北京大学数学物理方法经典课件第五章——傅里叶变换

1、2目的与要求目的与要求：了解了解在任意有限区间上函数的傅里在任意有限区间上函数的傅里 叶级数展开法；掌握周叶级数展开法；掌握周期函数的期函数的展开、定义和性质；展开、定义和性质；函数的函数的 定义与性质。定义与性质。重点：重点：难点：难点：傅里叶变换傅里叶变换、函数。函数。函数的概念。函数的概念。 18071807年年1212月月2121日，日，fourierfourier向法国科学院宣布：任意的周向法国科学院宣布：任意的周期函数都能展开成正弦及余期函数都能展开成正弦及余弦的无穷级数。当时整个科学院，弦的无穷级数。当时整个科学院，包括拉格朗日等，都认为他的结果是荒谬的。包括拉格朗日等，都认为他

2、的结果是荒谬的。傅立叶的两个最主要的贡献傅立叶的两个最主要的贡献: “” 傅里叶的第一个主要论点傅里叶的第一个主要论点 “” 傅里叶的第二个主要论点傅里叶的第二个主要论点4 1.1.波的叠加波的叠加 在普通物理学中在普通物理学中, ,我们已经知道最简单的波是谐波我们已经知道最简单的波是谐波( (正弦正弦波波),),它是形如它是形如 asin(t+)的波的波, ,其中其中a是振幅是振幅, ,是角频率是角频率, , 是初相位是初相位. .其他的波如矩形波其他的波如矩形波, ,锯齿形波等往往都可以用一系列锯齿形波等往往都可以用一系列谐波的叠加表示出来谐波的叠加表示出来. .非正弦周期函数非正弦周期函

3、数: :矩形波矩形波otu11 tttu0, 10, 1)(当当当当5tusin4 )3sin31(sin4ttu )5sin513sin31(sin4tttu 6)9sin917sin715sin513sin31(sin4tttttu )7sin715sin513sin31(sin4)( tttttu )0,( tt 由上例可以由上例可以：一个：一个周期为周期为2l的的 可以可以看作是许多不同频率的简谐函数的叠加看作是许多不同频率的简谐函数的叠加. .)7sin715sin513sin31(sin4ttttu 7,1cos,xl sin,xl cos2,xl sin2,xl cos,xkl

4、sin,xkl , l l此此函函数数族族在在上上正正交交: :即即-l, ,l 上的积分等于上的积分等于 0 . .其中任意两个不同的函数之积在其中任意两个不同的函数之积在 2. 三角函数族及其正交性三角函数族及其正交性上的积分不等于上的积分不等于 0 .0 .两个相同的函数的乘积在两个相同的函数的乘积在-l, ,l 8证证: :1 cosdllk xxl 1 sind0llk xxl (1,2,)k sin0lllk xkl cosdlllk xk xkll 同理可证同理可证 : :任意两个不同的函数之积在任意两个不同的函数之积在-l,l上的积分等于上的积分等于 0 .912cos()co

5、s()dllxxknknxllcoscosk xn xll)(nk coscosdllk xn xxll0sinsind0llk xn xxll同理可证同理可证 : :12cos()cos()xxknknllcossind0llk xn xxll)(nk 101 1d2llxl2sindllk xxl 2cosd1 cos2d2llllk xxlk xlxl (1,2,)k 1 cos2d2llkxlxl 两个相同的函数的乘积在两个相同的函数的乘积在-l,l 上的积分不等于上的积分不等于 0 .证证: :11如果周期为如果周期为2l 的函数的函数 f (x)满足满足,则它可以展开式为下列级数则

6、它可以展开式为下列级数01( )cossin2kkkakxkxf xabll(在在 f (x) 的连续点处的连续点处) 3.3.式式 称为称为f(x) )的的 .式中式中a0, ak, bk称为函数称为函数f(x)的的问题问题: a0, ak, bk 等于什么等于什么? ?我们利用三角函数族的正交性来求解我们利用三角函数族的正交性来求解1201( )ddcosdsind2llllkkkllllakkfabll0a l对在对在-l,l逐项积分逐项积分, 得得0( )cosdcosd2llllakkfll01( )dllafl1ncoscosdlnlknall cossindlnlknbll 2c

7、osdlklkal ka l乘乘 在在-l,l逐项积分并运用正交性逐项积分并运用正交性, 得得coskl由三角函数的正交性由三角函数的正交性由三角函数的正交性得由三角函数的正交性得n=k由三角函数的正交性由三角函数的正交性131( )cosdlklkafll),2, 1(k1( )sind(1, 2,)lklkbfkll类似地类似地, , 用用 sin k/l 乘乘 式两边式两边, , 再逐项积分可得再逐项积分可得1( )cosd(0,1, 2,)lklkafkll 1( )sind(1, 2,)lklkbfkll 01( )cossin2kkkakxkxf xabll14(1)处处连续，或在

