新人教版高中数学必修第二册第六章平面及其应用：6.4.1 平面几何中的向量方法 6.4.2 向量在物理中的应用举例

1、6.4平面向量的应用6.4.1平面几何中的向量方法6.4.2向量在物理中的应用举例基础过关练题组一平面几何中的向量方法 1.已知A,B,C是平面上的三点,其坐标分别为(1,2),(4,1),(0,-1),则ABC的形状为()A.直角(非等腰)三角形B.等腰(非等边)三角形C.等腰直角三角形D.以上均不正确2.在直角三角形ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,则PA2+PB2PC2=()A.2B.4C.5D.103.已知O是ABC所在平面内的一点,若(OA+OB)AB=(OB+OC)BC=(OC+OA)CA=0,则点O是ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心4.已知点P在A

2、BC所在的平面内,若2PA+3PB+4PC=3AB, 则PAB与PBC的面积的比值为.5.已知正方形ABCD中,E、F分别是CD、AD的中点,BE、CF交于点P,连接AP.用向量法证明:(1)BECF;(2)AP=AB.题组二向量在物理中的应用举例6.某人骑自行车的速度是v1,风速为v2,则逆风行驶的速度为()A.v1-v2B.v1+v2C.|v1|-|v2|D.v1v27.(2020山东济南高三下模拟)体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动处于如图所示的平衡状态时,若两只胳膊的夹角为60,每只胳膊的拉力大小均为400 N,则该学生的体重约为(参考数据:重力加速度的

3、大小为g=10 N/kg,31.732)()A.63 kgB.69 kgC.75 kgD.81 kg8.一条渔船距对岸4 km,以2 km/h的速度向垂直于对岸的方向划去,到达对岸时,船的实际航程为8 km,则河水的流速为()A.23 km/hB.2 km/hC.3 km/hD.3 km/h9.一个物体同时受到同一平面内三个力F1,F2,F3的作用,沿北偏东45方向移动了8 m,已知|F1|=2 N,方向为北偏东30,|F2|=4 N,方向为北偏东60,|F3|=6 N,方向为北偏西30,则这三个力的合力所做的功为()A.24 JB.242 JC.243 JD.246 J10.如图所示,在细绳

4、O处用水平力F2缓慢拉起重力为G的物体,绳子与铅垂方向的夹角为,绳子所受到的拉力为F1.(1)请说明|F1|、|F2|随角的变化而变化的情况;(2)当|F1|2|G|时,求角的取值范围.能力提升练题组一平面几何中的向量方法 1.()已知P是ABC所在平面上一点,且|PB-PC|-|PB+PC-2PA|=0,则ABC的形状是()A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形2.(2019湖南岳阳一中高一期末,)过ABC内部一点M任作一条直线EF,ADEF于D,BEEF于E,CFEF于F,且AD+BE+CF=0,则点M是ABC的()A.三条高的交点B.三条中线的交点C.三边中垂线的交

5、点D.三个内角平分线的交点3.(2020安徽六安第一中学高一下阶段测试,)已知a=-12,32,OA=a-b,OB=a+b.若OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形,则AOB的面积是.4.()如图,已知ABC的面积为14 cm2,D,E分别为边AB,BC上的点,且ADDB=BEEC=21,AE,CD交于点P,则APC的面积为cm2.5.(2020河南新乡高一上期末,)在平行四边形ABCD中,AB=2,BC=3,B=30,点E,F分别在边BC,CD上(不与端点重合),且BEEC=CFDF,则AEAF的取值范围为.6.()如图,在ABC中,BAC=120,AB=AC=3,点D在线段BC上,且BD=

6、12DC.求:(1)AD的长;(2)DAC的大小.题组二向量在物理中的应用举例7.(2019广东惠州高一期中,)一只鹰正以与水平方向成30角的方向向下飞行,直扑猎物,太阳光从头上直照下来,鹰在地面上的影子的速度的大小是40 m/s,则鹰的飞行速率为()A.803 m/sB.4033 m/sC.8033 m/sD.403 m/s8.()一条两岸平行的河流,水速为1 m/s,小船的速度为2 m/s,为使所走路程最短,小船应朝的方向行驶.9.()如图,一个力F作用于小车G,使小车G发生了40米的位移,F的大小为50 N,且与小车的位移方向的夹角为60,e是与小车位移方向相同的单位向量,则F在小车位移

7、上的投影向量为,力F做的功为.10.()如图所示,一条河的两岸互相平行,河的宽度d=500 m,一艘船从A点出发航行到河对岸,船航行速度的大小为|v1|=10 km/h,水流速度的大小为|v2|=4 km/h,设v1和v2的夹角为(0180).(1)当cos 多大时,船能垂直到达对岸?(2)当船垂直到达对岸时,航行所需时间是否最短?为什么?答案全解全析基础过关练1.C由题意,得AB=(3,-1),AC=(-1,-3),ABAC=3(-1)+(-1)(-3)=0,且|AB|=|AC|=10,ABC为等腰直角三角形.2.DPA2+PB2PC2=|PA|2+|PB|2|PC|2=PA2+PB2PC2

8、=(PC+CA)2+(PC+CB)2PC2=2|PC|2+2PC(CA+CB)+|AB|2|PC|2=|AB|2|PC|2-6=42-6=10.3.A由已知得(OA+OB)(OB-OA)=(OB+OC)(OC-OB)=(OC+OA)(OA-OC)=0,即OB2-OA2=OC2-OB2=OA2-OC2=0,所以|OA|=|OB|=|OC|,所以点O是ABC的外心.故选A.4.答案45 解析2PA+3PB+4PC=3AB,2PA+3PB+4PC=3(PB-PA),5PA=-4PC,点P在线段AC上,且|PA|=45|PC|.PAB与PBC分别以PA,PC为底时,高相同,PAB与PBC的面积的比值为

