九下解直角三角形的应用

1、 解直角三角形的应用一. 教学内容： 解直角三角形的应用学习目标 1. 了解解直角三角形在测量及几何问题中的应用。 2. 掌握仰角、俯角、坡度等概念，并会解有关问题。 3. 会用直角三角形的有关知识解决某些简单实际问题。二. 重点、难点： 1. 仰角、俯角 在进行测量时，视线与水平线所成角中，规定：视线在水平线上方的叫做仰角。 视线在水平线下方的叫做俯角。 2. 坡度 坡面的铅直高度h和水平宽度L的比叫做坡度（或叫坡比），用字母i表示，即。 如果把坡面与水平面的夹角记作（叫做坡角），那么。 3. 直角三角形在实际问题中的应用 在解决实际问题时，解直角三角形有着广泛的作用。具体来说，要求我们善于

2、将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形的边，角之间的关系，这样就可运用解直角三角形的方法了。教学难点 运用解直角三角形的知识，结合实际问题示意图，正确选择边角关系，解决实际问题。【典型例题】 例1. “曙光中学”有一块三角形形状的花圃ABC，现可直接测量到A=30，AC=40米，BC=25米，请你求出这块花圃的面积。 解：分两种情况计算 （1）如图1，过C作CDAB于D，则图1 ，故 （米2） （2）如图2，过C作CDAB且交AB的延长线于D，图2 由（1）可得CD=20，所以 （米2） 点拨：通过作高，把解某些斜三角形的问题转化为解直角三角形的问题。 例2. 某片绿地的形状如图3所示，其

3、中A=60，ABBC，ADCD，AB=200m，CD=100m，求AD、BC的长。（精确到1m，）图3 解：延长AD，交BC的延长线于点E，可构成两个直角三角形， 在RtABE中，A=60，AB=200m (m) 在RtCDE中，CED=30，CD=100m 点拨：其他四边形，如平行四边形，梯形等，常通过作高实现多边形向直角三角形转化。 例3. 如图4所示，某电视塔AB和楼CD的水平距离为100米，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别为45和60，试求塔高和楼高。图4 （精确到0.1m，参考数据：） 解：在RtADB中， ADB=60，DB=100m， 在ACE中，ACE=45 AE=CE

4、=100 答：电视塔高是173.2m，楼高是73.2m。 点拨：搞清仰角、俯角等概念，同时要找合适的直角三角形。 例4. 如图5，在比水面高2m的A地，观测河对岸有一直立树BC的顶部B的仰角为30，它在水中的倒影BC顶部B的俯角是45，求树高BC（结果保留根号）图5 解：设树高BC=x(m)，过A作AEBC于E， 在RtABE中， BAE=45，AEBC 又 答：树高BC为 点拨：树与树的倒影长度相等，即BC=BC，是此题的隐含条件。 例5. 为防水患，在漓江上游修筑防洪堤，其横截面为一梯形，如图6，堤的上底宽AD和堤高DF都是6米，其中B=CDF。图6 （1）求证：ABECDF； （2）如果

5、tanB=2，求堤的下底BC的长。 （1）证明：AEBC，DFBC B=CDF ABECDF （2）解：在RtABE中， 在RtCDF中， CF=2DF=12 答：堤的下底BC的长是21m。 点拨：与堤坝有关的问题，首先要搞清坡度（坡比），坡角等概念，同时还要将四边形问题转化为解直角三角形。 例6. 如图7，水库的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡CD坡度i=1：1，斜坡AB坡度，求斜坡AB的长及坡角和坝底宽AD（精确到0.1m）。图7 解：过B，C两点分别作BEAD于E，CFAD于F， 则m， 在RtABE中， 在RtCFD中， FD=CF=23（m） 答：斜坡AB长4m，坡角为30

6、，坝底宽AD约为68.8m。 点拨：求出近似值要符合题目要求。 例7. 如图8，某轮船沿正北方向航行，在A点处测得灯塔C在北偏西30，船以每小时20海里的速度航行2小时到达B点后，测得灯塔C在北偏西75，问当此船到达灯塔C的正东方时，船距灯塔C有多远？（结果保留两位有效数字）？图8 解：在ABC中，AB=202=40（海里），A=30 过B作BEAC于E 则（海里） （海里） （海里） 过C作CDAB于D， 则（海里） 答：船到达灯塔正东时，它距灯塔27.32海里。 点拨：搞清方向角的概念，同时会找合适的直角三角形。 例8. 今年入夏以来，松花江哈尔滨段水位不断下降，达到历史最低水位，一条船在

7、松花江某水段自西向东沿直线航行，在A处测得航标C在北偏东60方向上，前进100米到达B处，又测得航标C在北偏东45方向上，如图9，在以航标C为圆心，120米长为半径的圆形区域内有浅滩，如果这条船继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险？图9 解：如图9，过点C作CDAB，设垂足为D， 在RtADC中， 在RtBDC中， 136.5米120米，故没有危险。 答：若船继续前进没有被浅滩阻碍的危险。 点拨：熟记特殊三角函数值，注意所求结果符合实际情况，情景应用题。 例9. 如图10，某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货。此时，接到气象部门

8、通知，一台风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西60方向移动，距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均会受到影响。图10 （1）问：B处是否会受到台风的影响？请说明理由。 （2）为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货？（）。 解：（1）过点B作BCAC于D， 依题意，BAC=30 在RtABD中， B处会受到台风的影响。 （2）以点B为圆心，200海里为半径作圆交AC于E，F 由勾股定理，求得 （海里） （小时） 该船应在3.8小时内卸完货物。 点拨：不是纯数学化的“已知”，“求解”的模式，而是结合一种情景，一种实际需求，以解决一种实际问题为标志，旨在考查学生的数学应用能力。【模

9、拟试题】（答题时间：40分钟）一. 选择题： 1. 如果坡度的余弦值为，那么坡度比为（ ） A. B. C. 1：3 D. 3：1 2. 如果由点A测得点B在北偏东15的方向，那么由点B测点A的方向为（ ） A. 北偏东15 B. 北偏西75 C. 南偏西15 D. 南偏东75 3. 如图1，两建筑物的水平距离为a米，从A测得D点的俯角为，测得C点的俯角为，则较低建筑物CD的高为（ ）图1 A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 4. 如图2斜坡AB和水平面的夹角为，下列命题中，不正确的是（ ）图2 A. 斜坡AB的坡角为 B. 斜坡AB的坡度为 C. 斜坡AB的坡度为 D. 斜坡AB的坡度为

10、二. 填空题 5. 在ABC中，C=90，若，则c=_，A=_，B=_。 6. 一物体沿坡度为1：8的山坡向上移动米，则物体升高了_米。 7. RtABC中，一锐角的正切值为0.75，周长是36，则它的两条直角边的和是_。 8. 在地面上一点，测得一电视塔尖的仰角45，沿水平方面，再向塔底前进a米，又测得塔尖的仰角为60，那么电视塔为_。 9. 如图3，在高2米，坡角为30的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需_米。（精确到0.1米）。图3三. 解答题 10. 如图4，要测池塘A、B两端的距离，可以在平地上与AB垂直的直线BF上取一点C，使FCA=120，并量得BC=20m，求A，B两端的距离（不取近似值）。图4 11. 从一船上看到在它的南偏东30的海面上有一座灯塔，船以30海里/时的速度向东南方航行，半小时后，看到这个灯塔在船的正西，求这时船与灯塔的距离。【试题答案】一. 选择题： 1. C 2. C 3. D 4. B二. 填