8、每个周期内只有有限个处处连续，或在每个周期内只有有限个； (2)在每个周期内只有有限个极值点，则在每个周期内只有有限个极值点，则傅里叶级数傅里叶级数收敛，收敛，且且在在收敛点收敛点有：有： 01( )(cossin)kkkk xk xf xaabll在在间断点间断点有：有： 0112 ()()(cossin)kkkk xk xf xf xaabll狄里希利定理狄里希利定理 : 若函数若函数f(x)满足条件：满足条件： 4. 4. 傅里叶级数的收敛性定理傅里叶级数的收敛性定理 如果如果f(x)在间断点在间断点x0处左右极限存在处左右极限存在, 则称点则称点x0为为f(x) 的第一类间断点的第一类

9、间断点.151( )sinkkkxf xbl ( )sind(1, 2,)kkbfkl 其中其中(在在 f (x) 的连续点处的连续点处)l20l 如果如果 f (x) 为为, , 则则a0和和ak均为零，即有均为零，即有01( )cossin2kkkakxkxf xabll1( )cosd(0,1, 2,)lklkafkll 1( )sind(1, 2,)lklkbfkll 16 如果如果 f (x) 为为,则则bk为零，即有为零，即有(在在 f (x) 的连续点处的连续点处)01( )cos2kkakxf xal02( )cosd(0,1, 2,)lkkaf xkll 其中其中注注: :

10、无论哪种情况无论哪种情况 , ,).()(21xfxf在在 f (x) 的间断点的间断点 x 处处, ,傅里叶级数傅里叶级数都收敛于都收敛于1( )cosd(0,1, 2,)lklkafkll 1( )sind(1, 2,)lklkbfkll 01( )cossin2kkkakxkxf xabll17当函数定义在当函数定义在任意有限区间任意有限区间上时上时, ,变换法变换法0( ) , , f xxl令2,lxz即即2lzx2( )( )(),lf zf xf zz22,ll在22,ll上展成傅里叶级数上展成傅里叶级数( )f z周期延拓将将2lzx)(xf在0 , l回代入展开式回代入展开式

11、上的傅里叶级数上的傅里叶级数 其傅里叶展开方法其傅里叶展开方法: :（三）（三） 有限区间中的函数的傅里叶展开有限区间中的函数的傅里叶展开* *( (自学自学) )18延拓法延拓法0( ) , , f xxl在0 , l上展成正弦或余弦级数上展成正弦或余弦级数( )f x奇或偶式周期延拓奇或偶式周期延拓19利用利用已知周期为已知周期为 2 l 的周期函数的周期函数f (x)可展开为级数可展开为级数：012kk( )cossinkkkaxxf xabll12kkiikcoseexxllxl12kkiiksineeixxllxl01( )22kkaaf xiieexlkkxli2kbkiieek

12、xlxl01i22kkkaabi2kkabiek xliek xl0ckckc（四）（四） 复数形式的傅里叶展开复数形式的傅里叶展开2012i( )edklllfl 12( )dllfl200ac i1 1k( )cosd22lkkklabcfll i( )sindllkfll1kk( )cosi sind2llflll11 22i( )ed(, ,)klllfkl 注意到注意到i2kkkabc同理同理(1, 2,)k 21傅里叶级数的复数形式傅里叶级数的复数形式: :i1( )ed2kllklcfli( )ek xlkkf xc (0, 1,2,)k 因此得因此得例例2 2：矩形波矩形波1(

13、2,(21) )( )1(21) ,2)mmf xmm i(),kxkkfxc e 0iii0111( )11222kkkkcfededed 212121i()()inxnfxen x110 2i0i01111()()2i2ikkeekk 0(2 )2(21).i (21)knknn 解：解：coskk=2n: cosk=1k=2n+1: cosk=- -111( 1) ( 1)12 ikkk 231. 周期为周期为2l 的函数的傅里叶级数展开公式的函数的傅里叶级数展开公式)(xf20a1cossinkkkk xk xabll(x 间断点间断点)其中其中1( )cosdlklkafll1( )

