 5 HYPERLINK l bookmark120 o Current Document 一 511Qx, 5 4x0, y 4x 2 5 4x 32 3 144x 55 4x一，1当且仅当5 4x 一，即x 1时，上式等号成立，故当 x 1时，ymax 1。4x评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二：凑系数例1.当U S X C 4时，求y x(8 2x)的最大

14、值。解析：由口工工4知，X- 2工 口，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子 积的形式，但其和不是定值。注意到2x (8 2x) 8为定值，故只需将y x(8 2x)凑上一个系数即可。y *就8-2x) -2x* (8 - 2-(当Zxn X-2其，即x=2时取等号 当x=2时，y x(8 2x)的最大值为8。评注：本题无法直接运用基本不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用基本不等式求最大值。变式：设04x(32x)的最大值。解：: 03 3 2x24x(3 2x) 2 2x(3 2x)2 2x 3 2x当且仅当2x3 2x,即 x0,3时等号成立。2技巧三：

15、分离2x例3.求y 7x 10 r(x1)的值域。解析一：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有(x+1)的项，再将其分离。x2 + 10 (五十v =了十11十5任十1)十4 二o+1)十当天，即工口时,5 9 (当且仅当x=1时取“=”号)。技巧四:换元解析二:本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t =x+ 1 ,化简原式在分离求最值。1)2 7(t 1)+10 t2 5t 4=t当 X n-1 ,即 t=x + ln 0 时,y 2,t 4(当t=2即x=1时取“=”号)。评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化

16、为y mg(x)g(x)B( A0,B 0) , g( x)恒正或恒负的形式,然后运用基本不等式来求最值。技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f (x) x M的单调性。x例:求函数yx2 5x 的值域。x2 4解:令x2 4t(t 2),则 yx2 5x2x2 4x2 4t t(t2)1不在区间2,故等号不成立，考虑单调性。.1因为y t -在区间1,单调递增，所以在其子区间2,5所以，所求函数的值域为5,。2为单调递增函数，故 y ?。2练习.求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x的值.x2 3x 11 一(1) y ,(x 0) y 2x ,x 3 (

17、3) yxx 32sin x1sin x,x (0,)Jx(2 3x)的最大值.2.已知0 x1,求函数y Jx(1 x)的最大值.；3. o x 2,求函数y 3条件求最值.若实数满足a b 2,则3a3b的最小值是分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且3a 3b定值，因此考虑利用均值定理求最小值，解：3a 和3b 都是正数，3a 3、2t：3a 3b 2V3ab 6当3a 3b时等号成立，由a b 2及3a 3b得a b 1即当a b 1时，3a 3b的最小值是6.11变式：若log 4 x log 4 y 2,求一 一的最小值.并求x,y的值 x y192：已知 x 0,y 0 ,且

18、一一1,求 xx y错解：Q x 0, y 0 ,且1旦1 , x x y错因：解法中两次连用基本不等式，在 x技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。y的最小值。y x y 2 /2Jxy 12 故 x y min 12 x y, xyy 2jxy等号成立条件是 x y ,在12 2区等号成立x y xy19 条件是一 一即y 9x，取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用基本不等式处理问题时，列出 x y一1 9正斛：Qx 0,y 0,- - 1，x y等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。1 9y 9xx y x

19、y 10 6 10 16x yx yy 9x当且仅当 之 时，上式等号成立，又x y19 d一 一1 ,可得 x 4, y 12 时, x yx y min16 。(1)若 x, yR且2x y 1,求12的最小值x y技巧七、已知 x, y为正实数，且 x 2 + y- =1,分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab0 得，0vbv 152t 2+34t 31令 t = b+1, 1vtv16, ab =11616=-2 (t+1)+34-t+-f 16T =8abw181，1，1 y 当且仅当t =4,即b=3, a=6时，等号成立。法二：由已知得:30-ab=a+2b/ a +

20、 2b2)2-ab30 abn 2M2 ab令 u = y0b则u2+2小 u-300,5也 WuW3步(2)已知a,b,x, y R且a b 1,求x y的最小值x y21 ab 18如何由已知不等点评：本题考查不等式 ab Tab (a,b R )的应用、不等式的解法及运算能力;2式ab a 2b 30(a,b R)出发求得ab的范围，关键是寻找到a b与ab之间的关系，由此想到不等式a-b Jab (a,b R ),这样将已知条件转换为含ab的不等式，进而解得 ab的范围.2变式：1.已知a0, b0, ab (a+b) = 1,求a+ b的最小值。.若直角三角形周长为 1,求它的面积最

