七空间图形的基本关系及公理课件

1、7.3空间图形的基本关系及公理第1页，共67页。教材回扣夯实双基基础梳理1.空间图形的基本关系(1)点和直线的位置关系有两种: _和点在直线外.(2)点和平面的位置关系有两种: 点在平面内和点在平面外.点在直线上第2页，共67页。平行直线相交直线任何第3页，共67页。异面直线所成的角过空间任意一点P分别引两条异面直线a, b的平行线l1, l2(al1, bl2), 这两条相交直线所成的_就是异面直线a, b所成的角.如果两条异面直线所成的角是_, 则称这两条直线互相垂直.范围: _ .锐角或直角直角第4页，共67页。(4)空间直线和平面的位置关系有三种: _、直线和平面相交、_.(5)空间两

2、平面的位置关系有两种: 两平面平行和两平面相交.直线在平面内直线与平面平行第5页，共67页。思考探究若a, b, 则a, b就一定是异面直线吗？第6页，共67页。2.空间图形的公理及等角定理文字语言公理1如果一条直线上的_在一个平面内, 那么这条直线上_都在这个平面内(即直线_)两点所有的点在平面内第7页，共67页。图形语言符号语言公理1若Al, Bl, A, B,则_l第8页，共67页。文字语言公理2经过不在同一条直线上的三点, _一个平面(即可以确定一个平面)公理3如果两个不重合的平面_, 那么它们_一条通过这个点的公共直线有且只有有一个公共点有且只有第9页，共67页。图形语言符号语言公理

3、2若A、B、C三点不共线, 则A、B、C三点确定一个平面使A, B, C公理3若A, A, 则_l, 且Al第10页，共67页。文字语言公理4平行于同一条直线的两条直线_等角定理空间中, 如果两个角的两条边分别对应平行, 那么这两个角相等或互补平行第11页，共67页。图形语言符号语言公理4若ab, bc, 则_等角定理若AOAO, BC_, 则AOBAOB, AOC和AOB互补acBO第12页，共67页。课前热身1.下面给出了四个条件: 空间三个点；一条直线和一个点；和直线a都相交的两条直线；两两相交的三条直线.其中能唯一确定一个平面的条件有()A.0个B.1个C.2个 D.3个第13页，共6

4、7页。解析: 选A.确定平面的公理的条件: “经过不在同一条直线上的三点”, 所以是错误的；注意到“直线与直线外的一点”, 所以是错误的；与直线a都相交的两条直线可能是异面的；两两相交的三条直线可能确定3个平面.第14页，共67页。2. (教材习题改编)如图所示, 将无盖正方体纸盒展开, 直线AB, CD在原正方体中的位置关系是()A.平行B.垂直C.相交成60D.异面成60第15页，共67页。解析: 选D.由展开图可知, 无盖正长体纸盒的直观图如图所示, 显然AB与CD异面, 连接AE, 由AECD, 知EAB为异面直线AB、CD所成的角, 连接BE, 由ABE为等边三角形得EAB60, 故

5、选D.第16页，共67页。第17页，共67页。则上述说法中正确的个数是_.答案: 3解析: (1)(2)(4)正确；如图所示, 可知(3)错误.第18页，共67页。4.如图所示, 在四面体ABCD中, E、F分别是AC、BD的中点, 若CD2AB2, EFAB, 则EF与CD所成的角等于_.第19页，共67页。答案: 30第20页，共67页。考点1平面的基本性质考点探究讲练互动考点突破 例1第21页，共67页。(1)证明: 四边形BCHG是平行四边形；(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？第22页，共67页。第23页，共67页。第24页，共67页。【规律小结】证明若干条线(或若干个点)共面