14、sindlklkbfll(0,1,)k (1,2,)k 当当f (x)为奇为奇( (偶偶) ) 函数时函数时,为正弦为正弦(余弦余弦) 级数级数. 2. 2. 在任意有限区间上函数的傅里叶展开法在任意有限区间上函数的傅里叶展开法变换变换延拓延拓3. 3. 傅里叶级数的复数形式傅里叶级数的复数形式 利用欧拉公式导出利用欧拉公式导出24 1 225 周期函数的性质是周期函数的性质是f(x+2l)=f(x), x每增大每增大2l，函数值就重复，函数值就重复一次，非周期函数没有这个性质，但可以认为它是周期一次，非周期函数没有这个性质，但可以认为它是周期2l的周期函数。所以，我们也可以把非周期函数展开为

15、所谓的周期函数。所以，我们也可以把非周期函数展开为所谓“”。考察复数形式的傅里叶级数考察复数形式的傅里叶级数: :i1( )ed2k xlllkf xxlc i( )ek xlkkf xc (0, 1,2,)k （一）（一） 傅里叶变换傅里叶变换2626非周期函数的复数形式的非周期函数的复数形式的: :i1( )ed2k xlllkf xxlc i( )limek xllkkf xc (0, 1,2,)k 1/kkkl i( )ed2lxkklkf xcx i( )limekxklkf xc /(0, 1,2,)kklk上式改写为：上式改写为：27令令i( )( )ed .xf xf 有有i1

16、2( )( )ed ,xff xx 若若 有限，则非周期函数可以展开为有限，则非周期函数可以展开为lim( )lllfd ii( )lim( )ede2lxkkkllkf xf ii1( ) limeed2xkkklkf ii( )ede12xfd 称称f(x)的的称称f()的的像函数像函数原函数原函数1lim/0;dklklkkl 28傅里叶积分定理傅里叶积分定理：若函数若函数 f(x) 在区间在区间(- - ，+ + )上满足条件上满足条件: : (1) (1) 在任意有限区间满足狄里希利条件在任意有限区间满足狄里希利条件； (2) (2) 在区间在区间 (-(- ，+ + ) )上绝对可

17、积（即上绝对可积（即 收收敛），敛）， 则则 f(x) 可表为傅里叶积分，且可表为傅里叶积分，且 傅里叶积分值傅里叶积分值= =()()/ 2f xf x ()f xdx i( )( )ed .xf xf i1( )( )ed ,2xfxff xx f f29奇函数与偶奇函数与偶函函数的傅里叶变换数的傅里叶变换 傅里叶变换对傅里叶变换对i( )( )dxf xfe-i-iii11( )dd221( )dd21( )cosdd2i( )sindd2( )( )dxxttxfexexfexftxxftxffxxe -i1( )( )d2xff x ex30 当当f(x)是偶函数是偶函数 000(

18、)1( )cosdddd1i( )cosd( )sindxxxfftftxftxx 当当f(x)是奇函数是奇函数 01( )( )sinddfftxx 进一步注意到进一步注意到 coscoscossinsintxtxtx 000( )cosd22( )cosdcosdfx xx xftf x 当当f(x)是偶函数是偶函数 同理同理,当当f(x)是奇函数是奇函数 000( )sind22( )sindsindfx xx xftf x 31例例100011,(),2rect()10,().2xxaxxaxxa 定义定义:矩形函数为矩形函数为0 x1ax( )f xx将矩形脉冲将矩形脉冲 展开为傅里

19、叶积分。展开为傅里叶积分。( )rect()2fhttt0htt( )f tti1( )rect()d22ttf xhett f f解解:矩形脉冲函数的周期为矩形脉冲函数的周期为-t,t, 如右图如右图.246810-0.20.20.40.60.8112i-isin-ik xk xllkxeel iid22 itttttthhete sin.ht 32(1) (1) 导数定理导数定理i1d2d ( )( )dxf xfxxex f f（二）（二） 傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质根据傅里叶积分定理，根据傅里叶积分定理，lim( )0 xf x ii11( )( )di( )di.22x

20、xfxf xexf x exf f ffxf( )i( ) f f i1( )ed ,2xfxf xx f fddbbbaaau vxu vv uxii11( )( )d22xxf x ef xex i1( )ed ,2xfxf xx f f33 ( )i( )xx ffff(2) (2) 积分定理积分定理()1( )d ()ixff f f 0dxxfx 由变上限积分定理：由变上限积分定理： xfx 由由导数定理导数定理( )111( ) ( )( ) ( )( )iiixfdxxf xf ffffffff利用利用导数定理导数定理证明，记证明，记 i1( )ed ,2xfxf xx f f