21、大值。技巧九、取平方5、已知x, y为正实数，3x+ 2y=10,求函数VW= 3X +4 的最值.解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系,a+ ba 2+ b 1 2/,本题很简单声十4 &季 V (4)2+ (展)a a a a 二招 /3x+2y =275解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。VW0, W= 3x+2y+2田圾=10+2m苗 W 10+(麻)2 (西)2 = 10+(3x+2y) = 20变式：求函数y J2rl #F（1 x 5）的最大值。 22解析：注意到2x 1与5 2x的和为定值。y2

22、 (、2x 1.5又y 0,所以022x)24y 2 22.(2x 1)(5 2x) 4 (2x 1) (5 2x) 8当且仅当2x 1=5-时取等号。2故 ymax272 。评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件。总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式。应用二：利用基本不等式证明不等式1.已知a,b,c为两两不相等的实数，求证： a2b2ab bc ca1)正数 a, b, c 满足 a+b+c=1,求证：(1 a)(1-b)(1-c)8abc例6：已知a、b、c R ,且a b c

23、 1。求证:1118c分析：不等式右边数字8,使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2”连乘，又解：Q a、b、c R , a b c 1。2 bc-1同理一 1 b12 . ab一 1 。c c上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得2 bc 2 ac 2. ab8。当且仅当1一时取等号。3应用三：基本不等式与恒成立问题9例：已知x 0, y 0且一 一 1,求使不等式x y m恒成立的实数 m的取值范围。 x y19 / xy9x9y(10 y 9x(解：令 x y k, x 0, y 0, - - 1 , 1. 1x ykx kyk kx ky，10_3-1 2 。 k 16 ,

24、 m ,16 k k应用四：均值定理在比较大小中的应用：a b、例：若 a b 1,P Jlga lgb,Q (1g a 1g b), R lg()，则 P,Q, R的大小关系是2分析：a b 1 lg a 0,lg b 0Q 1 ( lg a2a bR lg( )2lg b) , lg a Igb1lg . ab lg ab2PQFOPo【知识要点】.绝对值符号里含有未知数的不等式叫做绝对值不等式。x a的解集是 a x a(其中a 0)x a的解集是x a或x a.含字母系数的一元一次不等式的解法与普通不等式的解法是一致的，所不同的是：前者在最后一步要根据题中附加条件或隐含条件，去判断未知

25、数系数的符号，从而决定不等号是否反向。或对其系数进行分类讨论，写出各种情况下不等式的解集。一般的讨论方法：对于 ax b；b当a 0时，x a当a 0时，若b 0,解集为任意实数；若b 0,无解当a 0时，x ba【典型例题】题型一：与整数解个数有关的不等式例1.如果不等式3x a 0的正整数解是1, 2, 3,那么a的取值范围是多少例2 .已知关于x的不等式组 x a 0 的整数解共有5个，求a的取值范围。3 2x 1题型二：已知不等式解集求未知数例3. (1)已知不等式3x a 2x的解集为x 2,求1ax 2 a的解集。243(2)方程组3x 7y k的解x, y都是正数，则整数k应等于

26、。2x 5y 20题型三：系数含有字母的不等式例4.解关于x的不等式：-ax 匚23261 .例5. k为何值时，不等式若不等式(a b)x (2akx 83x永远成立20的解集13b) 0的解集为x -,求不等式(a 3b)x (b 2a)题型四：绝对值不等式例6.解下列不等式2x 132x 5 x 4题型五：比较大小例7.比较下列各式的大小22（1） 3x 2x 1 和 3x 2x 2(2) a 2b与a 2b例8.如果a5324.a a a a成立，则实数a的取值氾围是（A、 0 a 1C 、1 a 0 d 、a【巩固练习】.如果关于x的方程1 mx 1 2x的解是一个负数，那么 m的取

27、值范围是 TOC o 1-5 h z .关于x的方程2 k x 1 x k 2 4x的解若为正数，那么 k的取值范围为（）。Ak2 B k1C k2 D k2.如果（m- 1）x 1 ,那么m满足（）A.m 1 B. m1C. m1 D. m1.已知关于x的一次方程3a 8b x 7 0无解，则ab是（）A、正数B 、非正数 C 、负数 D 、非负数5.解下列不等式（1） 2x 1 4（2）求不等式x 13的非负整数解。.若不等式3x a 0只有两个正整数解，则 a的取值范围是多少.解关于x的不等式(1) kx 1 x 1 k2x 1 6 x328.若满足不等式3 a 2 x 3a 1 5的x

