人教版高中数学选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何章节综合训练(含解析)

PAGE单元质量评估（120分钟150分）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知向量a=(1,12,2),b=(2,-1,k),且a与bA.-1 B.34 C.1 D.-2.若a,b,c是空间任意三个向量,λ∈R,下列关系中,不成立的是()A.a+b=b+a B.λ(a+b)=λa+λbC.(a+b)+c=a+(b+c) D.b=λa3如图,空间四边形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,则AB→+12A.AD→ B.FA→ C.AF4.若A(1,-2,1),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC的形状是()A.不等边锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等边三角形5.已知平面α的一个法向量为n1=(-1,-2,-1),平面β的一个法向量n2=(2,4,2),则不重合的平面α与平面β()A.平行 B.垂直C.相交但不垂直 D.不确定6.若a=e1+e2+e3,b=e1+e2-e3,c=e1-e2+e3,d=e1+2e2+3e3,d=αa+βb+γc,则α,β,γ分别为()A.52,-1,-12 B.5C.-52,1,-12 D.57.(2013·吉安高二检测)已知直线l1的方向向量a=(2,4,x),直线l2的方向向量b=(2,y,2),若|a|=6,且a⊥b,则x+y的值是()A.1或-3 B.-1或3C.-3 D.18.已知A(1,-1,2),B(2,3,-1),C(-1,0,0),则△ABC的面积是()A.70 B.35 C.1702 D.9.下列命题正确的是()A.若OP→=12B.若{a,b,c}是空间的一个基底,则{a+b,b+c,a+c}构成空间的另一个基底C.(a·b)·c=|a|·|b|·|c|D.△ABC为直角三角形的充要条件是AB→·10.如图所示,四边形ABCD为矩形,AB=3,BC=1,EF∥BC且AE=2EB,G为BC的中点,K为△ADF的外心.沿EF将矩形折成一个120°的二面角A-EF-B,则此时KG的长是()A.1 B.3 C.32 D.11.如图所示,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,BB1的中点,G为棱A1B1上的一点,且A1G=λ(0≤λ≤1),则点G到平面D1EF的距离为()A.3 B.22 C.23 12.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()A.63 B.255 C.155 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.已知向量a=(λ+1,0,2λ),b=(6,2μ-1,2),若a∥b,则λ与μ的值分别是、.14.若A(0,2,198),B(1,-1,58),C(-2,1,58)是平面α内的三点,设平面α的法向量为n=(x,y,z),则x∶y∶15.平面α,β,γ两两相互垂直,且它们相交于一点O,P点到三个面的距离分别是1cm,2cm,3cm,则PO的长为cm.16.如图,平面PAD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,∠PAD=90°,且PA=AD=2,E,F分别是线段PA,CD的中点,则异面直线EF与BD所成角的余弦值为.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5),(1)求以向量AB→,(2)若向量a分别与向量AB→,AC→垂直,且|a|=18.(12分)如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°,侧棱AA1=2,CA=2,D是CC1的中点,试问在线段A1B上是否存在一点E(不与端点重合)使得点A1到平面AED的距离为2619.(12分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD的中点.(1)求证:B1E⊥AD1.(2)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求AP的长;若不存在,说明理由.20.(12分)如图所示,在棱长为1的正方体ABCD-A'B'C'D'中,E,F分别是D'D,DB的中点,G在棱CD上,CG=14CD,H为C'G的中点.(1)求证:EF⊥B'C.(2)求EF,C'G所成角的余弦值.(3)求FH的长.21.(12分)如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=BC=12PA.点O,D分别是AC,PC的中点,OP⊥底面ABC.(1)求证:OD∥平面PAB.