21、0()ddxxxff (3) (3) 相似性定理相似性定理1()()f axfaa f fii11 ()()d( )d22y axyxayf axf ax exf y ea f fi111( )d2yaf y efaaay 比比较较定定义义式式 i1( )ed ,2xfxf xx f f空域中的压缩（扩展）等于频域中的扩展（压缩）空域中的压缩（扩展）等于频域中的扩展（压缩） f(x/2)0 x)2(2f2llll l 02()fx04/ l4/ l x)2(21f2l4l 4l 压缩扩展11035(4) (4) 延迟定理延迟定理0i0 ()( )xf xxef f fi001 ()()d2xf

22、 xxf xx ex f f 00i1( )d2yxxyxf y ey 0ii1( )d2xyef y ey 0ixef i1( )ed ,2xfxf xx f f(5) (5) 位移定理位移定理xef xf 0i0( )()f f00iii1( )( )d2xxxef xef x ex f f 0()01( )2ixf x edxf 由由定定义义 3600012iicos()xxxee 000001212ii( )cos( )()()()xxf xxf xeeff f ff f00012iisin()ixxxee 00012( )sin()()if xxff f f例例2求：求：0( )co

23、sf xx 的频谱？的频谱？解：解：由由 位移定理位移定理xef xf 0i0( )()f f37若若(6) (6) 卷积定理卷积定理fxf 11( )( ) f ffxf 22( )( ) f f和和则则fxfxff 1212()()2()() f f1212()()()()fxfxffxd 12i12( )()d1d2( )( )xfffxexxfx f f-ii121( )( )d d2yxyffy ey 作作代代换换 ii12121( )d ( )d 22yfefy eyff i1( )ed ,2xfxf xx f f38卷积卷积 卷积定理反映了卷积定理反映了两个傅立叶变换之间的关系，

24、它构成了空两个傅立叶变换之间的关系，它构成了空间域和频率域之间的基本关系。卷积对深入理解在傅立叶变换间域和频率域之间的基本关系。卷积对深入理解在傅立叶变换基础上的图像处理技术是十分重要的。基础上的图像处理技术是十分重要的。dxgfxgxf)()()()(其中其中 是积分伪变量。是积分伪变量。 两个函数两个函数f(x)和和g(x)的卷积记作的卷积记作f(x)*g(x)，由下式所定义：，由下式所定义：39f( ) 011g(- ) 0-11/2g(x- ) 0-11/2xg( ) 011/2f(x)xg(x)x011011/2例：求如图所示的例：求如图所示的f(x)*g(x)，即，即 dxgf)(

25、)(卷积积分的图解计算卷积积分的图解计算40f ( ) g(x- ) 0-11/211x0 x 1卷积为卷积为：x/2 0-11/2x-1f ( ) g(x- )1x11 x 2卷积为卷积为：1- x/2x0-11/211f (x)* g(x) x/2 0 x 1f(x)*g(x)= 1 - x/2 1 x 2 0 其它其它22( ) d2() df xxfx （7 7）帕塞瓦尔等式）帕塞瓦尔等式能量守恒能量守恒*2( )d) dfxf xxf xx ii( )d()( )dd()dxxf xxff xeexf ii( )( )ed( ),( )edxxxffxff 2()()dff i1(

26、)ed2),(xfxf xxf f f42 i( )dxf xfe ( (三三) ) 傅里叶变换的物理意义傅里叶变换的物理意义 (ii)dxfee iffe 求和求和 , : ; df 无无穷穷多多个个的的连连续续指指数数信信号号之之和和; ;信信号号频频率率变变化化范范围围为为幅幅度度为为无无穷穷域域小小整整个个频频振幅谱振幅谱 相位谱相位谱43( (四四) ) 高维傅里叶变换高维傅里叶变换 二维连续函数二维连续函数f (x,y)的傅里叶变换定义的傅里叶变换定义如下：如下： 设设f (x,y)是两个独立变量是两个独立变量x,y的函数，且在的函数，且在上绝对可上绝对可积，则定义积分积，则定义积

27、分 为二维连续函数为二维连续函数f (x,y)的的傅里叶变换傅里叶变换，并定义，并定义 为为f(k1,k2)的的逆逆变换变换。 f (x,y)和和f(k1,k2)称为傅里叶变换对。称为傅里叶变换对。()121221(,)(,)2id dk xkyf kkfx y ex y （1） （2） ()121212( , )(,)id dk x k yf x yf k k ek k 1 1 二维傅里叶变换二维傅里叶变换44例例2 2: : 求函数求函数 0,( , ),axxyyf x yxxyy的傅里叶变换的傅里叶变换(矩孔费琅和夫衍射矩孔费琅和夫衍射)。 解：由傅里叶变换关系解：由傅里叶变换关系 (

