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1、第五节 一、近似计算 二、微分方程的幂级数解法 函数幂级数展开式的应用 第十二章 三、欧拉公式 1一、近似计算例1. 计算的近似值, 精确到解: 2例2. 计算的近似值 ,使准确到解: 已知故令得于是有用此式求 ln2 计算量大3在上述展开式中取前四项, 4说明: 在展开式中,令得具此递推公式可求出任意正整数的对数 . 如 ( n为自然数) , 5例3. 利用求误差. 解: 先把角度化为弧度(弧度)的近似值 , 并估计6( 取 例4. 计算积分的近似值, 精确到解:7则 n 应满足则所求积分近似值为欲使截断误差8例5. 计算积分的近似值, 精确到解: 由于故所给积分不是广义积分.若定义被积函数

2、在 x = 0 处的值为 1, 则它在积分区间上连续, 且有幂级数展开式 :9二、微分方程的幂级数解法代入原方程, 比较同次幂系数可定常数 由此确定的级数即为定解问题在收敛区间内的解. 设所求解为幂级数解法本质上就是待定系数法 1. 一阶微分方程的情形10例6. 解: 根据初始条件, 设所求特解为代入原方程, 得比较同次幂系数, 得故所求解的幂级数前几项为 112. 二阶齐次线性微分方程问题定理:则在R x 4 时,13因此注意到:此题的上述特解即为14三、欧拉(Euler)公式则称 收敛 , 且其和为绝对收敛收敛 .若收敛,若对复数项级数绝对收敛则称 绝对收敛. 由于, 故知 欧拉 15定义

3、: 复变量的指数函数为易证它在整个复平面上绝对收敛 .当 y = 0 时, 它与实指数函数当 x = 0 时,的幂级数展式一致.16（欧拉公式）（也称欧拉公式）利用欧拉公式可得复数的指数形式则欧拉 17据此可得(德莫弗公式)利用幂级数的乘法, 不难验证特别有第六节 作业 P291 1 (1),(3); 2(2)；3(1),(3); 4(2)第七节 18 备用题 1. (1) 验证函数满足微分方程(2) 利用(1)的结果求幂级数的和. (2002考研) 解: (1)19所以(2) 由(1)的结果可知所给级数的和函数满足其特征方程:特征根:齐次方程通解为设非齐次方程特解为代入原方程得故非齐次方程通

4、解为20代入初始条件可得故所求级数的和212.解:求解勒让德 (Legendre) 方程 展成幂级数, 故方程满足定理条件.设方程的解为代入 : 因方程特点,不用将 P, Q 进行展开定理22整理后得:比较系数, 得例如:23于是得勒让德方程的通解: 上式中两个级数都在(1, 1 )内收敛, 可以任意取, 它们是方程的两个线性无关特解. 24欧拉 (1707 1783)瑞士数学家. 他写了大量数学经典著作, 如无穷小分析引论 , 微 还写了大量力学, 几何学, 变分法教材. 他在工作期间几乎每年都完成 800 页创造性的论文. 他的最大贡献是扩展了微积分的领域, 要分支 (如无穷级数, 微分方程) 与微分几何的产生和发

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