28、必满足3 x 5 ,求a的取值范围.9.一次函数y1的图像是射线L, y2的图像是射线l2,如图所示,y1x的值为y1y2 ，则x的取值范围是y1y2 ，则x的取值范围是10.己知不等式mx- 3 2x+ m, (1)若它的解是求m的值。11.如果不等式组9x a8x b0的整数解仅为1, 2, 3,那么，适合这个不等式组的整数0a、b的有序对b）共有（）A、17 个 B、64个C 、72 个 D、81个12.已知方程组mx yx my的解x, y的乘积小于零，求2m 12m 1m 2的值。m 2高中数学不等式知识点经典习题典型例题一例1解不等式x 1 |2x 3 2分析：解含有绝对值的不等式

29、，通常是利用绝对值概念a（a 0）a,将不等式中的绝对符号去a（a 0）掉，转化成与之同解的不含绝对值的不等式（组）,再去求解.去绝对值符号的关键是找零点（使绝对值等于零的那个数所对应的点），将数轴分成若干段，然后从左向右逐段讨论.解：令x 10, x 1 ,令 2x3 ,如图所示.2(1)当 x1时原不等式化为（x1)(2x 3)2 . . x 2与条件矛盾，无解.x 3时原不等式化为21(2x3) 2 . x 0,故 0 x,33 一(3)当x 时，原不等式化为 x 1 2x 3 2. x 6,故一x 6 .综上，原不等式的解 22为 x0 x 6 .说明：要注意找零点去绝对值符，号最好画

30、数轴，零点分段，然后从左向右逐段讨论， 这样做条理分明、不重不漏.典型例题二例2求使不等式x 4 |x 3a有解的a的取值范围.分析：此题若用讨论法，可以求解，但过程较繁；用绝对值的几何意义去求解十分简便.解法一：将数轴分为,3,3,4,(4,)三个区间7 a3时，原不等式变为(4 x) (3 x) a,x 有解的条件为2x 4时，得(4 x) (x 3)4时，得(x 4) (x 3)一 a 7即x a7 ,有解的条件为2以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为由绝对值的几何定义，原不等式解法二：设数x, 3, 4在数轴上对应的点分别为P, A, B,如图,PB a的意义是

31、P到A、B的距离之和小于a .因为|AB 1,故数轴上任一点到 A、B距离之和大于(等于 1),，即x 4 x 3 1,故当a 1时,x 4 x 3 a有解.典型例题三例3已知x a ,02My b -r-1, y (0,M ),求证 xy ab分析：根据条件凑x a, y b .xy ab xy ya ya aby(x a) a(y b) x a a y bM 一 2M2a说明：这是为学习极限证明作的准备，要习惯用凑的方法.典型例题四例4求证a2 b2分析:使用分析法证明0, .只需证明a2 b22 一 2a a|b ,两边同除b ,即只需证明a2bb22a,即(b)a t a一当一1卡1时

32、，ab 0 ,原不等式显然成立.，原不等式成立.说明：在绝对值不等式的证明，常用分析法.本例也可以一开始就用定理:2,2a ba2 b2ala ab(1)如果ab1,b 0,原不等式显然成立.-mb(2)如果p ab,利用不等式的传递性知，原不等式也成立.典型例题五例5求证la1bla b分析：本题的证法很多，下面给出一种证法：比较要证明的不等式左右两边的形式完全相同，使我们 联想利用构造函数的方法，再用单调性去证明.证明：设f(x) 1定义域为 x xR,f(x)分别在区间41),区间(1,)上是增函数.b) f(a b)，原不等式成立.说明：在利用放缩法时常常会产生如下错误:b la b，

33、1错误在不能保证1a b 一.士al lb绝对值不等式abHb-b |a |b在运用放缩法证明不等式时有非常重要的作用，其形式转化比较灵活.放缩要适度，要根据题目的要求，及时调整放缩的形式结构.型例题六例6关于实数x的不等式x (a 1)2a与x223(a 1)x 2(3a 1) 0 (a R)的解集依次为A与B ,求使A B的a的取值范围.分析：分别求出集合A、B,然后再分类讨论.解：解不等式x22(a 1)2 (a 1)2222(a 1) y (a 1) (a 1)2221. A x 2a x a2 1, a R解不等式 x2 3(a 1)x 2(3a 1) 0 , x (3a 1)(x