28、)121221(,)( , )2id dk x kyf k kf x y ex y 有有12122(,)2iiddxyk xkyxyaf k kexey 12212sinsink xk yaxyk xk y 1221211222121121122iiiiiiiiiixyk xkyxyk xk xk yk yaeekkaeeeekk 12iisineeixxx45其幅度谱为其幅度谱为（a a）信号的频谱图）信号的频谱图 （b b）图（）图（a a）的灰度图）的灰度图（幅度谱）（幅度谱）图图 信号的频谱图信号的频谱图 k1f(k1,k2)k21212212sinsin,k xk yaxyf k k

29、k xk y 462 2 三维三维fourierfourier变换变换123, ,kk kkrx y z 123i123i3123d ddd, ,k rk x k y k zf rff kek kkf k ekx y zk k 12333i3i1231212d, ,d d dk rk x k y k zf kf r erf k k kfx y z ex y z 4722210( ),rf rerxyzr 求求的的 三三 重重：傅傅 里里 叶叶 变变 换换 。例 312313112id d d()k x k y k xrf k kkeex y zr 2 23 3( ( , , ,) )21232

30、213000112 icosd d dsin d d dcossin d d d()rkrx y zrrk xk yk xkrf k k keerrr 2 23 3由由直直角角坐坐标标与与球球坐坐标标系系间间关关系系: :( ( , , ,) )1231312i( , , )d d d()k x k y k xf kkkf x y z ex y z 2323(,)=(,)=( )f r解解：函函数数是是球球对对称称函函数数, ,因因此此采采用用球球坐坐标标较较方方便便. . 由由三三重重傅傅里里叶叶变变换换公公式式：48ii220000i20011sin d dsin dd221dcosd2c

31、oscoscos()()()rkrrkrrkrreerreerreer ii00ii1dcoisicoscoskrkkrkrreekrreek 其中：其中：ii12200ii200ii20022i2i11dd2i21ddi2111i2ii11112i2iii2()()()()()()rrkrkkrrkkrk rk rkrreekrf kkkrereeerkererkeekkkkkk 2323(,)(,)2k49 5.2 1, 550 1. 1. 源与场源与场 质点质点引力场，引力场， 电荷电荷电场，电场， 热源热源温度场温度场 2.2.点源：质点点源：质点点电荷点电荷点热源点热源点光源点光源

32、点电荷激发的场：点源点电荷激发的场：点源q0位于位于 0处处，场点位于场点位于r 处的处的电场的数学表示电场的数学表示： 3.3.连续分布的源所产生的场连续分布的源所产生的场： 无数个点源产生的场的叠加无数个点源产生的场的叠加。 如何描述点源如何描述点源? ?204rqe51 在物理学中对于在物理学中对于在某种坐标系下高在某种坐标系下高度集中的量，如点电荷、点光源、质点度集中的量，如点电荷、点光源、质点以及又窄又强的电脉冲等，常用一个特以及又窄又强的电脉冲等，常用一个特殊的函数殊的函数来描述。来描述。 0lm/2/ l2/ l)(xlx 设质量设质量m均匀分布在均匀分布在长为长为l的线段的线段

33、- -l/2,l/2上（上（如图如图）, 进一步设线的单位长度质量即进一步设线的单位长度质量即线质量密度线质量密度为为 l ：0(/2)( )/(/2)lxlxm lxl 下面我们从质点的描述来引入下面我们从质点的描述来引入( )rectlmxxll 引引入入矩矩形形函函数数 52/2/2( )lllmxxxml dd线段总质量：线段总质量：llllxxxxm/20/2lim( )d( )d, 0l 时，线段收缩为质点时，线段收缩为质点(x=0)。设线段在收缩为。设线段在收缩为当线段在当线段在质点的极限下总质量不变，即质点的极限下总质量不变，即0l ，即线段收缩为质点，即线段收缩为质点(x=0

34、)。为为当线段在当线段在lllxmxxxxll000,(0)( )lim( )limrect().(0) 5353引入引入： 函数函数0(0)( )(0)xxx xx ( )d1 x( )x0一般地，我们有一般地，我们有：0000, (), xxxxxx 01()d.xxx 且且 量纲为：量纲为：1/x (x)的形象描述见（图示）的形象描述见（图示） 54(1) 0000()()()( )()( )xxxxxxxxx 函数函数 如果对于任意一个在区间如果对于任意一个在区间 (,) 上连续的函数上连续的函数 ( )f x恒有恒有 00() ( )d()xxf xxf x为为则称满足上式中的函数则称满足上式中的函数 0()xx函数函数， 55(2) (函数的原函数函数的原函数)xxh xttx 0,(0)( )( )d1.(0) 0 x1)(xh