ch4各态历经性与随机模拟

1、2022/8/41/41随机信号分析第4章 各态历经性与随机实验 2/412022/8/4第4章 各态历经性与随机实验问题： 大多数的随机信号要用实测样本表达；并由实测样本数据去探测信号的统计特性。4.1 各态历经性结果： 测量工作量巨大3/412022/8/4例：某随机电压4/412022/8/4对于某固定时刻 t ，统计平均（集总平均）为： 对于某个样本的-T,T上一段选 m 个点，该 m 个值的平均值的极限（样本的局部时间平均）为：5/412022/8/4当 时：是整个样本的时间平均 若用一条样本的时间平均代替统计平均，则可大大地减少测量工作量和测量难度。理论基础是信号的各态历经性理论6

2、/412022/8/4各态历经的含义：如果观察时间足够长，每个样本都经历了随机过程的各种状态，从一个样本上就可以提取随机过程的全部统计特性。贝努力随机信号 热噪声电压 随机相位正弦波都是各态历经R.S.各态历经性又称为遍历性7/412022/8/4严格各态历经：所有统计参数都具有各态历经性广义各态历经：均值和相关函数同时具有各态历经性应用与研究中特别关注广义各态历经性。 名称 基本特征 均值各态历经 统计平均 = 样本时间平均相关函数各态历经 统计相关函数 = 样本时间相关函数一阶分布各态历经 一阶概率分布 = 一阶分布时间平均各态历经分类：8/412022/8/44.1.1 均值各态历经1.

3、 随机信号样本时间平均(1) 随机信号 X(t) 的样本时间平均是样本的函数，因而是一个R.V.9/412022/8/4(2) 时间平均的统计平均均值平稳时10/412022/8/4(3) 时间平均的方差均值平稳时11/412022/8/42. 均值各态历经 均值各态历经要满足的条件：（1）随机信号X(t,)的统计平均 EX(t)与t无关（2）随机信号X(t,)时间平均AX(t)要与无关，且 的函数t 的函数12/412022/8/4定义：设 X(t) 是均值平稳的随机过程，若其 AX(t) 与 EX(t)在均方误差 MSE (mean square error)为零的意义下相等，即则称 X(

4、t) 具有均值各态历经性。或记为：13/412022/8/4等价定义：设 X(t) 是均值平稳的随机过程，若其 AX(t) 与 EX(t)依概率1相等，即则称 X(t) 具有均值各态历经性。14/412022/8/4可能均值各态历经非均值各态历经例：是R.V.各个样本的时间平均大致相同且等于统计平均15/412022/8/4定理4.1 （均值各态历经性判断条件）若信号广义平稳，则（1）充分条件为： , 且（2）充要条件为：（3）充要条件为：16/412022/8/4对于随机序列，时间平均由下式计算，判断条件相仿，比如充分条件： 17/412022/8/4例 4.1 假定实随机信号X(t)=C，

5、其中C是随机变量，方差 ,为常数。讨论X(t)的均值各态历经性。解一：方差 ，则X(t)的样本如图示：18/412022/8/4随机变量故X(t)非均值各态历经均值平稳19/412022/8/4如果 ,则只有一个样本,此时X(t)均值各态历经故X(t)非均值各态历经 所以 X(t)是WSS的解二：20/412022/8/4解：例4.2 设随机信号 ，其中 A 为常量，n(t) 是白噪声。且 ，讨论其均值各态历经性。，利用定理4.1的（2）： 故 X(t ) 是均值各态历经 均值平稳广义平稳21/412022/8/4例： 若随机信号X(t)是广义平稳的，均值 m=2 或 3 ，其相关函数为如图所

6、示的各种情况。试判断各种情况下随机信号的均值各态历经性。 1525209m2m2m2m322/412022/8/44.1.2 相关各态历经1.时间相关函数(1) 时间相关函数是的函数，是的函数，是一个R.S.-TTt23/412022/8/4(2) 时间相关函数的统计平均24/412022/8/4(3) 时间相关函数的方差广义平稳时25/412022/8/4 相关各态历经要满足的条件：（1）随机信号X(t)的统计相关 EX(t +)X(t)与t无关（2）随机信号X(t)时间相关 AX(t +)X(t)要与无关，且 2. 相关各态历经 ,的函数t ,的函数即时间相关取一个确定函数。26/4120

7、22/8/4定义： 对广义平稳随机过程 X(t)，若其 AX(t +)X(t) 与 EX(t +)X(t)依概率1相等，即则称 X(t) 具有相关各态历经性。27/412022/8/4定理4.2：若X(t)是广义平稳随机信号，其自相关函数具有各态历经性的充要条件是：其中：即X(t)的相关各态历经就是Z(t)的均值各态历经28/412022/8/43. 广义各态历经定义：若随机信号 同时满足均值和自相关各态历经，则称该信号为广义各态历经随机信号。注意：各态历经的前提是平稳，但平稳过程不一定各态历经。即各态历经过程是平稳过程的子集。若 WSS.R.S.X(t) 是零均值高斯信号，则其相关各态历经的

8、充要条件为：29/412022/8/4解：(1)平稳性：按定义 例4.3 s(t)是一个周期为 T 的函数， , 随机周期函数 , 比如， .讨论 X(t) 的平稳性和各态历经性。30/412022/8/4广义平稳31/412022/8/4(2)各态历经性：（时间平均中改用变量L)可见X(t)为均值各态历经的。32/412022/8/4它也是相关函数各态历经的。所以，是广义各态历经的。 33/412022/8/4例: 设随机过程 ，其中A、和为统计独立的随机变量；而且，A的均值为2，方差为4，在-5，5上均匀分布，在 上均匀分布。试问过程 是否广义平稳？其是否具有遍历性？ 解：（1）因为 A、

9、和为统计独立的,且在 上均匀分布34/412022/8/4因此 是广义平稳过程. 35/412022/8/4（2） 可见,因此 均值不具有遍历性，36/412022/8/4因此 非相关各态历经，非广义各态历经37/412022/8/4例: 设 ，其中 具有概率分布 ，试讨论 是否广义各态历经性。 解：由于 因此 是广义平稳过程，其时间平均为： 38/412022/8/4时间相关函数 由于 ,故 不具均值各态历经性.故 不具相关各态历经性。作业：4.1 4.2 4.4 4.5 4.6因此 不具广义各态历经性.39/412022/8/4 各态历经的工程意义(1)时间平均的工程意义设X(t)为电压（或电流）随机信号X(t)的直流