(2)求直线OD与平面PBC所成角的正弦值.22.(12分)(能力挑战题)已知四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,且PA=4PQ=4,底面为直角梯形,∠CDA=∠BAD=90°,AB=2,CD=1,AD=2,M,N分别是PD,PB的中点.(1)求证:MQ∥平面PCB.(2)求截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小.(3)求点A到平面MCN的距离.答案解析1.【解析】选D.a·b=2-12+2k=0,∴k=-32.【解析】选D.由向量的运算律知,A,B,C均正确,对于D,当a=0,b≠0时,不成立.3.【解析】选C.AB→+12BC→+12BD→=4.【解析】选A.AB→=(3,4,2),BC→=(2,-3,1).由AB由CA→·由BA→·BC→>0,得B为锐角,且|AB→|≠|所以△ABC为不等边锐角三角形.5.【解析】选A.∵n2=-2n1,∴n2∥n1,故α∥β.6.【解析】选A.由d=αa+βb+γc=α(e1+e2+e3)+β(e1+e2-e3)+γ(e1-e2+e3)=(α+β+γ)e1+(α+β-γ)e2+(α-β+γ)e3=e1+2e2+3e3.∴α+β+γ=1,α+β-γ=2,α-β+γ=3,解得α=52,β=-1,7.【解析】选A.根据|a|=6,可得x=±4,当x=4时,y=-3,当x=-4时,y=1,所以x+y=1或-3.8.【解析】选C.易知AB→=(1,4,-3),AC→=(-2,1,-2),∴|ABcos<AB→,AC→>=826×3=42639,∴sin<∴S△ABC=12|AB→|·|AC→|sin<A9.【解析】选B.P,A,B三点共面不一定共线,故A错误;由数量积公式知C错误;△ABC为直角三角形时可能AB→·AC→=0,也可能AB→·10.【解析】选D.由题意知K为AF的中点,取EF的中点H,连接KH,GH易证明∠KHG即为二面角A-EF-B的平面角,在△KHG中,由KH=HG=1,∠KHG=120°,可解得KG=3.11.【解题指南】可以根据几何的有关性质转化为点A1到直线D1E的距离,利用三角形的面积可求;或建立空间直角坐标系,利用平面的法向量来求.【解析】选D.方法一:∵A1B1∥EF,G在A1B1上,∴G到平面D1EF的距离即为A1到平面D1EF的距离,也就是A1到D1E的距离.∵D1E=52∴由三角形面积可得h=1×12方法二:以的方向作为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,则E(0,0,12),F(1,0,12),D1(0,1,1),G(λ∴EF→=(1,0,0),ED1→=(0,1,1设平面EFD1的一个法向量是n=(x,y,z),则QUOTEn·EF→=x=0,n·ED1→=y+∴点G到平面EFD1的距离是:h=QUOTE|GD1→·n||n|=10+1+412.【解析】选D.如图建立空间直角坐标系,则B(2,2,0),D1(0,0,1),C1(0,2,1),∴DD1→=(0,0,1),D设平面BB1D1D的一个法向量n=(x,y,z),由QUOTEn⊥DB→,n⊥DD∴可取n=(1,-1,0).cos<n,BC1→>=QUOTEn·BC1→|n|·|BC∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为10513.【解析】∵a∥b,∴存在实数k,使得a=kb,即(λ+1,0,2λ)=k(6,2μ-1,2),∴λ+1=6k,0=k(2μ-1),2λ=2k,解得k=λ=15,答案:1514.【解析】AB→=(1,-3,-74),A∵QUOTEn·AB→=0,n·AC→=0,∴x∶y∶z=23y∶y∶(-43y)=2∶3答案:2∶3∶(-4)15.【解析】如图所示,建立空间直角坐标系,不妨设O(0,0,0),P(1,2,3),∴|OP|=12+2答案:1416.【解析】∵BD→=AD→-AB→,EF→=-AE→+AD→+DF→=-12AP→+AD→+|EF→|2=(-12AP→+AD→+12AB→)2=6,∴|EF→|=6,|BD→|=2即异面直线EF与BD所成角的余弦值为36答案:3【一题多解】如图所示,建立空间直角坐标系Axyz,∴E(0,0,1),F(1,2,0),B(2,0,0),D(0,2,0),∴EF→=(1,2,-1),∴cos<EF→,BD→>=∴异面直线EF与BD所成角的余弦值为3617.【解析】(1)∵AB→=(-2,-1,3),∴cos∠BAC=AB→·∴∠BAC=60°,∴S=|AB→||AC→|sin60(2)设a=(x,y,z),则a⊥AB→a⊥AC→⇒x-3y+2z=0,|a|=3⇒x2+y2+z解得x=y=z=1或x=y=z=-1,∴a=(1,1,1),或a=(-1,-1,-1).18.【解析】存在.以CA,CB,CC1所在的直线为x轴,y轴和z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2,0,0),A1(2,0,2),D(0,0,1),B(0,2,0),设BE→=λBA则E(2λ,2(1-λ),2λ).