6、, 一般来说有两种途径: 一是首先由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面, 然后再证明其余的线(或点)均在这个平面内；二是将所有元素分为几个部分, 然后分别确定几个平面, 再证这些平面重合.第25页，共67页。例备选例题 (教师用书独具) 如图, 在正方体ABCDA1B1C1D1中, 点E、F分别是棱AA1、CC1的中点, 求证: D1、E、F、B共面.第26页，共67页。【证明】D1、E、F三点不共线, D1、E、F三点确定一平面, 又由题意可知D1E与DA共面于平面A1D且不平行, 平面故分别延长D1E、DA相交于G, 则G直线D1E, 又D1E平面, G平面.第27页，共67页。同理,

7、 设直线D1F与DC的延长线交于点H, 则H平面.又点G、B、H均属于平面AC, 且由题设条件知E为AA1的中点且AEDD1, 从而AGADAB, AGB为等腰直角三角形, ABG45, 同理CBH45,又ABC90, 从而点B平面, D1、E、F、B共面.第28页，共67页。变式训练1.如图所示的正方体或四面体, P、Q、R、S分别是所在棱的中点, 则这四个点不共面的一个图是()第29页，共67页。解析: 选D.在A图中分别连接PS、QR, 易证PSQR, P、S、R、Q共面.如图所示, 在B图中过P、Q、R、S可作一正六边形, 故四点共面；第30页，共67页。在C图中分别连接PQ、RS,

8、易证PQRS, P、Q、R、S共面；D图中由异面直线判定定理知PS与RQ为异面直线, 四点不共面, 故选D.第31页，共67页。例2考点2空间两条直线的位置关系 如图所示, 正方体ABCDA1B1C1D1中, M、N分别是A1B1、B1C1的中点.第32页，共67页。问: (1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由.第33页，共67页。第34页，共67页。第35页，共67页。【名师点评】判定两条直线是否异面, 可依据定义来进行, 还可依据定理(过平面外一点与平面内一点的直线, 和平面内不经过该点的直线是异面直线)进行.反证法是证明两直线异面的有效方法

9、.第36页，共67页。例备选例题(教师用书独具) 设A, B, C, D是空间四个不同的点, 在下列命题中, 不正确的是_.(填序号)若AC与BD共面, 则AD与BC共面；若AC与BD是异面直线, 则AD与BC是异面直线；若ABAC, DBDC, 则ADBC；若ABAC, DBDC, 则ADBC.第37页，共67页。【解析】对于, 显然正确.对于, 假设AD与BC共面, 由正确得AC与BD共面, 这与题设矛盾, 故假设不成立, 从而结论正确.对于, 如图, 当ABAC, DBDC, 使二面角ABCD的大小变化时, AD与BC不一定相等, 故不正确.第38页，共67页。对于, 如图, 取BC的中

10、点E, 连接AE, DE, 则由题设得BCAE, BCDE.根据线面垂直的判定定理得BC平面ADE, 从而ADBC.【答案】第39页，共67页。变式训练2. (2010高考江西卷)如图, M是正方体ABCDA1B1C1D1的棱DD1的中点, 给出下列四个命题: 过M点有且只有一条直线与直线AB, B1C1都相交；过M点有且只有一条直线与直线AB, B1C1都垂直；第40页，共67页。过M点有且只有一个平面与直线AB, B1C1都相交；过M点有且只有一个平面与直线AB, B1C1都平行.其中真命题是()A. B.C. D.第41页，共67页。解析: 选C.中要求过M点作直线与AB, B1C1均相

11、交, 因为AB与B1C1异面且垂直, 所以该直线可得唯一一条, 故正确.又中过M点与对角面AA1C1C平行的平面与AB, B1C1均相交, 旋转该面仍可能与AB, B1C1均相交, 故错, 选C第42页，共67页。例3考点3异面直线所成的角 (2011高考上海卷改编)已知ABCDA1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱, 高AA12, 求: (1)异面直线BD与AB1所成角的余弦值；(2)四面体AB1D1C的体积.第43页，共67页。【解】(1)连接BD, AB1, B1D1, AD1.BDB1D1, AB1AD1, AB1D1为异面直线BD与AB1所成角, 记为.第44页，共67页。第45页

