系统辨识课件：第一章 绪论

1、1 系统辨识 2主要内容安排1、绪论： 系统数学模型的分类及建模方法，辨识的定义、内容、分类和步骤，辨识中常用的误差准则。2、辨识输入信号： 辨识输入信号的选择、白噪声及其产生方法、M序列的产生及性质。3、相关分析法辨识： 相关函数定义、计算，脉冲响应求取。4、最小二乘类法： 最小二乘估计算法、一种不需矩阵求逆的最小二乘、递推最小二乘法等。5、模型阶的确定： 残差方差定阶，Akaike准则。3实验1 白噪声和M序列的产生 实验2 脉冲响应法的实现实验3 最小二乘法的实现 实验4 递推最小二乘的实现41、系统辨识理论及应用，李彦俊、张科编著 国防工业出版社 ，2003年。2、过程辨识，方崇智、萧

2、德云编著，清华大学出版社。3、控制系统计算机辅助设计MATLAB语言及应用，薛定宇著，清华大学出版社。5第一章 绪论 在自然科学和社会科学的许多领域中，人们越来越重视对系统进行定量的系统分析、系统综合、仿真、控制和预测。概述将被研究对象模型化，是前提和基础。 所谓系统辨识，就是研究如何确定系统的数学模型及其参数。61.1 系统、模型1.1.1 系统 在定义一个系统时，首先要确定系统的边界。尽管世界上的事物是相互联系的，但当我们研究某一对象时，总是要将该对象与其环境区别开来。边界确定了系统的范围，边界以外对系统的作用称为系统的输入，系统对边界以外的环境的作用称为系统的输出。 尽管世界上的系统千差

3、万别，但人们总结出描述系统“三要素”，即实体、属性、活动。 系统是由相互联系、相互作用的若干组成部分结合而成的，具有特定功能的总体。实体确定了系统的构成，也就确定了系统的边界；属性也称为描述变量，描述每一实体的特征；活动定义了系统内部实体之间的相互作用，从而确定了系统内部发生变化的过程。71.1.2 模型 为了研究、分析、设计和实现一个系统，需要进行试验。试验的方法基本上可分为两大类：一种是直接在真实系统上进行，另一种是先构造模型，通过对模型的试验来代替或部分代替对真实系统的试验。传统上大多采用第一种方法，随着科学技术的发展，尽管第一种方法在某些情况下仍然是必不可少的，但第二种方法日益成为人们

4、更为常用的方法，主要原因在于： 8(1)系统还处于设计阶段，真实的系统尚未建立，人们需要更准确地了解未来系统的性能，这只能通过对模型的试验来了解；(2)在真实系统上进行试验可能会引起系统破坏或发生故障，例如，对一个处于运行状态的化工系统或电力系统进行没有把握的试验将会冒巨大的风险；(3)需要进行多次试验时，难以保证每次试验的条件相同，因而无法准确判断试验结果的优劣；(4)试验时间太长或费用昂贵。 9 模型的含义： 所谓模型（model）就是把关于实际系统的本质的部分信息减缩成有用的描述形式。 是分析系统和预报、控制系统行为特性的有力工具。 是根据使用目的对实际系统所作的一种近似描述。模型的表现

5、形式：1、物理模型2、直觉模型3、图表模型4、数学模型101112一个系统可以定义为如下集合结构： T：时间基，描述系统变化的时间坐标，T为整数则称为离散时间系统，T为实数则称为连续时间系统。X：输入集，代表外部环境对系统的作用。通常X被定义为Rn，其中n I+，即X代表n个实值的输入变量。 ：输入段集，描述某个时间间隔内输入模式，是(X，T)的一个子集。 ：内部状态集，是系统内部结构建模的核心。 其中： ：状态转移函数，定义系统内部状态是如何变化的。它是一个映射： ： 。 Y ：输出集，系统通过它作用于环境。 ：输出函数，它是映射： ： X Y 。输出函数给出了一个输出段集。 13 上面给出

6、了系统模型的一般描述。在实际建模时，要求不同，模型描述的详细程度也不尽相同，亦称为表示的水平不同，具体地有：(1)行为水平 亦称为输人输出水平。该水平的模型将系统视为一个“黑盒”，在输入信号的作用下，只对系统的输出进行测量。(2)分解结构水平 将系统看成若干个“黑盒”连接起来，定义每个“黑盒”的输入与输出，以及它们相互之间的连接关系。(3)状态结构水平 不仅定义了系统的输入与输出，而且还定义了系统内部的状态集及状态转移函数。 141.2数学模型的表达形式 将一个模型描述看作是与真实世界中的物体或过程相联系的信息进行凝缩后的结果，从这个角度来看，建模不外乎是用一个适当的形式来凝集和浓缩信息。而选

