数学建模方法

1、1.数学建模概论 数学模型（Mathematical Model） 是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题 本质属性的抽象而又简洁的刻划，它或 能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。 数学建模（Mathematical Modeling） 应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程。 （1）.数学模型与数学建模 例（万有引力定律的发现 ） 十五世纪中期 ，哥白尼 提出了震惊世界的 日心说。丹麦著名的实验天文学 家第谷花了二十多年时间 观察纪录下了当 时已发现的五大 行星的运动情况 。第谷的学生和助手 开普勒对这些资料

2、进行了九年时间的分 析计算后 得出著名的Kepler三定律。牛顿根据开普勒三定律和牛顿第二定律，利用微积分方法推导出牛顿第三定律即 万有引力定律。1.行星轨道是一 个椭圆，太 太阳位于此椭圆的一个焦 点上。 2.行星在单位时间内 扫过的 面积不变。3.行星运行周期的平方正比 于椭圆长半轴的三次方 ， 比例系数不随行星而 改变 （绝对常数）开普勒三大定律 这其中必 定是某一 力学规律 的反映，哼哼，我 要找出它。 如图，有椭圆方程 :矢径所扫过的面 积A的微分为:由开普勒第二定 律:常数立即得出:即:椭圆面积由此得出常数简单推导如下：行星r太阳我们还需算出行星的加速度，为此需要建立 两种 不同的

3、坐标架。第一个是固定的，以太阳为坐标原点，沿长轴方向的单位向量记 为i,沿短轴方向的单位向量记 为j，于是：进而有 加速度以行星为坐标原点建立活动架标，其两个正交的单位向量分别是因此得出由于也就是说行星的加速度为由开普勒第三定律知为常数。若记那么就导出著名的 万有引力定律：再将椭圆方程 两边微分两次，得将前面得到的结果和焦参数代入，即得 1.了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握必要的数据资料。 2.在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过对资料的分析计 算， 找出起主要作用的因素，经必要的精炼、简化，提出若干符合客观实际的假设。 3.在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻划各变量之

4、间的关系，建立相应的数学结构 即建立数学模型。 4.模型求解。 5.模型的分析与检验。 在难以得出解析解时，也应当借助 计算机 求出数值解。 （2）.数学建模的一般步骤实体信息(数据)假设建模求解验证应用 （3）. 数学模型的分类分类标准具体类别对某个实际问题了解的深入程度白箱模型、灰箱模型、黑箱模型模型中变量的特征连续型模型、离散型模型或确定性模型、随机型模型等建模中所用的数学方法初等模型、微分方程模型、差分方程模型、优化模型等研究课题的实际范畴人口模型、生 态系统模型 、交通流模型、经 济模型、 基因模型等 开设数学建模课的主要目的为了提高学 生的综合素质，增强 应用数学知识 解决实际问

5、题的本领。数学建模实践的 每一步中都 蕴含着能力上的 锻炼，在调查研究阶段，需 要用到观察能力、分析能力和数据处理能力等。在提出假设 时，又需要用到 想象力和归纳 简化能力。 在真正开始自己的研究之前，还应当尽可能先了解一下前人或别人的工作，使自己的工 作成为别人研究工作 的继续而不是别人工作的重复，你可以把某些已知的研究结果用作你的假设，去探索新的奥秘。因此我们还应当学会在尽可能短的时间 内查到并学会我想应用的知识的本领。 还需要你多少要有点 创新的能力。这种能力不是生来就有的，建模实践就为你提供了一个培养创新能力的机会。 （4）. 数学建模与能力的培养 近几年，我校学生在全国大学生数学建模

6、竞赛中取得了非常出色的成绩，夺得国家二等奖4项、省一等奖16项、省二、三等奖多项。例1 某人平时下班总是按预定时间到达某处，然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他的方向步行回去并在途中遇到了妻子，这一天，他比平时提前了十分钟到家，问此人共步行了多长时间？ （5）. 一些简单实例 似乎条件不够哦 。 换一种想法，问题就迎刃而解了。假如他的妻子遇到他后仍载着他开往会合地点，那么这一天他就不会提前回家了。提前的十分钟时间从何而来？ 显然是由于节省了从相遇点到会合点，又从会合点返回相遇点这一段路的缘故，故由相遇点到会合点需开5分钟。而此人提前了三十分钟

7、到达会合点，故相遇时他已步行了二十五分钟。 请思考一下，本题解答中隐含了哪些假设 ？例2 某人第一天由 A地去B地，第二天由 B地沿原路返回 A 地。问：在什么条件下，可以保证途中至少存在一地，此人在两天中的同一时间到达该地。分析 本题多少 有点象 数学中 解的存在 性条件 及证明，当 然 ，这里的情况要简单得多。 假如我们换一种想法，把第二天的返回改变成另一人在同一天由B去A，问题就化为在什么条件下，两人至少在途中相遇一次，这样结论就很容易得出了：只要任何一人的到达时间晚于另一人的出发时间，两人必会在途中相遇。 （请自己据此给出严格证明） 例3 餐馆每天都要洗大量的盘子，为了方便，某餐馆是这