9、|PA|PC|=45.5.证明如图,建立平面直角坐标系xOy,不妨设AB=2,则A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1).(1)BE=OE-OB=(1,2)-(2,0)=(-1,2),CF=OF-OC=(0,1)-(2,2)=(-2,-1),BECF=-1(-2)+2(-1)=0,BECF,即BECF.(2)设P(x,y),则FP=(x,y-1),BP=(x-2,y),由(1)知CF=(-2,-1),BE=(-1,2),FPCF,-x=-2(y-1),即x=2y-2.同理,由BPBE,得y=-2x+4.联立,解得x=65,y=85,即P65,85.AP2=652+8

10、52=4=AB2,|AP|=|AB|,即AP=AB.6.B由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v1+v2.注意速度是有方向和大小的,是一个向量.7.B设两只胳膊的拉力分别为F1,F2,学生的体重为m kg,则mg=|F1+F2|=(F1+F2)2=4002+2400400cos60+4002=4003692.8,可得m69 kg.故选B.8.A如图,设A为渔船,BC所在直线为对岸,AB=4 km,实际航程AC=8 km,则BCA=30,又|vAB|=2 km/h,|vAC|=4 km/h,|vBC|=23 km/h,故选A.9.D如图,以正东方向为x轴正方向,正北方向为y轴正方向,建立平面直角

11、坐标系,则F1=(1,3),F2=(23,2),F3=(-3,33),所以合力F=F1+F2+F3=(23-2,2+43).由题意得,位移s=(42,42),故合力F所做的功W=Fs=(23-2)42+(2+43)42=6342=246(J).故选D.10.解析画出物体的受力分析图,如图.(1)由力的平衡及向量加法的平行四边形法则得,G=-(F1+F2),|F1|=|G|cos,|F2|=|G|tan .当角从0趋向于90时,|F1|、|F2|都逐渐增大.(2)由|F1|=|G|cos2|G|,得cos 12.090,060,角的取值范围是060.能力提升练1.BP是ABC所在平面上一点,且|

12、PB-PC|-|PB+PC-2PA|=0,|CB|-|(PB-PA)+(PC-PA)|=0,即|CB|=|AB+AC|,|AB-AC|=|AB+AC|,两边平方并化简得ACAB=0,ACAB,A=90,即ABC是直角三角形.无法判断ABC是不是等腰三角形.故选B.2.B根据特殊位置法,可以判断,当直线EF经过C点时,AD+BE+CF=0,即AD+BE=0,于是|AD|=|BE|,EF即为AB边上的中线,同理,当EF经过A点时,EF是BC边上的中线,当EF经过B点时,EF是AC边上的中线,因此,点M是ABC的三条中线的交点,故选B.3.答案1解析OAOB,OAOB=(a-b)(a+b)=0,a2

13、-b2=0,|a|=|b|,|OA|=|OB|,|a-b|=|a+b|,a2+b2-2ab=a2+b2+2ab,ab=0,又|a|=1,a、b是互相垂直的单位向量,|OA|=|OB|=2,SOAB=12|OA|OB|=1.4.答案4解析设AB=a,BC=b,以a,b为一组基底,则AE=AB+23BC=a+23b,DC=13AB+BC=13a+b.点A,P,E与点D,P,C分别共线,存在实数和,使AP=AE=a+23b,DP=DC=13a+b.又AP=AD+DP=23+13a+b,=23+13,23=,解得=67,=47,SPAB=47SABC=1447=8 cm2,SPBC=141-67=2

14、cm2,SAPC=14-8-2=4 cm2.5.答案-13,1解析以B为坐标原点,BC所在直线为x轴,BC的垂线为y轴建立平面直角坐标系,则A(3,1).由BEEC=CFDF可设BE=tBC=3t,CF=tCD=2t(0t1),则E(3t,0),F(3+3t,t),AE=(3t-3,-1),AF=(3t,t-1),AEAF=3t(3t-3)-(t-1)=3t2-4t+1=3t-232-13,0t1,当t=23时,AEAF有最小值,为-13;当t无限趋近于0时,AEAF无限趋近于1.故AEAF的取值范围为-13,1.6.解析(1)设AB=a,AC=b,则AD=AB+BD=AB+13BC=AB+1

15、3(AC-AB)=23AB+13AC=23a+13b.|AD|2=AD2=23a+13b2=49a2+229ab+19b2=499+22933cos 120+199=3,AD=3(负值舍去).(2)设DAC=(0120),则为AD与AC的夹角.cos =ADAC|AD|AC|=23a+13bb33=23ab+13b233=2333-12+13933=0,=90,即DAC=90.7.C如图所示,设鹰的飞行速度为v1,鹰在地面上的影子的速度为v2,则|v2|=40 m/s.因为鹰的运动方向与水平方向成30角向下,所以|v1|=|v2|32=8033 m/s.8.答案与水速成120角解析如图,为使小船所走路程最短,v水+v船应与岸垂直.又|v水|=|AB|=1,|v船|=|AC|=2,ADC=90,所以CAD=30.所以小船应朝与水速成120角的方向行驶.9.答案25e;1 000 J解析|F|=50,且F与小车的位移方向的夹角为60,F在小车位移上的投影向量为|F|cos 60e