34、2)-1 . 一当a 时（即3a 1 2时），得 3.1当a 时（即3a 1 2时），得 31当a 时，要满足A B,必须 3.1当a 时，要满足A B,必须 3rcc,1Bx 2 x 3a 1,a -3rc ，八1B x 3a 1 x 2, a -3cr故 1a 3 ；a2 1 3a 1,2a 3a 1, a 1,2 a2 1;1 a 1,所以a的取值范围是 a R a说明：在求满足条件AB的a时，要注意关于a的不等式组中有没有等号，否则会导致误解.典型例题七sin a sin2asin 3asin na ,例6 已知数列通项公式an -对于正整数m、n,当 m n时，求证:222232n1

35、am an 2V -分析：已知数列的通项公式是数列的前n项和，它的任意两项差还是某个数列的和，再利用不等式a1 a2an |a1a2an| ,问题便可解决.证明：m n一amansin(n 1)a2nsin(n 2)a2n 2sin ma2m2n12n 212n 11 “1 、2n(12-m-n-)1 127(1sin(n 1)am n项的等比数列的和，误认.为12m n共有m n 1项是常见错误.正余弦函数的值域，即 sin量的绝对值不等式问题连在一起,样成立.典型例题八例8已知f (x)x2分析：本题中给定函数使用可有几种选择：（1）1 1F是以2mx 13,上为首项，以1为公比, 2n

36、12共有cos 1 ,是解本题的关键.本题把不等式、三角函数、数列、个较为典型的综合题目.如果将本题中的正弦改为余弦，不等式同x a 1,求证：|f(x) f(a) 2( a 1)f（x）和条件x a 1 ,注意到要证的式子右边不含xn个变因此对条件|x a 1的直接用；（2）打开绝对值用 a 1 x a（3）用绝对值的性质x a x a 1 x a1进行替换.证明:f (x) x2 x13, f(a) a2f (a)(xa)(x a)(x a) (xa)(x a 1)1 2(a 1),即 f (x)f(a) 2(1).说明:这是绝对值和函数的综合题，这类题通常要涉及绝对值及绝对值不等式的性质

37、等综合知识的运用.分析中对条件1使用时出现的三种可能是经常碰到的，要结合求证，灵活选用.典型例题九例9不等式组的解集是（).A.x 0 x 2.5 Cx 0 x 9 ,则 0 ,不等式解集为；若0 k 9 ,则 0 ,解集为3 J(9 k)(k 1)3 J(9 k)(k 1)x x .kk4 当k 0时：不等式为6x 8 0,解集为xx 4 .3当k 0时：若1 k 0,则 0,解集为3 J(9 k)(k 1)3 J(9 k)(k 1)x x i%x .kk若k 1,不等式为 x2 6x 9 0 ,解集为x R且x 3.若k 1 ,则 0 ,解集为R .点拨 由于分类的原因有两个，为了避免逻辑

38、混乱，本例采取了 “二级分类”方法：第一级 以二次项系数的符号作为划分的依据；第二级依判别式的符号进行划分.例4：若不等式|x4|+|3 x|0时，先求不等式| x 4|+|3 x |4时，原不等式化为 x - 4+x - 3a ,即2x - 71 HYPERLINK l bookmark384 o Current Document 2x 7 a2当3Vx 4时，原不等式化为 4x + x 31当xw3时，原不等式化为 4x+3xa即72x1 HYPERLINK l bookmark388 o Current Document 72xa 22综合可知，当 al时，原不等式有解，从而当 0al时

39、，原不等式解集为空集。由(2)知所求a取值范围是a1时，|x4|+|3 x| x 4|+|3 - x| | x 4+3 x 1=1 当 a1 时，| x 4|+|3 x | a 有解从而当 a & 1时，原不等式解集为空集。收获1一题有多法，破解时需学会寻找最优解法。f x a有解 a f x min ； f x a解集为空集 a f x min ；这两者互补。f x a恒 成立 a f x max。f x a有解 a f x min ； f x a解集为空集a f x min ；这两者互补。f x a恒成立 a f x皿f x a有解 a f x - f x a解集为空集iiiaxiiiaxa f x max；这两者互补。f x a恒成立 a f x min。f x a有解 a f x max；f xa解集为空集a f x这两者互补。f x a恒成立 a f x min 0iiiaxmin(3)证明不等式一般同函数知识相结合，综合性较强，灵活性较大，具有较好的区分度例5：若二次函数y f x的图象经过原点，且1f12,3f14,求f2的范围.思路要求f 2的取值范围，只需找到含 f 2的不等式(组).由于y f x是二次函数，所以应先将y f x的表达形式写出来.即可求得f 2的表达式，然后依题设条件列出含有 f 2的不等式 (组)，即可求解.破