2022年《定积分与微积分基本定理》教案

1、定积分与微积分基本定理适用学科数学适用年级高三适用区域新课标课时时长（分钟）60 定积分的概念与几何意义知 识 点微积分基本定理 求定积分定积分的简洁应用教学目标教学重点教学难点1明白定积分的实际背景,明白定积分的基本思想,明白定积分的概念2明白微积分基本定理的含义微积分基本定理求定积分微积分基本定理教学过程 一、复习预习1. 2.导数的概念 导数与函数单调性、极值、最值的关系二、学问讲解 考点 1 定积分的概念在bafxdx 中,a,b 分别叫做积分下限与积分上限,区间 fxdx 叫做被积式考点 2 定积分的几何意义a,b叫做积分区间, fx叫做被积函数, x 叫做积分变量,当函数 fx在区

2、间 a,b上恒为正时,定积分 bafxdx 的几何意义是由直线 xa,xbab,y0 和曲线 yfx所围成的曲边梯形的面积 左图中阴影部分 一般情形下,定积分 b afxdx 的几何意义是介于x 轴、曲线 fx以及直线 xa,xb 之间的曲边梯形面积的代数和右上图中阴影所示 ,其中在 x 轴上方的面积等于该区间上的积分值,在 x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数考点 3 定积分的基本性质bakfxdxkbafxdx. baf1x f2xdxbaf1xdxbaf2xdx. b afxdxc afxdxb cfxdx. 考点 4 微积分基本定理假如 fx是区间 a,b上的连续函数,并且 叫做

3、牛顿 莱布尼兹公式F xfx,那么 bafxdxFbFa,这个结论叫做微积分基本定理,又为了便利,常把 FbFa记成 Fx|b a,即bafxdxFx|baFbFa三、例题精析【例题 1】【题干】 求以下定积分：12 0|x1|dx；2 02 1sin 2xdx. 【解析】 1|x1|1x,x0 ,12sin xcos xdxx1, x1 ,2故20|x1|dx101xdx21x1dx2 2 xx 2 |10 x 2x |211 21 21. 2 2 01sin 2xdx0|sin xcos x|dx4 0cos xsin xdx4sin xcos x0cos xsin x 2421122 2

4、2. 【例题 2】【题干】 已知函数 fxx 0cos tsin tdtx0,就 fx的最大值为 _【答案】21 【解析】 由于 fxx0 2sin 4t dt2cos 4t |x 02cos 4x 2cos 4sin xcos x12sin x 4121,当且仅当 sin x 41 时,等号成立【例题 3】【题干】如图,曲线 yx2和直线 x0,x1,y1 4所围成的图形 阴影部分 的面积为 A.2 3B.1C.1 2D.1【答案】 D【解析】 由 y1yx 4,2 . x1 2或x1 2舍,所以阴影部分面积S0 1 2 1 4x2 dx1 1 x 21 4 dx 211 4x1 3x3 0

5、 1 3x31 4x 1 1 21 4. 【例题 4】【题干】 一物体在力 Fx100 x2单位： N的作用下沿与力Fx相同的方向运动了4 米,力 Fx做功为3x4x2 B46 J A44 JC48 J D50 J 【答案】 B 【解析】 力 Fx做功为 2022dx423x4dx10 x |203 2x24x42202646. 四、课堂运用【基础】1.e11ln x x dx B.2 e1 Aln x1 2ln2xC.3 2D.1 2解析：选 Ce11ln x x dx ln xln2x 2e13 2. 2设函数 fxax2ba 0,如 30fxdx3fx0,就 x0 等于 A1 B. 2

6、C3 D2 解析：选 C30fxdx30ax 2bdx1 3ax 3bx 309a3b,就 9a3b3ax20b,即 x203,x03. 3以初速度 40 m/s 竖直向上抛一物体, t 秒时刻的速度 v4010t 2,就此物体达到最高时的高度为A.160 3m B.80 3 m C.40 3 m D.20 3 m 解析：选 A v4010t20,t2,204010t2dt 40t10 3 t 3 | 2040210 38160 m【巩固】4设 a0sin xdx,就曲线 y fx xaxax2 在点 1,f1处的切线的斜率为 _解析： a0sin xdxcos x |02,yx2x2x2.

7、y2xx2xln 22. 曲线在点 1,f1处的切线的斜率 ky | x142ln 2. 答案： 42ln 2 52022 孝感模拟 已知 a 0, 2,就当 a0cos xsin xdx 取最大值时, a_. 解析： a0cos xsin xdxsin xcos x |a0sin acos a1 2sin a 41,a 0, 2,当 a 4时,2sin a 41 取最大值答案： 4【拔高】6求曲线 yx,y2x,y1 3x 所围成图形的面积解：由yx,y2x,得交点 B3,1得交点 A1,1；由y1 3x,y2x,故所求面积 S10 x1 3x dx31 2x1 3x dx2 3x2 1 6

8、x2 | 10 2x1 3x 2 | 31 32 31 64 313 6 . 7如图,设点 P 从原点沿曲线 yx 2 向点 A2,4移动,直线 OP 与曲线 yx2 围成图形的面积为 S1,直线 OP 与曲线yx2及直线 x2 围成图形的面积为 S2,如 S1S2,求点 P 的坐标解：设直线 OP 的方程为 ykx,点 P 的坐标为 x,y,就x0kxx 2dx2xx 2kxdx,即1 2kx 21 3x 3 | x01 3x 31 2kx 2 | 2x,解得1 2kx 21 3x 38 32k 1 3x 31 2kx 2 ,解得 k4 3,即直线 OP 的方程为 y4 3x,所以点 P 的坐标为 4 3,16 9 . 课程小结1用微积分基本定理求定积分,关键是找到满意F xfx的函数 Fx,即找被积函