7、择不同的模型形式就对应有特殊的建模技术。 1.2.1 差分方程和微分方程的模型形式 动力学系统的常规数学模型形式是众所周知的非线性连续状态空间模型，其常微分方程组形式为 （2.1） （2.3） （2.2） 其中： X- n维状态矢量； u- m维输入； p- np维未知常数； y- p维输出矢量15 实际上，变量和参量都会受到某种约束，我们可以用一系列不等式来描述这种约束，即 （2.4） 我们将随机过程向量 ， 引入到模型中。即 （2.5） （2.6） （2.7） （2.8） 这样，向量 和 也就变成了随机过程向量。 16 方程（2.5）-（2.8）具有很强的“描述能力”，很多系统的行为都满足

8、上述方程。然而，微分方程模型有它的局限性，在这个模型中，时间是唯一的独立变量，空间的性质必须加以离散和浓缩。如果觉得这个近似过于粗糙，那么就得转向偏微分方程。 目前，还没有一个简单的、统一的理论可以用来解决非线性系统问题。我们介绍的基本建模理论和模型的处理及计算是针对线性系统理论的知识，所以我们要提出“线性化”的要求。 对于小扰动的线性化及其连续系统的离散化是众所周知的，这里不讨论其详细的过程，但要注意的是，可以通过一组线性微分方程对系统在小扰动下的行为进行描述 。17（2.9）（2.10） 这里的 ， 分别表示状态向量、输出向量和某个平衡点 ， 之间的差值； 表示对应于平衡点的输入扰动。 ，

9、 ， 及 表示相应维数的系数矩阵。 于是，我们通常将线性连续系统的微分方程模型表示为式（2.11）-（2.12）的形式 （2.11） （2.12） 18 常微分方程在它自己的应用范围内可以作为一种模型，而且常常能够很好地描述某些实际系统。但要用数字计算机作为它们的运算工具，它们就不得不应用离散化技术。基于这种原因，离散形式的模型是特别有用的。与式（2.11）-（2.12）对应的离散化模型可以表示为 （2.13） （2.14） 其中 是离散化时的采样周期。 ， ， ， 是离散模型的系数矩阵。 19将模型形式加以分类如表1.1。表1.1模型分类模型描述变量的轨迹模型的时间集合模型形式变量范围连续离

10、散空间连续变化模型空间不连续变化模型连续时间模型偏微分方程常微分方程离散（变化）模型离散时间模型差分方程有限状态机马尔可夫链连续时间模型活动扫描事件调度过程交互201.3 建立数学模型的基本方法 演绎法建模 归纳法建模 实用的建模者 选用先验知识，根据某些假设和原理，通过数学逻辑的演绎来建立模型。从一般到特殊的过程。 从被观测到的行为出发，试图推导出一个与观测结果相一致的更高一级的知识。从特殊到一般的过程。（理论分析法、机理建模法） （测试法、系统辨识） 优点：不需深入了解系统的机理 缺点：必须获取大量输入输出系统信息。 工程观点，直通目标，局限性强！ 21图1.1 建模过程总框图 221.4

11、 系统辨识的定义、内容和步骤 某些系统的数学模型很难用机理建模法来完成，这是因为这些系统大都是复杂的工业过程系统，其工艺过程、工况等都十分复杂，有些甚至是人们无法洞悉或了解的。 在这种情况下，我们可以用系统的输入输出历史数据来推测系统的数学模型。这种方法就是所谓的系统辨识技术。系统辨识也属于经典建模技术的一种。23241.4.1辨识的定义（1）L.A.Zadeh定义（1962）：辨识就是在输入和输出数据的基础上，从一组给定的模型类中，确定一个与所测系统等价的模型。（2）P.Eykhoff定义（1974）：辨识问题可以归结为用一个模型来表示客观系统本质特征的一种演算，并用这个模型把对客观系统的理

12、解表示成有用的形式。（3）L.Ljung定义（1978）：辨识有三个要素-数据、模型类和准则。辨识就是按照一个准则在一组模型类中选择一个与数据拟合得最好的模型。25系统辨识内容参数辨识结构辨识已知系统结构（阶次），但参数未知。系统结构（阶次）未知。 一般来说，系统辨识算法只适用于线性系统。非线性系统的辨识算法目前很不成熟，对于某些特殊的非线性系统可能有一些特殊的辨识方法，但是没有统一的算法。26系统辨识离线辨识在线辨识精度高数据量大。精度稍差、速度快。系统辨识非参数模型辨识参数模型辨识假定过程线性，不必确定模型具体结构。脉冲响应曲线，阶跃响应曲线，频率响应曲线。首先确定模型结构，再通过极小（大

13、）化误差准则函数来确定参数。最小二乘法 极大似然法271.4.2辨识的内容和步骤（1）明确辨识目的。它将决定模型的类型、精度及辨识方法。（2）掌握先验知识。对预选模型种类和辨识试验设计起指导作用（3）选定系统模型种类，确定验前假定模型。（4）试验设计。选择试验信号、采样间隔数据长度等。（5）数据处理。 直流、低频数据：零均值化（差分法和平均法等）。 高频成分数据：低通滤波。（6）模型结构辨识。确定模型的阶次和纯延时等。（7）模型参数辨识。（8）模型校验。28模型验证： 对辨识所取得的模型进行验证是系统辨识的重要环节。验证的目的是为了确定该模型是否是模型集中针对当前观测数据的最佳选择。验证的方法

