八个有趣的模型的外接球与内接球

1、空间几何体的外接球与内切球类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）B图1图4图2图3c2,即 2Rb2方法：找三条两两垂直的线段， 直接用公式（2R）22,22.a b c ,求出R例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表面积A. 16B. 20C. 24解：V a2h 16 , a 2,4R216 24,24 ，选 C；SCVI iAB(3)题-1引理：正三棱锥的对棱互垂直（4）在四面体S ABC中,SA平面 ABC , BAC120 ,SAAC 2, AB 1,则该四面体的外接球的表面积为（A11B.7D.4033,那么它的外

2、接球的（5）如果二棱锥的二个侧面两两垂直，它们的面积分别为表面积是（6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为 1的正方形，则该几何体外接球的体积为类型二、垂面模型(一条直线垂直于一个平面)1 .题设：如图5, PA平面ABC图5解题步骤: 第一步：将 ABC画在小圆面上， A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD，连接PD ,则PD必过球心O ;第二步：O1为ABC的外心，所以OOi 平面ABC,算出小圆Oi的半径O1Dr (三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得asin Asin B sin C12r), OOi PA ;2步：利用勾股定理求棱锥的外接球半

3、径：(2R)2 PA2 (2r)22R PA2 (2r)2 ; R2 r2 OOi2 R . r2OO；2.题设：如图 6, 7, 8, P的射影是 ABC的外二、 三棱锥P ABC的三条侧棱相等三棱锥P ABC的底面 ABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点O图8-1图8-2图8-3解题步骤: 第一步：确定球心 O的位置，取 ABC的外心O1,则P,O,O1三点共线；第二步：先算出小圆 O1的半径AO1 r,再算出棱锥的高 PO1 h （也是圆锥的高）第三步：勾股定理：OA2 01A2 O1O2R2 （h R）2 r2 ,解出R方法二：小圆直径参与构造大圆。例2 一个几何体的三视图如右图所

4、示，则该几何体外接球的表面积为（）C类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直）D.以上都不对图9-3图9-41.题设：如图9-1,平面PAC 平面ABC ,且ABBC （即AC为小圆的直径）第一步：易知球心 O必是 PAC的外心，即PAC的外接圆是大圆，先求出小圆的直径AC 2r ；第二步：在 PAC中，可根据正弦定理 asin Ab csin B sin C2R,求出R.如图9-2,平面PAC2_2_2OC2 01c2 O1O2.如图9-3,平面PAC平面ABC ,且AB222R2 r2 O1O2平面ABC ,且ABBC （即AC为小圆的直径）AC 2, R2 O1O2BC （即AC为小圆的直径）

5、，且P的射影是ABC的外心 三棱锥P ABC的三条侧棱相等三棱P ABC的底面 ABC在圆锥的底上，顶点 P点也是圆锥的顶点解题步骤: 第一步：确定球心 O的位置，取 ABC的外心O1,则P,O,O1三点共线;h (也是圆锥的高)；第二步：先算出小圆 O1的半径AO1 r ,再算出棱锥的高 PO1第三步：勾股定理：OA2 01A2 O1O2R2 (h R)2例3 (1)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1,底面边长为2J3 ,则该球的表面积为(2)正四棱锥S ABCD的底面边长和各侧棱长都为 22 ,各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为(3)已知三棱锥 S ABC的所有顶点都在球

6、O的求面上，ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径，且SC 2 ,则此棱锥的体积为(A.叵6D.类型四、汉堡模型(直棱柱的外接球、圆柱的外接球)图 10-1题设：如图10-1,图10-2,10-3，直三棱柱内接于球(同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形)第一步：确定球心O的位置,。1是ABC的外心，则OQ 平面ABC ;第二步：算出小圆。1的半径AO11r , OOiAAi21 .h(AA h也是圆枉的局)；2第三步：勾股定理:OA2 01A2 O1O2R2 (h)22 r2 R Jr2 g)2 ,解出 R例4 (1) 一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已

7、知该六棱柱的顶点都在一 . 9 ,一、. 同一个球面上，且该六棱柱的体积为9,底面周长为3,则这个球的体积为8(2)直三棱柱ABC A1B1cl的各顶点都在同一球面上，若AB AC AA1 2 , BAC 120 ,则此球的表面积等于 。(3 )已知 EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA EB 3, AD 2, AEB 60 ,则多面体E ABCD的外接球的表面积 为。类型五、折叠模型题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠 (如图11)第一步：先画出如图所示的图形，将BCD画在小圆上，找出 BCD和 ABD的外心H1和h2；第二步：过H1和H2分别作平面BCD和