又ADAE→=(2(λ-1),2(1-λ),2设n=(x,y,z)为平面AED的法向量,则QUOTEn·AD→=0,n·AE→取x=1,则y=1-3λ1-λ,z=2,即n=(1,由于d=QUOTE|AA1→·n||n|=∴263=45+(1-3λ1-λ)2∴当点E为A1B的中点时,A1到平面AED的距离为26【拓展提升】探索性问题的解法在立体几何中,经常会遇到点、线、面处在什么位置时结论成立,或某一结论成立时需要具备什么条件,或某一结论在某一条件下,某个元素在某个位置时是否成立等类似的问题.这些问题都属探索性问题,解决这些问题仅凭几何手段有时会十分困难,我们借助向量将“形”转化为“数”,把点、线、面的位置数量化,通过对代数式的运算就可得出相应的结论.这样可以使许多几何问题进行类化,公式化,使问题的解决变得有“法”可依,有路可寻.19.【解析】以A为原点,AB→,AD→设AB=a,则A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),E(a2,1,0),B1(1)AD1→=(0,1,1),B∵AD1→·B1E→=-a∴B1E⊥AD1.(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0,z0),使得DP∥平面B1AE,此时DP→=(0,-1,z0),又设平面B1AE的法向量为∵n⊥平面B1AE,AB1→=(a,0,1),A∴n⊥AB1→,n⊥取x=1,得平面B1AE的一个法向量n=(1,-a2,-a),要使DP∥平面B1只需n⊥DP→,有a2-az0=0,解得:z0∴AP=12,∴在棱AA1上存在点P,使得DP∥平面B1AE,且P为AA120.【解题指南】要证明EF⊥B'C,只需要证明EF→·B'C→=0;要求EF,C'G所成角的余弦值,只要求出EF【解析】(1)设AB→=a,AD→=b,则c·b=b·a=c·a=0,|a|2=a2=1,|b|2=b2=1,|c|2=c2=1.∵EF→=ED→+DF→=-12c=12(a-b-cB'C→=BC→-BB'∴EF→·B'C→=12(a-b-c)·(b-c)=12(=12×(1-1)=0.∴EF⊥(2)∵EF→=12(a-b-c),C'G→=C'C→+∴EF→·C'G→=12(a-b-c)·(-=12(-14a2+c2)=|EF→|2=14(a-b-c)2=14(a2+b2+c|C'G→|2=(-c-14a)2=c2+116a∴|EF→|=32,|Ccos<EF→,C'G→>=∴EF,C'G所成角的余弦值为5117(3)∵FH→=FB→+BC→+CC'→+C'H→=12(a-b)+b+c+12C'G→=12(a-b)+b+c+1∴|FH→|2=(38a+12b+=964a2+14b2+14c2∴FH的长为41821.【解析】方法一:(1)∵O,D分别为AC,PC的中点,∴OD∥PA.又PA⊂平面PAB,OD⊄平面PAB,∴OD∥平面PAB.(2)设PA=2a,∵AB⊥BC,OA=OC,∴OA=OB=OC=22又∵OP⊥平面ABC,∴PA=PB=PC=2a.取BC中点E,连接PE,则BC⊥平面POE.作OF⊥PE于F,连接DF,则OF⊥平面PBC.∴∠ODF是OD与平面PBC所成的角.∵PA=2a,OA=22a,∴OP=14又∵OE=a2,∴OF=210在Rt△ODF中,sin∠ODF=OFOD=∴OD与平面PBC所成角的正弦值为21030方法二:∵OP⊥平面ABC,OA=OC,AB=BC,∴OA⊥OB,OA⊥OP,OB⊥OP.以O为原点,建立空间直角坐标系Oxyz(如图),设AB=a,则A(22B(0,22a,0),C(-2设OP=h,则P(0,0,h).(1)∵D为PC的中点,∴OD→=(-24又PA→=(22a,0,-h),∴O∴OD→∥PA→,又PA⊂平面∴OD∥平面PAB.(2)∵PA=2a,∴h=142∴OD→=(-24可求得平面PBC的一个法向量n=(-1,1,77∴cos<OD→,n>=QUOTEOD→·n|OD→设OD与平面PBC所成的角为θ,则sinθ=|cos<OD→,n>|=∴OD与平面PBC所成角的正弦值为2103022.【解析】方法一:以A为原点,以AD,AB,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Axyz,由AB=2,CD=1,AD=2,PA=4PQ=4,M,N分别是PD,PB的中点,可得A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,1,0),D(2,0,0),P(0,0,4),Q(0,0,3),M(22(1)BC→=(2,-1,0),PB→=(0,2,-4),MQ→则有:n0⊥BC→⇒(x,y,z)·(2,-1,0)=0⇒2x-y=0,n0⊥PB→0⇒2y-4z=0,令z=1,则x=2,y=2⇒n0=(2,2,1).∴MQ→·n0=(-22,0,1)·又MQ⊄平面PCB,∴MQ∥平面PCB.(2)设平面的MCN的法向量为n=(x',y',z'),又CM→=(-22,-