12、，共67页。第46页，共67页。【名师点评】本题以正四棱柱为载体, 考查异面直线所成的角、四面体体积的求法, 考查学生的空间想象能力、运算能力及分析问题、解决问题的能力.第47页，共67页。例备选例题(教师用书独具) (2010高考湖南卷)如图所示, 在长方体ABCDA1B1C1D1中, ABAD1, AA12, M是棱CC1的中点.求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值.第48页，共67页。第49页，共67页。变式训练3.如图, 若正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为2, 高为4, 则异面直线BD1与AD所成角的正切值是_.第50页，共67页。第51页，共67页。方法感悟方法技巧

13、1.主要题型的解题方法(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面, 再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”).第52页，共67页。(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线, 只要证明这些点都是这两个平面的公共点, 根据公理3可知这些点在交线上, 因此共线.2.判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理: 平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线.第53页，共67页。(2)反证法: 证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面, 从而可得两线异面.3.求两条异面直线所成角的大小的一般方法一般方法是通过平行移动直线, 把异面问题转化

14、为共面问题来解决.根据空间等角定理及推论可知, 异面直线所成角的大小与顶点位置无关, 往往将角的顶点取在其中的一条直线上, 特别地, 可以取其中一条直线与第54页，共67页。另一条直线所在平面的交点或异面线段的端点.总之, 顶点的选择要与已知量有关, 以便于计算, 具体步骤如下: (1)利用定义构造角, 可固定一条, 平移另一条, 或两条同时平移到某个特殊的位置, 顶点选在特殊的位置上；(2)证明作出的角即为所求角；(3)利用三角形来求解.第55页，共67页。失误防范1.异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线, 而不是分别在两个平面内.一定要理解定义.2.求异面直线所成的角要特别注意异面直线

15、所成角的范围是(0, 90.第56页，共67页。命题预测从近几年的高考试题来看, 异面直线所成的角、异面直线的判定是高考的热点, 题型多为选择题或填空题, 难度为中、低档.客观题主要考查异面直线所成角的概念及求法, 考查平移直线法、考向瞭望把脉高考第57页，共67页。向量法求异面直线所成的角；主观题主要考查立体几何的有关知识、异面直线所成角的求法及异面直线的判定等, 同时还考查了学生的空间想象能力和运算能力.预测2013年高考仍将以求异面直线所成的角为主要考查点, 重点考查学生的空间想象能力和运算能力.第58页，共67页。例典例透析 (2012长春质检)对于四面体ABCD, 下列命题正确的是_

16、.(写出所有正确命题的编号)相对棱AB与CD所在的直线异面；由顶点A作四面体的高, 其垂足是BCD的三条高线的交点；第59页，共67页。若分别作ABC和ABD的边AB上的高, 则这两条高所在直线异面；分别作三组相对棱中点的连线, 所得的三条线段相交于一点；最长棱必有某个端点, 由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱.第60页，共67页。【解析】对于显然是正确的, 根据异面直线的定义可知；是错误的, 构造特例, 令AD为四面体的高, 而对底面BCD没有要求, 那么D不一定是三条高线的交点；是错误的, 若ABAC, 且ABAD, 则AC、AD这两条线交于A点；是正确的, 不妨设AB, BC, CD, DA的中点分别为E, F, G, H, 则EFGH是平行四边形, 对角线EG, FH相交于一点且被该点平分, 第61页，共67页。同理, AC, BD的中点连线也必过该点且被该点平分；是正确的, 证明如下: 设四面体中, AB是最长的棱, 假设ACADAB, BCBDAB, 两式相加得: (ACBC)(ADBD)2AB.(*)而在ABC中, ACBCAB, 在ABD中, ADBDAB, 第62页，共67页。两式相加得, (ACBC)(ADBD)2AB, 这与(*)式矛盾.所以, 原命题是正确的.因此, 选择.【答案】【得分