8、平面ABD的垂线，两垂线的交点即为球心 O,连接 OE,OC ；第三步：解 OEH1,算出0Hl，在Rt OCH1中，勾股定理：OH12 CH 2 OC2例5三棱锥P ABC中，平面PAC 平面ABC, PAC和 ABC均为边长为2的正三 角形，则三棱锥P ABC外接球的半径为.类型六、对棱相等模型(补形为长方体)题设：三棱锥(即四面体)中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径(AB CD , AD BC ,AC BD)第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；第二步：设出长方体的长宽高分别为 a,b,c,AD BC x, AB CD y, AC BD z,列方程组,2ab22cb22

9、c2a2x222y (2R) a2zb2za图12补充：VA BCD abcA BCD4 1abc3第三步：根据墙角模型,2R.a2 b2 c2R2例如,正四面体的外接球半径可用此法O222R J,求出 R ,8例6 (1)棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如 图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是 .(2) 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是()B.C.312(4)如图所示三棱锥 A BCD ,其中AB CD 5, AC BD 6, AD BC 7,则该三棱锥外接球的表面积为 .类型七、

10、两直角三角形拼接在一起（斜边相同，也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥）模型P图13题设： APB ACB 90 ,求三棱锥P ABC外接球半径（分析：取公共的斜边的中点O,连接 一 1OP,OC,则OA OB OC OP AB,O为三棱锥P ABC外接球球心，然后在2OCP中求出半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关， 只要不是平角球半径都为定值。例7 （1）在矩形 ABCD中，AB 4, BC 3,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角 TOC o 1-5 h z B AC D ,则四面体 ABCD的外接球的体积为（）A 125B 125C 125D 125. 12

11、963类型八、锥体的内切球问题.题设：如图14,三棱锥P ABC上正三棱锥，求其外接球的半径。第一步：先现出内切球的截面图，E,H分别是两个三角形的外心；PB 图141第二步：求DH BD, PO PH r, PD是侧面 ABP的高； 3第三步：由 POE相似于 PDH ,建立等式：-OE- 史，解出r DH PD.题设：如图15,四棱锥P ABC上正四棱锥，求其外接球的半径P第一步：先现出内切球的截面图，P,O,H三点共线；1第二步：求FH BC, PO PH r , PF是侧面 PCD的高; 2第三步：由 POG相似于 PFH ,建立等式：0G 2,解出 HF PF.题设：三棱锥 P AB

12、C是任意三棱锥，求其的内切球半径方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为r ,建立等式：Vp ABCVOABCVOpabVo pacVO PBCP ABC OABC OPAB O PAC O PBC111二 SPAB r-二 SPAC r 二 SPBC r3331二(S ABC S pabSPACS pbc ) r3第三步：解出r3Vp ABCSO ABCSO PABSO PACSOPBC课后练习 典例1 已知正三棱锥 P-ABC,点P, A, B, C都在半径为百的球面上，若 PA, PB, PC

13、TOC o 1-5 h z 两两互相垂直，则球心到截面 ABC的距离为（）A. gB. .C FD. ?典例2 在三黏t 0 ABC中，OA, OB, 0C两两垂直，且 0A 3, OB 0C 2.若以。为球心，r r 0为半径做一个球，当球面与ABC所在平面相切时，r .已知三棱锥A-BCD的顶点均在球0的球面上，且AB AC ADBCD ,2若H是点A在平面BCD内的正投影，且 CH J5，则球0的体积是（9B.24D. -3.四面体P ABC的四个顶点坐标为0,0,2 , A 0,0,0 , B 0,2#,0 ,C 3,73,0 ,则该四面体外接球的体积为（32A. 3C. 20.已知圆

14、柱的上底面圆周经过正三棱锥P ABC的三条侧棱的中点，下底面圆心为此三棱锥底面中心O.若三B P ABC的高为该圆柱外接球半径的 2倍，则该三棱锥的外接球与圆柱外接球的半径之比为（2: 17: 43: 15: 34.已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC, AABC是边长为2的正三角形，E, F分别是PA, AB的中点，/CEF=90 ,则球O的体积为4.62.6D.5.已知三棱锥P外接球的表面积为2_ABC 中,PA 平面 ABC, ABC 一，PA 332 ,则直线PC与平面ABC所成角的正弦值为若三棱锥P ABCD.6.在正方体ABCD ABiCQi中，E为棱AiBi上一点，且AB2 ,若二面角Bi BCi E为45 ,则四面体BBiCiE的外接球的表面积为（17 A.2B. 12C. 9D. 10.已知四面体 ABCD 中，AB = CD=5, AC = BD = 734 , AD