四条腿的家俱问题

1、四条腿的家俱问题1椅子能在不平的地面上放稳吗？四条腿的家俱，如椅子、桌子等，往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而稍挪动几次，就可以使四只脚同时着地。试建立数学模型加以解释。 2模型假设 1.椅子四条腿一样长；2.椅脚与地面接触处视为一点；3.四脚的连线呈长方形;4.地面光滑，即地面高度是连续变化的，可视为数学上的光滑曲面。5.地面相对平坦，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。3问1：选择什么量来表示长方形椅子位置的改变？用长方形绕它的对称中心O旋转代表椅子位置的改变。问2：这种改变如何量化？以对角线AC为x轴，中心O为原点，建立直角坐标系。长方形ABCD绕O逆时针旋转角后，转至

2、A1B1C1D1的位置，则AC与x轴正半轴的夹角表示了椅子位置的改变。4问3：椅子在某一位置是否着地如何量化？一只椅脚着地，则它到地面的竖直距离为0，否则大于0。A,B，C，D到地面的距离分别是关于的连续函数，且对于任意，其函数值至少有三个为0。记A,B 与C，D两脚到地面距离之和分别为f() 与g(), 它们都是连续函数。注意：对任意，f()g()=05已知f()和g()是的连续函数，且g(0)=0，f(0)0，那么一定存在，使f()= g()=0。注意f()=g(0)=0，g()=f(0)0 令h()=f()-g(), 则h()是关于的连续函数，且h(0)=f(0)-g(0)0,h()=f

3、()-g()0，于是存在，使h()=0即 f()= g()。f()=g()=0。 6进一步思考 思考1：是否有另外的函数模型？取对角线顶点到地面的距离之和。思考2：四脚连线还可以是什么图形时，结论依然成立？如：中心对称图形7双煎饼问题桌面上放着若干块不重叠的任意形状的均匀煎饼，问能否一刀将这些煎饼同时平分？ 抽象为数学问题是：在平面放置着若干个任意形状的不重叠的封闭图形，问能否用一直线将它们的面积同时平分？8问题探索设计 1.确定多少个图形才有可能用一条直线将它们同时平分？三角形，四边形，圆形等等。结论1：一个或两个。2.考察平面上只有一个封闭图形的情形可以平分，且方式多样。3.双煎饼问题 平

4、面放置着两个任意形状的封闭图形Q和P，证明一定能找到一条直线将它们同时平分。9向高维推广对于空间的任意位置放置着的三个任意形状的封闭图形Q、P和R，一定可以找到一个平面将它们的体积同时平分。该推广被数学家戏称为“三明治问题”。意指必有一刀切下去，能把一个火腿三明治的火腿及上、下底面的两块面包各分为一半。 10在平面上，图形Q与P之间取定一点O,过O画水平数轴OX0。将射线OX0绕O逆时针旋转至OX,OX0到OX的角为（001800）。可找到平分P、Q且与OX垂直的直线lP,lQ，垂足分别为BP与BQ，则BP与BQ的坐标是关于的函数，分别设为P()与Q()，可知P()与Q()均为连续函数。且P(1800)=-P(00)，Q(1800)=-Q(00).问题转化为，找到0,使得P(0)=Q(0)。令R()=P()-Q()，则它是关于的连续函数。 R(00)=P(00)-Q(00)=-P(1800)+Q(1800)=-P(1800)-Q(1800)=-R(1800),即R(00)R(1800)