8、样清洗盘子的：先用冷水粗粗洗一下，再放进热水池洗涤，水温不能太高，否则会烫手，但也不能太低，否则洗不干净。由于想节省开支，餐馆老板想了解一池热水到底可以洗多少盘子，请你帮他建模分析一下这一问题。盘子有大小吗 ?是什么样的盘子？盘子是怎样洗的 ? 不妨假设我们了解到：盘子大小相同，均为瓷质菜盘，洗涤时先将一叠盘子浸泡在热水中，然后 一清洗。 不难看出，是水 的温度在决 定洗盘子的数量 。盘子是先用冷水洗过的，其后可能还会再用清水冲洗，更换热水并非因为水太脏了，而是因为 水不够热了。 那么热水为什么会变冷呢？假如你想建一个较精细的模型，你当然应当把水池、空气等吸热的因素都考虑进去，但餐馆老板的原意

9、只是想了解一下一池热水平均大约可以洗多少盘子， 杀鸡 焉用牛刀？ 不妨可以提出以下 简化假设：（1）水池、空气吸热不计，只考虑 盘子吸热，盘子的大小、材料相同（2）盘子初始温度与气温相同，洗完后的温度与水温相同（3）水池中的水量为常数，开始温度为T1，最终换水时的温度为 T2（4）每个盘子的洗涤时间 T是一个常数。（这一假设甚至可以去掉 不要）根据上述简化假设，利用热量守衡定律，餐馆老板的问题就很容易回答了，当然，你还应当调查一下一池水的质量是多少，查一下瓷盘的吸热系数和质量等。 可见 ，假设条件 的提出不 仅和你 研究的问题 有关，还和 你准备利用哪些知 识 、准备建立什么样的模型以及你准

10、备研究的深入程度有关，即在你提出假设时，你建模的框架已经基本搭好了。 2.初等模型 某航空母舰派其护卫舰去搜寻其跳伞的飞 行员，护卫舰找到飞行员后，航母通知它尽快 返回与其汇合并通报了航母当前的航速与方 向，问护卫舰应怎样航行，才能与航母汇合。 (1). 舰艇的会合令：则上式可简记成 ：A(0,b)XYB(0,-b)P(x,y)O航母 护卫舰 1 2 即：可化为：记v2/ v1=a通常a1 则汇合点 p必位于此圆上。 （护卫舰的路线方程）（航母的路线方程 ）即可求出P点的坐标和2 的值。本模型虽简单，但分析极清晰且易于实际应用 (2) 双层玻璃的功效在寒冷的北方， 许多住房的 玻璃窗都是双层玻

11、璃的，现在我们来建立一个简单 的数学模型，研究一下双层玻璃到底有多 大的功效。比较两座其他条件完全相同的房屋，它们 的差异仅仅在窗户不同。 不妨可以提出以下 假设：1、设室内热量的流失是热传导引起的，不存在户内外的空气对流。2、室内温 度T1与户外温 度T2均为常数。3、玻璃是均匀的，热传导系数为常数。设玻璃的热传导系数 为k1，空气的热传导系数 为k2，单位时间通过单位面积由温度高的一侧流向温度低的一侧的热量为 ddl室外T2室内T1TaTb由热传导公式 =kT/d 解得：此函数的图形为dd室外T2室内T1类似有 一般故记h=l/d并令f(h)= 01234567891000.10.20.3

12、0.40.50.60.70.80.91hf(h)考虑到美观和使用上 的方便，h不必取得过大，例如，可 取h=3，即l=3d，此时房屋热量的损失不超过单层玻璃窗时的 3% 。 (3) 崖高的估算假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功 能的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下 一块石头听回声的方法来估计山崖的高度， 假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算 山崖的高度呢，请你分析一下这一问题。我有一只具有跑 表功能的计算器。假定空气阻力不计，可以直接利用自由落体运动的公式来计算。例如， 设t=4秒，g=9.81米/秒2，则可求得h78.5米。 我学过微积分，我可以做 得更好，呵呵。 除去地球吸引力外，

13、对石块下落影响最大的当 属空气阻力。根据流体力学知识，此时可设空气阻力正比于石块下落的速度，阻力系 数K为常数，因而，由牛顿第二定律可得： 令k=K/m，解得 代入初始条件 v(0)=0，得c=g/k，故有 再积分一次，得： 若设k=0.05并仍设 t=4秒，则可求 得h73.6米。 听到回声再按跑表，计算得到的时间中包含了 反应时间 进一步深入考虑不妨设平均反应时间 为0.1秒 ，假如仍 设t=4秒，扣除反应时间后应 为3.9秒，代入 式，求得h69.9米。 多测几次，取平均值再一步深入考虑代入初始条 件h(0)=0，得到计算山崖高度的公式： 将e-kt用泰勒公式展开并 令k 0+ ，即可得出前面不考虑空气阻力时的结果。还应考虑回声传回来所需要的时间。为此