14、主要有： （1）利用先验知识验证，即根据对系统已有的知识来判断模型是否适用。 （2）利用数据检验。 当利用一组数据辨识得到一个模型后，通常希望用另一组未参与辨识的数据检验模型的适用性。如果失败：说明原数据包含的信息不足或所选的模型类不合适。 另外，也可以用一组数据对不同模型进行比较，以选用更适合的模型。 （3）利用实际响应检验。比较实际系统和模型的阶跃响应、脉冲响应是判别的重要手段。29301.4.3系统辨识的输入信号选择准则 持续激励：输入信号必须充分激励系统的所有模态； 输入信号的选择应能使给定问题的辨识模型精度最高。 在具体工程应用中，选择输入信号还应考虑以下因素：（1）输入信号的功率或

15、幅值不宜过大，以免使系统工作在非线性区，但也不应过小，以致信噪比太小，直接影响辨识精度；（2）输入信号对系统的“净扰动”要小，即应使正负向扰动机会几乎均等；（3）工程上要便于实现，成本低。31输出误差准则输入误差准则广义误差准则1.4.4系统辨识的误差准则扰动是作用在系统输出端的白噪声系统输出模型输出扰动是作用在系统输入端的白噪声模型可逆差分模型：误差准则函数：321.5 求取对象数学模型的实验方法（响应曲线法） 如前所述，对于一些简单的过程对象可以通过分析其过程的机理，根据物料平衡和能量守恒的关系，应用数学描述的方法，建立对象的数学模型。这种方法虽具有较大的普遍性。但是，由于很多工业对象内部

16、的工艺过程较复杂，对某些物理、化学过程尚不完全清楚，所以，有些复杂过程的数学模型较难建立；另外，工业对象多半有非线性因素，在推导时常常作了一些近似和假设，虽然这些近似和假设具有一定的实际依据，但并不能完全反映实际情况，甚至会带来估计不到的影响。 因此，即使用解析法得到对象的数学模型，仍然希望采用实验方法加以检验。当推导不出对象数学模型时，更需要通过实验的方法来求得所需的数学模型 。 33 这种方法主要是测取对象的阶跃响应曲线或矩形脉冲响应曲线。 1阶跃响应曲线的实验测定 当对象的输入量做阶跃变化时，其输出量是随时间而变化的曲线，则称为阶跃响应曲线。 34图1.2 响应曲线 35采用阶跃响应曲线

17、的实验方法，必须注意以下事项：在输入阶跃信号前，对象必须处于平衡工况。 但是，当对象长时间处于较大扰动量作用下，被控量的变化幅度可能超出实际生产所允许的范围。这时，就要把对象输入信号改用矩形脉冲的形式，测出对象的矩形脉冲响应曲线，如图1.2（c）所示。当测到了对象的矩形脉冲响应曲线后，就可以转换成阶跃响应曲线，其转换方法如下。阶跃信号不能太大，以免影响正常生产。但是阶跃信号也不能太小，以防止对象特性的不真实性。在一般情况下，取阶跃信号约为正常输入信号的5%15%。36 对象输入矩形脉冲信号的幅值为 ，宽度为 。矩形脉冲信号可以分解为两个方向相反、幅值相等的阶跃信号，如图1.3所示。 （2.61

18、） 假如对象是线性的，则对象输出信号的矩形脉冲响应 由两个阶跃响应叠加而成。即 （2.62） 式中： 矩形脉冲响应曲线； 正阶跃响应曲线； 负阶跃响应曲线。 37图1.3 矩形脉冲响应分解为两个阶跃响应示意图 38式（2.62）就是由矩形脉冲响应曲线 画出阶跃响应曲线 的依据。 图1.4 阶跃响应曲线的分段作图法示意图 392数据处理 为了研究和分析过程系统，为过程控制和优化等的设计提供依据，需要将实验所得的结果进行数据处理，即由阶跃响应曲线求出对象的微分方程式或传递函数。在工业生产中，大多数对象特性常常可以近似地以一阶、二阶以及一阶、二阶加纯滞后特性之一来描述，即在下列模型中选择其一。 （2.63） （2.64） 40（2.65） （2.66） 对于少数无自平衡对象的特性，可以用下面的传递函数来近似描述。即 （2.67） （2.68） 41（1）根据对象自衡的阶跃曲线确定一阶环节的K、T 如图1.5所示，当 时，阶跃响应曲线的斜率最大，然后逐渐上升到稳态值 ，则该响应曲线可以用一阶惯性环节来近似，因而需要确定 和 。 设对象的输入信号的阶跃量为 ，由图 1.5的阶跃响应曲线上可定出 ，则 和 可按以下步骤求得： 求放大系数 ，公式为 （2.69） 通过 这一点作阶跃响应曲线的切线，交稳态值的渐近线 于点A，则OA在时间轴上的投影即为时间常数 。 42图 1.5 求取一阶惯性