2.1.3椭圆方程及几何性质的应用达标过关训练

1、 2.1.3椭圆方程及几何性质的应用一、选择题1.k为何值时，直线ykx2与椭圆2x23y26有两个交点()A.eq f(r(6),3)keq f(r(6),3)或k0，解得keq f(r(6),3)或kb0)的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点.若直线PA与PB的斜率之积为eq f(1,2)，则椭圆的离心率为 .解析：设A(a,0)，B(a,0)，P(x，y)，则kPAeq f(y,xa)，kPBeq f(y,xa)，且eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1，kPAkPBeq f(y,xa)eq f(y,xa)eq f(y2,x2a2)eq f(b2b

2、lc(rc)(avs4alco1(1f(x2,a2),x2a2)eq f(b2,a2)，eq f(b2,a2)eq f(1,2)，b2eq f(1,2)a2，c2eq f(1,2)a2，ceq f(r(2),2)a，eeq f(c,a)eq f(r(2),2).答案：eq f(r(2),2)三、解答题9.(2019辽宁沈阳期末)在平面直角坐标系xOy中，中心在原点的椭圆C的上焦点为F(0，eq r(3)，离心率等于eq f(r(3),2).(1)求椭圆C的方程；(2)设过F(0，eq r(3)且不垂直于坐标轴的动直线l交椭圆C于A、B两点，问：线段OF上是否存在一点D，使得以DA，DB为邻边的

3、平行四边形为菱形？作出判断并证明.解：(1)由题意可知椭圆的离心率eeq f(c,a)eq f(r(3),2)，ceq r(3)，a2，b1，故椭圆C的方程为eq f(y2,4)x21.(2)存在满足条件的D点.设满足条件的点D(0，m)，则0m eq r(3)，设l的方程为ykxeq r(3)，(k0)，代入椭圆方程，(k24)x22eq r(3)kx10，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2eq f(2r(3)k,k24)，y1y2k(x1x2)2eq r(3)eq f(8r(3),k24).以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形，(eq o(DA,sup12()eq o(DB,

4、sup12()eq o(AB,sup12()，eq o(DA,sup12()eq o(DB,sup12()(x1，y1m)(x2，y2m)(x1x2，y1y22m)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2r(3)k,k24)，f(8r(3),k24)2m)，(eq o(DA,sup12()eq o(DB,sup12()eq o(AB,sup12()0，且eq o(AB,sup12()的方向向量为(1，k)，eq f(2r(3)k,k24)eq f(8r(3)k,k24)2mk0，即meq f(3r(3),k24)，k20，meq f(3r(3),k24)eq f(3r(3),4)eq

5、r(3)，0mb0)的离心率为eq f(1,2)，且经过点Peq blc(rc)(avs4alco1(1，f(3,2).(1)求椭圆C的方程；(2)过定点Q(2，3)的直线l与椭圆C交于两点M、N，直线PM、PN的斜率为k1、k2，求证：k1k2为定值.解：(1)由题可知eq blcrc (avs4alco1(f(c,a)f(1,2)，,f(1,a2)f(9,4b2)1，,a2b2c2，)解得a2，beq r(3)，椭圆C的方程为eq f(x2,4)eq f(y2,3)1.(2)证明：设直线l的方程为：y3k(x2)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由eq blcrc (avs4alco1(y3kx2，,f(x2,4)f(y2,3)1，)得(34k2)x28k(2k3)x4(2k3)2120，8k(2k3)24(34k2)4(2k3)2120，得keq f(1,2)，x1x2eq f(16k224k,34k2)，x1x2eq f(16k248k24,34k2)，k1k2eq f(y1f(3,2),x11)eq f(y2f(3,2),x21)eq f(kx123f(3,2),x11)eq f(kx223f(3,2),x21