一元函数微积分课件

1、课程目标一元函数微积分微分应用积分应用积分变换微积分所研究的主要对象是函数，为了能够比较深入地研究一般函数，必须引用新的工具极限理论。我们的学习就从函数与极限开始。 函数的几种特性 基本初等函数 对数在通信专业的应用 复数 函数第1章 函数11 12 13 14 15 复数在通信专业中的应用16 11 函数1.1.1 区间与邻域（1）区间是指介于某两个实数之间（也可包括这两个实数）的全体实数的集合. 这两个实数叫做区间的端点.有限区间无限区间区间1.开区间2.闭区间3.半开区间有限区间区间长度的定义：两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.无限区间（2）邻域如何表示去心邻域hink: T集

2、合表示记号1.1.2 函数的概念自变量因变量函数的表达形式x123y249函数三要素定义域，对应法则，值域自变量因变量对应法则f约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值所构成的集合.同一函数： 定义域相同、对应法则相同例题：求下列函数的定义域；1.分母不能为零 注意：定义域必须用解集或区间的形式表示 例题：求下列函数的定义域；1.分母不能为零例题：求下列函数的定义域；2.对数函数真数大于0例题：求下列函数的定义域；2.对数函数真数大于0例题：求下列函数的定义域；2.对数函数真数大于0例题：求下列函数的定义域；3.偶次根式下的式子大于等于0例题：求下列函数的定义域；3.偶次根式下的

3、式子大于等于0例题：求下列函数的定义域；3.奇次根式下的式子无限制例题：求下列函数的定义域；3.奇次根式下的式子无限制例题：求下列函数的定义域；4.综合运用例题：求下列函数的定义域；4.综合运用练习：求下列函数的定义域12 函数的几种特性1.2.1 函数的单调性xyoxyo单调增加和单调减少的函数统称为单调函数，单调增区间和单调减区间统称为单调区间。增函数减函数1任取2作差3分解因式4判正负5结论1.2.2 函数的奇偶性图像性质函数性质偶函数奇函数关于y轴对称关于原点中心对称判断以下函数图像的奇偶性若函数所在区间不关于原点对称或函数没有奇偶性的函数性质.那么我们称这类函数为：非奇非偶函数判断以

4、下函数的奇偶性总结：利用定义判断函数奇偶性的一般步骤定义域关于原点对称？ 非奇非偶函数是否练习1.判断函数的奇偶性解： 的定义域是 ，定义域关于原点对称.为偶函数。解： 的定义域是 ，定义域不关于原点对称.练习2.判断函数的奇偶性故其为非奇非偶函数。1.2.3 函数的有界性M-Myxoy=f(x)XM-MyxoX有界无界1.2.4 函数的周期性（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.常见周期函数1.2.5 反函数13 基本初等函数基本初等函数及图形4、三角函数三角函数还包括5、反三角函数幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.1.3.1 分段函数与复合函数1.分段

5、函数：在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同的式子来表示的函数，称为分段函数。几种重要的分段函数2. 复合函数例2.求下列复合函数的复合过程例2.求下列复合函数的复合过程；注意：中间变量不仅限于一个练习.求下列复合函数的复合过程可否复合成一个函数？1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;只有当外层函数的定义域和内层函数的值域交集非空时才能构成复合函数2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.15 复数1.5.1复数的概念1、复数的定义 i 叫虚数单位，规定： （1）i2=1 （2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立。a=0,b0,则z=bi叫纯虚

6、数。b0,则z=a+bi叫虚数。虚部不为0是两个共轭复数叫共轭虚数。z=abi叫z=a+bi 的共轭复数。如果两个复数相等，那么它们的实部和虚部分别相等复数相等：2.复数的几何表示复数z=a+bi 点Z（a,b)有序数对（r,）向量OZOxyZr:a+bi实轴虚轴模:|z|2=a2+b2=zz以x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在射线为终边的角两个复数只能说相等，不相等；不能比较大小。1.5.2 复数的四则运算1.复数的加法和减法两个复数相加（减）就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加（减）（a+bi）（c+di）=（a c） + （bd）iOyxZ1(a,b)Z2(c,d)ZZ1(a,b)Z2(

7、c,d)Oyxz1-z2根据复数的几何意义及向量表示，求复平面内两点间距离公式。1、复数的乘法与多项式的乘法类似，但必须在所得的结果中把i2 换成-1，并把实部与虚部分开2、两个复数的积仍是复数。3、复数的乘法满足：注：2. 复数的乘法和除法交换律结合律分配律 z1 z2 =z2 z1(z1 z2) z3=z1 ( z2 z3 )z1 （z2+ z3）= z1 z2 + z1 z35、实数集R中正整数指数幂的运算律在复数集C中仍成立，即z 、 z1、 z2 C，m、n N*有z m z n= z m+n(z m )n= z m n(z1 z2 )n= z1 n z2 n一般地，如nN*，有i4

8、n=1 i4n+1=i i4n+2= -1 i4n+3= -i例题.复数的除法是乘法运算的逆运算，即把满足例题.1.5.3 复数的三角形式 代数形式三角形式练习1.把下列复数转化为三角形式1.5.4 复数三角形式的乘法和除法2. 复数的除法瑞士数学家、自然科学家 (17071783)欧 拉Leonhard Euler十八世纪数学界最杰出的人物之一。 数学史上最多产的数学家。 不但为数学界作出贡献，而且把数学推至几乎整个物理领域。1.5.5 复数的指数形式(牛顿全集 8 卷，高斯全集 12 卷) 彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙碌了 47 年。整理出他的研究成果多达 74 卷。 欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家。一生共写下了 886 本书籍和论文。以每年平均 800 页的速度写出创造性论文。分析、代数、数论占40%，几何占18%，物理和力学占28%，天文学占11%，弹道学、航海学、建筑学等占3%，其中附：人物介绍 欧拉 1748 年，欧拉给出了著名的公式 令 有它把五个最重要的数 联系起来。公式之一， 奇妙的欧拉公式克莱茵认为